9. Преобразование числовых и буквенных выражений
Здесь вам понадобятся все те знания, которые вы получили в предыдущей подтеме. НО:
т.к. теперь \(a,b,c\) – неизвестные числа, то можно расширить область применения некоторых формул:
\(\blacktriangleright\) Формула (3) при четном \(m\): \[\log_a{b^m}=m\log_a{|b|}\]
Пример:
\(\log_3{b^2}=2\log_3{|b|}\)
Зачем модуль? Заметим, что в левую часть равенства можно подставлять вместо \(b\) все числа \(b\ne 0\). Если в правой части не поставить модуль (т.е. \(\log_3b\)), то вместо \(b\) можно подставлять только \(b>0\). Таким образом, теряется часть возможных значений числа \(b\).
\(\blacktriangleright\) Формулы (5) и (6): \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ \log_a{\dfrac
bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\]
Аналогичная причина.
Пример:
Если не поставить модули: \(\log_2{bc}=\log_2b+\log_2c\), то значения \(b=-1\) и \(c=-1\) не удовлетворяют равенству. Тогда как с модулями числа \(b\) и \(c\) могут одновременно быть отрицательными.
Найдите значение выражения \(\log_{x^2}\left(\dfrac{x^2}{y^3}\right)\), если \(\log_{y}x = 10\).
По свойствам логарифма при \(\dfrac{x^2}{y^3} > 0\), \(1 \neq x^2 > 0\): \[\log_{x^2}\left(\dfrac{x^2}{y^3}\right) = \log_{x^2}(x^2) - \log_{x^2}(y^3) = 1 - \dfrac{1}{2} \cdot 3 \log_{x}y.\]
\(\log_{x}y = \dfrac{1}{\log_{y}x} = 0,1\) и значит окончательно \(\log_{x^2}\left(\dfrac{x^2}{y^3}\right) = 1 - 1,5 \cdot 0,1 = 1 - 0,15 = 0,85\).
Ответ: 0,85
Найдите значение выражения \(\log_{x^3}\left(\dfrac{x^2}{y^5}\right)\), если \(\log_{x}y = 4\).
По свойствам логарифма при \(\dfrac{x^2}{y^5} > 0\), \(1 \neq x^3 > 0\): \[\log_{x^3}\left(\dfrac{x^2}{y^5}\right) = \log_{x^3}x^2 - \log_{x^3}y^5 = \dfrac{1}{3}\cdot 2\log_{x}|x| - \dfrac{1}{3}\cdot 5\log_xy = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{3}\cdot\log_{x}y.\] При \(\log_{x}y = 4\) получим \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{3}\cdot 4 = -6\).
Ответ: -6
Найдите значение выражения \(\displaystyle\log_2{\frac{\sqrt[4]{a^3b}}{\sqrt[3]{ab^2}}}\), если \(\log_2{a} = 12\), \(\log_2{b} = 6\).
\[\begin{gathered} \log_2{\frac{\sqrt[4]{a^3b}}{\sqrt[3]{ab^2}}} = \log_2{\sqrt[4]{a^3b}} - \log_2{\sqrt[3]{ab^2}} = \log_2{(a^3b)^{\frac{1}{4}}} - \log_2{(ab^2)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{4}\cdot\log_2{(a^3b)} - \frac{1}{3}\cdot\log_2{(ab^2)} =\\= \frac{1}{4}\cdot(\log_2{a^3} + \log_2{b}) - \frac{1}{3}\cdot(\log_2{a} + \log_2{b^2}) = \frac{1}{4}\cdot(3\log_2{a} + \log_2{b}) - \frac{1}{3}\cdot(\log_2{a} + 2\log_2{b}) =\\= \frac{1}{4}\cdot(3\cdot12 + 6) - \frac{1}{3}\cdot(12 + 2\cdot6) = \frac{42}{4} - \frac{24}{3} = 10,5 - 8 = 2,5\end{gathered}\]
Ответ: 2,5
Найдите значение выражения \(\log_{xy}\left(\dfrac{x^2y^4}{y^2x}\right)\), если \(\log_{xy}x = 3\).
По свойствам логарифма при \(\dfrac{x^2y^4}{y^2x} > 0\), \(1 \neq xy > 0\):
\(\log_{xy}\left(\dfrac{x^2y^4}{y^2x}\right) = \log_{xy}\left(\dfrac{x^2y^2}{x}\right) = \log_{xy}(x^2y^2) - \log_{xy}x =\)
\(=\log_{xy}(xy)^2 - \log_{xy}x = 2\log_{xy}|xy| - \log_{xy}x = 2 - \log_{xy}x\).
При \(\log_{xy}x = 3\) получим \(2 - 3 = -1\).
Ответ: -1
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\log_a{\sqrt{b}}\cdot\log^2_{\frac{1}{a}}{\sqrt{b}}}{\log_{a^2}b\cdot\log_{\sqrt[3]a}{\sqrt[6]b}}\), если \(\log_a{b} = 2\).
\[\frac{\log_a{\sqrt{b}}\cdot\log^2_{\frac{1}{a}}{\sqrt{b}}}{\log_{a^2}b\cdot\log_{\sqrt[3]a}{\sqrt[6]b}} = \frac{\log_a{b^{\frac{1}{2}}}\cdot\log^2_{a^{-1}}{b^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}\cdot\log_{a}b\cdot\log_{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{6}}}} = \frac{\frac{1}{2}\cdot\log_a{b}\cdot\frac{1}{4}\cdot\log^2_{a}{b}}{\frac{1}{2}\cdot\log_{a}b\cdot3\cdot\frac{1}{6}\cdot\log_{a}{b}} = \frac{\frac{1}{8}\cdot\log^3_a{b}}{\frac{1}{4}\cdot\log^2_{a}b} = \frac{1}{2}\cdot\log_a{b} = \frac{1}{2}\cdot2 = 1\]
Ответ: 1
Найдите значение выражения \(\log_a{8}\cdot\log_b{a}\cdot\log_c{b}\cdot\log_d{c}\cdot\log_2{d}\).
Переставим множители в обратном порядке и последовательно воспользуемся формулой \(\log_p{q}\cdot\log_q{r} = \log_p{r}\):
\[\begin{gathered} \log_a{8}\cdot\log_b{a}\cdot\log_c{b}\cdot\log_d{c}\cdot\log_2{d} = \log_2{d}\cdot\log_d{c}\cdot\log_c{b}\cdot\log_b{a}\cdot\log_a{8} =\\= \log_2{c}\cdot\log_c{b}\cdot\log_b{a}\cdot\log_a{8} = \log_2{b}\cdot\log_b{a}\cdot\log_a{8} =\\= \log_2{a}\cdot\log_a{8} = \log_2{8} = \log_2{2^3} = 3\log_2{2} = 3\end{gathered}\]
Ответ: 3
Найдите значение выражения \((\log_{x}(\log_{y}(\log_{z}(z^{y^{x}}))))^3\) при \(x > 1, \ y > 2, \ z > 3\).
При \(x > 0, \ y > 0, \ z > 0, x \neq 1, y \neq 1, z \neq 1\): \[\log_{x}(\log_{y}(\log_{z}(z^{y^{x}}))) = \log_{x}(\log_{y}(y^{x}\log_{z}z)) = \log_{x}(\log_{y}(y^{x})) = \log_{x}(x\log_{y}y) = \log_{x}x = 1.\] Тогда \((\log_{x}(\log_{y}(\log_{z}(z^{y^{x}}))))^3 = 1^3 = 1\).
Ответ: 1
