Математика ЕГЭ Профиль
Русский язык ЕГЭ

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные логарифмические выражения (страница 4)

Здесь вам понадобятся все те знания, которые вы получили в предыдущей подтеме. НО:

т.к. теперь \(a,b,c\)неизвестные числа, то можно расширить область применения некоторых формул:

 

\(\blacktriangleright\) Формула (3) при четном \(m\): \[\log_a{b^m}=m\log_a{|b|}\]
Пример:
\(\log_3{b^2}=2\log_3{|b|}\)
Зачем модуль? Заметим, что в левую часть равенства можно подставлять вместо \(b\) все числа \(b\ne 0\). Если в правой части не поставить модуль (т.е. \(\log_3b\)), то вместо \(b\) можно подставлять только \(b>0\). Таким образом, теряется часть возможных значений числа \(b\).

 

\(\blacktriangleright\) Формулы (5) и (6): \[\log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\]
Аналогичная причина.
Пример:
Если не поставить модули: \(\log_2{bc}=\log_2b+\log_2c\), то значения \(b=-1\) и \(c=-1\) не удовлетворяют равенству. Тогда как с модулями числа \(b\) и \(c\) могут одновременно быть отрицательными.

Задание 22 #2031
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_{abcd}{x}\), если \(\displaystyle\log_x{a} = 14\), \(\displaystyle\log_x{b} = 13\), \(\displaystyle\log_x{c} = 8\), \(\displaystyle\log_x{d} = 15\).

Добавить задание в избранное

\[\log_{abcd}{x} = \frac{1}{\log_{x}{abcd}} = \frac{1}{\log_{x}{a} + \log_{x}{b} + \log_{x}{c} + \log_{x}{d}} = \frac{1}{14 + 13 + 8 + 15} = \frac{1}{50} = 0,02\]

Ответ: 0,02

Задание 23 #2032
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_{seka}{s}\), если \(\displaystyle\log_e{s} = \frac{1}{3}\), \(\displaystyle\log_k{s} = \frac{1}{9}\), \(\displaystyle\log_a{s} = \frac{1}{12}\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \log_{seka}{s} = \frac{1}{\log_{s}{seka}} = \frac{1}{\log_{s}{s} + \log_{s}{e} + \log_{s}{k} + \log_{s}{a}} =\\= \frac{1}{1 + \frac{1}{\log_{e}{s}} + \frac{1}{\log_{k}{s}} + \frac{1}{\log_{a}{s}}} = \frac{1}{1 + 3 + 9 + 12} = \frac{1}{25} = 0,04\end{gathered}\]

Ответ: 0,04

Задание 24 #2033
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log_{xy}{ab}\), если \(\displaystyle\log_a{x} = 7\), \(\displaystyle\log_a{y} = 3\), \(\displaystyle\log_b{x} = 6\), \(\displaystyle\log_b{y} = 4\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \log_{xy}{ab} = \log_{xy}{a} + \log_{xy}{b} = \frac{1}{\log_a{xy}} + \frac{1}{\log_b{xy}} =\\= \frac{1}{\log_a{x} + \log_a{y}} + \frac{1}{\log_b{x} + \log_b{y}} = \frac{1}{7 + 3} + \frac{1}{6 + 4} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = 0,2\end{gathered}\]

Ответ: 0,2

Задание 25 #2036
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle a^{\frac{\log_b{c}}{1 + \log_b{\frac{a}{b}}}}\), если \(a = 1001\), \(b = 1002\), \(c = 1003\).

Добавить задание в избранное

Преобразуем выражение в показателе степени: \[\frac{\log_b{c}}{1 + \log_b{\frac{a}{b}}} = \frac{\log_b{c}}{1 + \log_b{a} - \log_b{b}} = \frac{\log_b{c}}{1 + \log_b{a} - 1} = \frac{\log_b{c}}{\log_b{a}} = \log_a{c}\]

Подставим в исходное выражение: \[a^{\frac{\log_b{c}}{1 + \log_b{\frac{a}{b}}}} = a^{\log_a{c}} = c = 1003\]

Ответ: 1003