Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные иррациональные выражения (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Если под корнем четной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл только при \(f(x)\geqslant 0\).

 

Как и в предыдущей подтеме, справедливы формулы: \[\sqrt[2n]{f^{2n}(x)}=|f(x)|\] \[\left(\sqrt[2n]{f(x)}\right)^{2n}=f(x),\quad \text{при условии} \ \ f(x)\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt[4]{x^4}=|x|\);

 

\(\phantom{000}\,\) 2) \((\sqrt{x^2-1})^2 = x^2-1 \ \) при условии, что \(x^2-1\geqslant 0\);

 

\(\phantom{000}\,\) 3) \(\sqrt[6]{x^{96}}=\sqrt[6]{\left(x^{16}\right)^6}=x^{16} \ \) при всех \(x\) (т.к. \(x^{16}\geqslant 0\) для любого \(x\)).

 

\(\blacktriangleright\) Если под корнем нечетной степени находится неизвестная: \(\sqrt[2n+1]{f(x)}\), то данное выражение имеет смысл при всех \(f(x)\in \mathbb{R}\).

 

Как и в предыдущей подтеме, справедлива формула:

\[\sqrt[2n+1]{f^{2n+1}(x)}=\left(\sqrt[2n+1]{f(x)}\right)^{2n+1}=f(x)\] Пример: \(\sqrt[5]{x^{10}}=\sqrt[5]{\left(x^2\right)^5}=x^2\).

Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Упростить выражение \[\sqrt{4x-11-4\sqrt{x-3}}+\sqrt{4x-11+4\sqrt{x-3}}\]

и вычислить его значение при \(x=3,09\).

 

(Задача от подписчиков.)

Добавить задание в избранное

Обозначим \(4x-11=u, 4\sqrt{x-3}=v\).

 

Заметим, что если \(a\) и \(b\) – неотрицательные числа, то верно равенство: \(a+b=\sqrt{(a+b)^2}\). Значит:

 

\( \sqrt{u-v}+\sqrt{u+v}=\sqrt{(\sqrt{u-v}+\sqrt{u+v})^2}= \sqrt{u-v+2\sqrt{u^2-v^2}+u+v}= \sqrt2\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2-v^2}} \)

 

Т.к. \(u^2=16x^2-88x+121, \ v^2=16x-48\), то \(u^2-v^2=16x^2-104x+169=(4x-13)^2\). Значит:

 

\(\sqrt2\cdot \sqrt{u+\sqrt{u^2-v^2}}=\sqrt2\cdot \sqrt{4x-11+\sqrt{(4x-13)^2}}=\sqrt2\cdot \sqrt{4x-11+|4x-13|}\)

 

Заметим, что при \(x=3,09\): \(4x=12,36<13\), следовательно, \(4x-13<0\), следовательно, \(|4x-13|=-(4x-13)\).
Значит:

 

\(\sqrt2\cdot \sqrt{4x-11+|4x-13|}=\sqrt2\cdot \sqrt{4x-11-4x+13}=2\)

Ответ: 2