9. Преобразование числовых и буквенных выражений
Здесь вам понадобятся все те знания, которые вы получили в предыдущей подтеме. НО:
т.к. теперь \(a,b,c\) – неизвестные числа, то можно расширить область применения некоторых формул:
\(\blacktriangleright\) Формула (3) при четном \(m\): \[\log_a{b^m}=m\log_a{|b|}\]
Пример:
\(\log_3{b^2}=2\log_3{|b|}\)
Зачем модуль? Заметим, что в левую часть равенства можно подставлять вместо \(b\) все числа \(b\ne 0\). Если в правой части не поставить модуль (т.е. \(\log_3b\)), то вместо \(b\) можно подставлять только \(b>0\). Таким образом, теряется часть возможных значений числа \(b\).
\(\blacktriangleright\) Формулы (5) и (6): \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ \log_a{\dfrac
bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\]
Аналогичная причина.
Пример:
Если не поставить модули: \(\log_2{bc}=\log_2b+\log_2c\), то значения \(b=-1\) и \(c=-1\) не удовлетворяют равенству. Тогда как с модулями числа \(b\) и \(c\) могут одновременно быть отрицательными.
Найдите значение выражения \(\displaystyle \left(N^{\frac{1}{\log_2{N}}}\cdot N^{\frac{1}{\log_4{N}}}\cdot N^{\frac{1}{\log_8{N}}}\right)^{\frac{1}{3}}\).
\[\left(N^{\frac{1}{\log_2{N}}}\cdot N^{\frac{1}{\log_4{N}}}\cdot N^{\frac{1}{\log_8{N}}}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(N^{\log_N{2}}\cdot N^{\log_N{4}}\cdot N^{\log_N{8}}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(2\cdot4\cdot8\right)^{\frac{1}{3}} = 64^{\frac{1}{3}} = (4^3)^{\frac{1}{3}} = 4\]
Ответ: 4
Найдите значение выражения \(\displaystyle a^{\frac{2}{\log_b{a}}} + 2a^{\log_a{b} + 1} + b^{\frac{2}{\log_a{b}}}\), если \(a + b = 7\).
\[\begin{gathered} a^{\frac{2}{\log_b{a}}} + 2a^{\log_a{b} + 1} + b^{\frac{2}{\log_a{b}}} = a^{2\log_a{b}} + 2a^{\log_a{b}}\cdot a^1 + b^{2\log_b{a}} =\\= a^{\log_a{b^2}} + 2ba + b^{\log_b{a^2}} = b^2 + 2ba + a^2 = (a + b)^2 = 7^2 = 49\end{gathered}\]
Ответ: 49
Найдите значение выражения \(5^b + 6^c\), если \(b = \frac{3}{\log_2{5}}\), а \(c = (\log_5{6})^{-1}\).
\[b = \frac{3}{\log_2{5}} = 3\cdot\log_5{2} = \log_5{2^3} = \log_5{8}\] \[c = (\log_5{6})^{-1} = \frac{1}{\log_5{6}} = \log_6{5}\] Тогда подставим соответствующие выражения для \(b\) и \(c\): \[5^b + 6^c = 5^{\log_5{8}} + 6^{\log_6{5}} = 8 + 5 = 13.\]
Ответ: 13
Найдите значение выражения \(a\), если \(a = 3^b\), \(b = \log_c{0,25} + 3\log_u{4}\), \(c = \frac{1}{9}\), \(u = 27\).
\[\begin{gathered} b = \log_c{0,25} + 3\log_u{4} = \log_{\frac{1}{9}}{0,25} + 3\log_{27}{4} = \log_{3^{-2}}{2^{-2}} + 3\log_{3^3}{4} =\\= \frac{-2}{-2}\cdot\log_{3}{2} + \frac{3}{3}\cdot\log_{3}{4} = \log_{3}{2} + \log_{3}{4} = \log_3{8}\end{gathered}\]
Тогда подставим соответствующее выражение для \(b\): \[a = 3^b = 3^{\log_3{8}} = 8.\]
Ответ: 8
Найдите \(\displaystyle\frac{y}{x}\), если \(\displaystyle\log_x{y} = \frac{3 - 2a}{a + 2b}\), \(a = \log_{14}{7}\), \(b = \log_{14}{5}\), \(y = 56\).
Рассмотрим выражение \(\displaystyle\frac{3 - 2a}{a + 2b}\):
\[\begin{gathered} \frac{3 - 2a}{a + 2b} = \frac{3 - 2\log_{14}{7}}{\log_{14}{7} + 2\log_{14}{5}} = \frac{3\log_{14}{14} - \log_{14}{7^2}}{\log_{14}{7} + \log_{14}{5^2}} =\\= \frac{\log_{14}{14^3} - \log_{14}{7^2}}{\log_{14}{7} + \log_{14}{25}} = \frac{\log_{14}{\frac{14^3}{7^2}}}{\log_{14}{(7\cdot25)}} = \frac{\log_{14}{\frac{(7\cdot2)^3}{7^2}}}{\log_{14}{(7\cdot25)}} = \frac{\log_{14}{\frac{7^3\cdot2^3}{7^2}}}{\log_{14}{(7\cdot25)}} =\\= \frac{\log_{14}{(7\cdot8)}}{\log_{14}{(7\cdot25)}} = \log_{7\cdot25}{(7\cdot8)} = \log_x{y}\end{gathered}\]
Так как \(y = 7\cdot8 = 56\) \(\Rightarrow\) \(x = 7\cdot25\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{7\cdot8}{7\cdot25} = \frac{8}{25} = 0,32\)
Ответ: 0,32
Найдите \(\displaystyle\frac{y}{x}\), если \(\displaystyle\log_y{x} = \frac{3 - 3a}{b + 1}\), \(a = \lg5\), \(b = \lg3\), \(x = 8\).
Рассмотрим выражение \(\displaystyle\frac{3 - 3a}{b + 1}\):
\[\begin{gathered} \frac{3 - 3a}{b + 1} = \frac{3 - 3\lg5}{\lg3 + 1} = \frac{3\lg{10} - \lg{5^3}}{\lg3 + \lg{10}} =\\= \frac{\lg{10^3} - \lg{5^3}}{\lg{(3\cdot10)}} = \frac{\lg{(2\cdot5)^3} - \lg5^3}{\lg{30}} = \frac{\lg{(2^3\cdot5^3)} - \lg{5^3}}{\lg{30}} =\\= \frac{\lg{\frac{2^3\cdot5^3}{5^3}}}{\lg{30}} = \frac{\lg{2^3}}{\lg{30}} = \log_{30}{2^3} = \log_y{x}\end{gathered}\]
Так как \(x = 8\) \(\Rightarrow\) \(y = 30\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \frac{y}{x} = \frac{30}{8} = 3,75\).
Ответ: 3,75
Найдите значение выражения \(\log_{abcd}{x}\), если \(\displaystyle\log_x{a} = 14\), \(\displaystyle\log_x{b} = 13\), \(\displaystyle\log_x{c} = 8\), \(\displaystyle\log_x{d} = 15\).
\[\log_{abcd}{x} = \frac{1}{\log_{x}{abcd}} = \frac{1}{\log_{x}{a} + \log_{x}{b} + \log_{x}{c} + \log_{x}{d}} = \frac{1}{14 + 13 + 8 + 15} = \frac{1}{50} = 0,02\]
Ответ: 0,02
