Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные логарифмические выражения (страница 3)

Здесь вам понадобятся все те знания, которые вы получили в предыдущей подтеме. НО:

т.к. теперь \(a,b,c\)неизвестные числа, то можно расширить область применения некоторых формул:

 

\(\blacktriangleright\) Формула (3) при четном \(m\): \[\log_a{b^m}=m\log_a{|b|}\]
Пример:
\(\log_3{b^2}=2\log_3{|b|}\)
Зачем модуль? Заметим, что в левую часть равенства можно подставлять вместо \(b\) все числа \(b\ne 0\). Если в правой части не поставить модуль (т.е. \(\log_3b\)), то вместо \(b\) можно подставлять только \(b>0\). Таким образом, теряется часть возможных значений числа \(b\).

 

\(\blacktriangleright\) Формулы (5) и (6): \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\]
Аналогичная причина.
Пример:
Если не поставить модули: \(\log_2{bc}=\log_2b+\log_2c\), то значения \(b=-1\) и \(c=-1\) не удовлетворяют равенству. Тогда как с модулями числа \(b\) и \(c\) могут одновременно быть отрицательными.

Задание 15 #1997
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \left(N^{\frac{1}{\log_2{N}}}\cdot N^{\frac{1}{\log_4{N}}}\cdot N^{\frac{1}{\log_8{N}}}\right)^{\frac{1}{3}}\).

Добавить задание в избранное

\[\left(N^{\frac{1}{\log_2{N}}}\cdot N^{\frac{1}{\log_4{N}}}\cdot N^{\frac{1}{\log_8{N}}}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(N^{\log_N{2}}\cdot N^{\log_N{4}}\cdot N^{\log_N{8}}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(2\cdot4\cdot8\right)^{\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{3}} = (4^3)^{\frac{1}{3}} = 4\]

Ответ: 4

Задание 16 #1999
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle a^{\frac{2}{\log_b{a}}} + 2a^{\log_a{b} + 1} + b^{\frac{2}{\log_a{b}}}\), если \(a + b = 7\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} a^{\frac{2}{\log_b{a}}} + 2a^{\log_a{b} + 1} + b^{\frac{2}{\log_a{b}}} = a^{2\log_a{b}} + 2a^{\log_a{b}}\cdot a^1 + b^{2\log_b{a}} =\\= a^{\log_a{b^2}} + 2ba + b^{\log_b{a^2}} = b^2 + 2ba + a^2 = (a + b)^2 = 7^2 = 49\end{gathered}\]

Ответ: 49

Задание 17 #2025
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(5^b + 6^c\), если \(b = \frac{3}{\log_2{5}}\), а \(c = (\log_5{6})^{-1}\).

Добавить задание в избранное

\[b = \frac{3}{\log_2{5}} = 3\cdot\log_5{2} = \log_5{2^3} = \log_5{8}\] \[c = (\log_5{6})^{-1} = \frac{1}{\log_5{6}} = \log_6{5}\] Тогда подставим соответствующие выражения для \(b\) и \(c\): \[5^b + 6^c = 5^{\log_5{8}} + 6^{\log_6{5}} = 8 + 5 = 13.\]

Ответ: 13

Задание 18 #2026
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(10^m + 3^n\), если \(\displaystyle m = \left(\frac{1}{2}\cdot\log_2{100}\right)^{-1}\), а \(c = (\log_7{\sqrt3})^{-1}\).

Добавить задание в избранное

\[m = \left(\frac{1}{2}\cdot\log_2{100}\right)^{-1} = \left(\log_2{100^{\frac{1}{2}}}\right)^{-1} = (\log_2{10})^{-1} = \log_{10}{2}\] \[n = (\log_7{\sqrt3})^{-1} = \log_{\sqrt3}{7} = \log_{3^{\frac{1}{2}}}{7} = 2\cdot\log_3{7} = \log_3{7^2} = \log_3{49}\] Тогда подставим соответствующие выражения для \(m\) и \(n\): \[10^m + 3^n = 10^{\log_{10}{2}} + 3^{\log_3{49}} = 2 + 49 = 51.\]

Ответ: 51

Задание 19 #2028
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(a\), если \(a = 3^b\), \(b = \log_c{0,25} + 3\log_u{4}\), \(c = \frac{1}{9}\), \(u = 27\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} b = \log_c{0,25} + 3\log_u{4} = \log_{\frac{1}{9}}{0,25} + 3\log_{27}{4} = \log_{3^{-2}}{2^{-2}} + 3\log_{3^3}{4} =\\= \frac{-2}{-2}\cdot\log_{3}{2} + \frac{3}{3}\cdot\log_{3}{4} = \log_{3}{2} + \log_{3}{4} = \log_3{8}\end{gathered}\]

Тогда подставим соответствующее выражение для \(b\): \[a = 3^b = 3^{\log_3{8}} = 8.\]

Ответ: 8

Задание 20 #2029
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите \(\displaystyle\frac{y}{x}\), если \(\displaystyle\log_x{y} = \frac{3 - 2a}{a + 2b}\), \(a = \log_{14}{7}\), \(b = \log_{14}{5}\), \(y = 56\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим выражение \(\displaystyle\frac{3 - 2a}{a + 2b}\):

\[\begin{gathered} \frac{3 - 2a}{a + 2b} = \frac{3 - 2\log_{14}{7}}{\log_{14}{7} + 2\log_{14}{5}} = \frac{3\log_{14}{14} - \log_{14}{7^2}}{\log_{14}{7} + \log_{14}{5^2}} =\\= \frac{\log_{14}{14^3} - \log_{14}{7^2}}{\log_{14}{7} + \log_{14}{25}} = \frac{\log_{14}{\frac{14^3}{7^2}}}{\log_{14}{(7\cdot25)}} = \frac{\log_{14}{\frac{(7\cdot2)^3}{7^2}}}{\log_{14}{(7\cdot25)}} = \frac{\log_{14}{\frac{7^3\cdot2^3}{7^2}}}{\log_{14}{(7\cdot25)}} =\\= \frac{\log_{14}{(7\cdot8)}}{\log_{14}{(7\cdot25)}} = \log_{7\cdot25}{(7\cdot8)} = \log_x{y}\end{gathered}\]

Так как \(y = 7\cdot8 = 56\) \(\Rightarrow\) \(x = 7\cdot25\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{7\cdot8}{7\cdot25} = \frac{8}{25} = 0,32\)

Ответ: 0,32

Задание 21 #2030
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите \(\displaystyle\frac{y}{x}\), если \(\displaystyle\log_y{x} = \frac{3 - 3a}{b + 1}\), \(a = \lg5\), \(b = \lg3\), \(x = 8\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим выражение \(\displaystyle\frac{3 - 3a}{b + 1}\):

\[\begin{gathered} \frac{3 - 3a}{b + 1} = \frac{3 - 3\lg5}{\lg3 + 1} = \frac{3\lg{10} - \lg{5^3}}{\lg3 + \lg{10}} =\\= \frac{\lg{10^3} - \lg{5^3}}{\lg{(3\cdot10)}} = \frac{\lg{(2\cdot5)^3} - \lg5^3}{\lg{30}} = \frac{\lg{(2^3\cdot5^3)} - \lg{5^3}}{\lg{30}} =\\= \frac{\lg{\frac{2^3\cdot5^3}{5^3}}}{\lg{30}} = \frac{\lg{2^3}}{\lg{30}} = \log_{30}{2^3} = \log_y{x}\end{gathered}\]

Так как \(x = 8\) \(\Rightarrow\) \(y = 30\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{30}{8} = 3,75\).

Ответ: 3,75

1 2 3 4