Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные логарифмические выражения (страница 2)

Здесь вам понадобятся все те знания, которые вы получили в предыдущей подтеме. НО:

т.к. теперь \(a,b,c\)неизвестные числа, то можно расширить область применения некоторых формул:

 

\(\blacktriangleright\) Формула (3) при четном \(m\): \[\log_a{b^m}=m\log_a{|b|}\]
Пример:
\(\log_3{b^2}=2\log_3{|b|}\)
Зачем модуль? Заметим, что в левую часть равенства можно подставлять вместо \(b\) все числа \(b\ne 0\). Если в правой части не поставить модуль (т.е. \(\log_3b\)), то вместо \(b\) можно подставлять только \(b>0\). Таким образом, теряется часть возможных значений числа \(b\).

 

\(\blacktriangleright\) Формулы (5) и (6): \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\]
Аналогичная причина.
Пример:
Если не поставить модули: \(\log_2{bc}=\log_2b+\log_2c\), то значения \(b=-1\) и \(c=-1\) не удовлетворяют равенству. Тогда как с модулями числа \(b\) и \(c\) могут одновременно быть отрицательными.

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_{x^2}\left(\dfrac{x^2}{y^3}\right)\), если \(\log_{y}x = 10\).

Добавить задание в избранное

По свойствам логарифма при \(\dfrac{x^2}{y^3} > 0\), \(1 \neq x^2 > 0\): \[\log_{x^2}\left(\dfrac{x^2}{y^3}\right) = \log_{x^2}(x^2) - \log_{x^2}(y^3) = 1 - \dfrac{1}{2} \cdot 3 \log_{x}y.\]

\(\log_{x}y = \dfrac{1}{\log_{y}x} = 0,1\) и значит окончательно \(\log_{x^2}\left(\dfrac{x^2}{y^3}\right) = 1 - 1,5 \cdot 0,1 = 1 - 0,15 = 0,85\).

Ответ: 0,85

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_{x^3}\left(\dfrac{x^2}{y^5}\right)\), если \(\log_{x}y = 4\).

Добавить задание в избранное

По свойствам логарифма при \(\dfrac{x^2}{y^5} > 0\), \(1 \neq x^3 > 0\): \[\log_{x^3}\left(\dfrac{x^2}{y^5}\right) = \log_{x^3}x^2 - \log_{x^3}y^5 = \dfrac{1}{3}\cdot 2\log_{x}|x| - \dfrac{1}{3}\cdot 5\log_xy = \dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{3}\cdot\log_{x}y.\] При \(\log_{x}y = 4\) получим \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{3}\cdot 4 = -6\).

Ответ: -6

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle\log_2{\frac{\sqrt[4]{a^3b}}{\sqrt[3]{ab^2}}}\), если \(\log_2{a} = 12\), \(\log_2{b} = 6\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \log_2{\frac{\sqrt[4]{a^3b}}{\sqrt[3]{ab^2}}} = \log_2{\sqrt[4]{a^3b}} - \log_2{\sqrt[3]{ab^2}} = \log_2{(a^3b)^{\frac{1}{4}}} - \log_2{(ab^2)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{4}\cdot\log_2{(a^3b)} - \frac{1}{3}\cdot\log_2{(ab^2)} =\\= \frac{1}{4}\cdot(\log_2{a^3} + \log_2{b}) - \frac{1}{3}\cdot(\log_2{a} + \log_2{b^2}) = \frac{1}{4}\cdot(3\log_2{a} + \log_2{b}) - \frac{1}{3}\cdot(\log_2{a} + 2\log_2{b}) =\\= \frac{1}{4}\cdot(3\cdot12 + 6) - \frac{1}{3}\cdot(12 + 2\cdot6) = \frac{42}{4} - \frac{24}{3} = 10,5 - 8 = 2,5\end{gathered}\]

Ответ: 2,5

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_{xy}\left(\dfrac{x^2y^4}{y^2x}\right)\), если \(\log_{xy}x = 3\).

Добавить задание в избранное

По свойствам логарифма при \(\dfrac{x^2y^4}{y^2x} > 0\), \(1 \neq xy > 0\):

 

\(\log_{xy}\left(\dfrac{x^2y^4}{y^2x}\right) = \log_{xy}\left(\dfrac{x^2y^2}{x}\right) = \log_{xy}(x^2y^2) - \log_{xy}x =\)

\(=\log_{xy}(xy)^2 - \log_{xy}x = 2\log_{xy}|xy| - \log_{xy}x = 2 - \log_{xy}x\).

При \(\log_{xy}x = 3\) получим \(2 - 3 = -1\).

Ответ: -1

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\log_a{\sqrt{b}}\cdot\log^2_{\frac{1}{a}}{\sqrt{b}}}{\log_{a^2}b\cdot\log_{\sqrt[3]a}{\sqrt[6]b}}\), если \(\log_a{b} = 2\).

Добавить задание в избранное

\[\frac{\log_a{\sqrt{b}}\cdot\log^2_{\frac{1}{a}}{\sqrt{b}}}{\log_{a^2}b\cdot\log_{\sqrt[3]a}{\sqrt[6]b}} = \frac{\log_a{b^{\frac{1}{2}}}\cdot\log^2_{a^{-1}}{b^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}\cdot\log_{a}b\cdot\log_{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{6}}}} = \frac{\frac{1}{2}\cdot\log_a{b}\cdot\frac{1}{4}\cdot\log^2_{a}{b}}{\frac{1}{2}\cdot\log_{a}b\cdot3\cdot\frac{1}{6}\cdot\log_{a}{b}} = \frac{\frac{1}{8}\cdot\log^3_a{b}}{\frac{1}{4}\cdot\log^2_{a}b} = \frac{1}{2}\cdot\log_a{b} = \frac{1}{2}\cdot2 = 1\]

Ответ: 1

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_a{8}\cdot\log_b{a}\cdot\log_c{b}\cdot\log_d{c}\cdot\log_2{d}\).

Добавить задание в избранное

Переставим множители в обратном порядке и последовательно воспользуемся формулой \(\log_p{q}\cdot\log_q{r} = \log_p{r}\):

\[\begin{gathered} \log_a{8}\cdot\log_b{a}\cdot\log_c{b}\cdot\log_d{c}\cdot\log_2{d} = \log_2{d}\cdot\log_d{c}\cdot\log_c{b}\cdot\log_b{a}\cdot\log_a{8} =\\= \log_2{c}\cdot\log_c{b}\cdot\log_b{a}\cdot\log_a{8} = \log_2{b}\cdot\log_b{a}\cdot\log_a{8} =\\= \log_2{a}\cdot\log_a{8} = \log_2{8} = \log_2{2^3} = 3\log_2{2} = 3\end{gathered}\]

Ответ: 3

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \((\log_{x}(\log_{y}(\log_{z}(z^{y^{x}}))))^3\) при \(x > 1, \ y > 2, \ z > 3\).

Добавить задание в избранное

При \(x > 0, \ y > 0, \ z > 0, x \neq 1, y \neq 1, z \neq 1\): \[\log_{x}(\log_{y}(\log_{z}(z^{y^{x}}))) = \log_{x}(\log_{y}(y^{x}\log_{z}z)) = \log_{x}(\log_{y}(y^{x})) = \log_{x}(x\log_{y}y) = \log_{x}x = 1.\] Тогда \((\log_{x}(\log_{y}(\log_{z}(z^{y^{x}}))))^3 = 1^3 = 1\).

Ответ: 1

1 2 3 4