Упростить выражение \[\sqrt{4x-11-4\sqrt{x-3}}+\sqrt{4x-11+4\sqrt{x-3}}\]
и вычислить его значение при \(x=3,09\).
(Задача от подписчиков.)
Обозначим \(4x-11=u, 4\sqrt{x-3}=v\).
Заметим, что если \(a\) и \(b\) – неотрицательные числа, то верно равенство: \(a+b=\sqrt{(a+b)^2}\). Значит:
\( \sqrt{u-v}+\sqrt{u+v}=\sqrt{(\sqrt{u-v}+\sqrt{u+v})^2}= \sqrt{u-v+2\sqrt{u^2-v^2}+u+v}= \sqrt2\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2-v^2}} \)
Т.к. \(u^2=16x^2-88x+121, \ v^2=16x-48\), то \(u^2-v^2=16x^2-104x+169=(4x-13)^2\). Значит:
\(\sqrt2\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2-v^2}}=\sqrt2\cdot \sqrt{4x-11+\sqrt{(4x-13)^2}}=\sqrt2\cdot \sqrt{4x-11+|4x-13|}\)
Заметим, что при \(x=3,09\): \(4x=12,36<13\), следовательно, \(4x-13<0\), следовательно, \(|4x-13|=-(4x-13)\).
Значит:
\(\sqrt2\cdot \sqrt{4x-11+|4x-13|}=\sqrt2\cdot \sqrt{4x-11-4x+13}=2\)
Ответ: 2
