9. Преобразование числовых и буквенных выражений
Здесь вам понадобятся все те знания, которые вы получили в предыдущей подтеме. НО:
т.к. теперь \(a,b,c\) – неизвестные числа, то можно расширить область применения некоторых формул:
\(\blacktriangleright\) Формула (3) при четном \(m\): \[\log_a{b^m}=m\log_a{|b|}\]
Пример:
\(\log_3{b^2}=2\log_3{|b|}\)
Зачем модуль? Заметим, что в левую часть равенства можно подставлять вместо \(b\) все числа \(b\ne 0\). Если в правой части не поставить модуль (т.е. \(\log_3b\)), то вместо \(b\) можно подставлять только \(b>0\). Таким образом, теряется часть возможных значений числа \(b\).
\(\blacktriangleright\) Формулы (5) и (6): \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ \log_a{\dfrac
bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\]
Аналогичная причина.
Пример:
Если не поставить модули: \(\log_2{bc}=\log_2b+\log_2c\), то значения \(b=-1\) и \(c=-1\) не удовлетворяют равенству. Тогда как с модулями числа \(b\) и \(c\) могут одновременно быть отрицательными.
Найдите значение выражения \(\log_{seka}{s}\), если \(\displaystyle\log_e{s} = \frac{1}{3}\), \(\displaystyle\log_k{s} = \frac{1}{9}\), \(\displaystyle\log_a{s} = \frac{1}{12}\).
\[\begin{gathered} \log_{seka}{s} = \frac{1}{\log_{s}{seka}} = \frac{1}{\log_{s}{s} + \log_{s}{e} + \log_{s}{k} + \log_{s}{a}} =\\= \frac{1}{1 + \frac{1}{\log_{e}{s}} + \frac{1}{\log_{k}{s}} + \frac{1}{\log_{a}{s}}} = \frac{1}{1 + 3 + 9 + 12} = \frac{1}{25} = 0,04\end{gathered}\]
Ответ: 0,04
Найдите значение выражения \(\log_{xy}{ab}\), если \(\displaystyle\log_a{x} = 7\), \(\displaystyle\log_a{y} = 3\), \(\displaystyle\log_b{x} = 6\), \(\displaystyle\log_b{y} = 4\).
\[\begin{gathered} \log_{xy}{ab} = \log_{xy}{a} + \log_{xy}{b} = \frac{1}{\log_a{xy}} + \frac{1}{\log_b{xy}} =\\= \frac{1}{\log_a{x} + \log_a{y}} + \frac{1}{\log_b{x} + \log_b{y}} = \frac{1}{7 + 3} + \frac{1}{6 + 4} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = 0,2\end{gathered}\]
Ответ: 0,2
Найдите значение выражения \(\displaystyle a^{\frac{\log_b{c}}{1 + \log_b{\frac{a}{b}}}}\), если \(a = 1001\), \(b = 1002\), \(c = 1003\).
Преобразуем выражение в показателе степени: \[\frac{\log_b{c}}{1 + \log_b{\frac{a}{b}}} = \frac{\log_b{c}}{1 + \log_b{a} - \log_b{b}} = \frac{\log_b{c}}{1 + \log_b{a} - 1} = \frac{\log_b{c}}{\log_b{a}} = \log_a{c}\]
Подставим в исходное выражение: \[a^{\frac{\log_b{c}}{1 + \log_b{\frac{a}{b}}}} = a^{\log_a{c}} = c = 1003\]
Ответ: 1003
Найдите значение выражения \(10^m + 3^n\), если \(\displaystyle m = \left(\frac{1}{2}\cdot\log_2{100}\right)^{-1}\), а \(n = (\log_7{\sqrt3})^{-1}\).
\[m = \left(\frac{1}{2}\cdot\log_2{100}\right)^{-1} = \left(\log_2{100^{\frac{1}{2}}}\right)^{-1} = (\log_2{10})^{-1} = \log_{10}{2}\] \[n = (\log_7{\sqrt3})^{-1} = \log_{\sqrt3}{7} = \log_{3^{\frac{1}{2}}}{7} = 2\cdot\log_3{7} = \log_3{7^2} = \log_3{49}\] Тогда подставим соответствующие выражения для \(m\) и \(n\): \[10^m + 3^n = 10^{\log_{10}{2}} + 3^{\log_3{49}} = 2 + 49 = 51.\]
Ответ: 51
© 2024 Все права защищены | Карта сайта
Политика конфиденциальности
Пользовательское соглашение
