9. Преобразование числовых и буквенных выражений
\(\blacktriangleright\) Выражение \(\left(f(x)\right)^{g(x)}\) имеет смысл только при \(f(x)>0\).
\(\blacktriangleright\) Основные формулы:
\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline g=g(x), h=h(x) &\\ &\\ a^0=1 &a^1=a\\ a^{gh}=(a^g)^h &a^g\cdot a^h=a^{g+h}\\ \dfrac{a^g}{a^h}=a^{g-h}&a^{-g}=\dfrac{1}{a^g}\\ a^g\cdot b^g=(a\cdot b)^g &\\ a^{\frac{g}{n}}=\sqrt[n]{a^g} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^g}{b^g}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^g\\&\\ a,b>0, \ \ a,b\ne 1, n\in\mathbb{N}&\\ \hline \end{array}}\]
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{(p^{4,56})^3\cdot p^{2,78}:p^{5,31}}{p^{1,15}}\), если \(p^5 = 13\).
\[\begin{gathered} \frac{(p^{4,56})^3\cdot p^{2,78}:p^{5,31}}{p^{1,15}} = \frac{p^{4,56\cdot3 + 2,78 - 5,31}}{p^{1,15}} = \frac{p^{11,15}}{p^{1,15}} = p^{11,15 - 1,15} = p^{10} = (p^5)^2 = 13^2 = 169\end{gathered}\]
Ответ: 169
Найдите значение выражения \(\dfrac{(5\cdot g)^2\cdot e^2}{5\cdot e^4}\) при \(g = e\).
\[\dfrac{(5\cdot g)^2\cdot e^2}{5\cdot e^4} = \dfrac{5^2\cdot g^2}{5\cdot e^2},\] что при \(g = e\) равно \(5\cdot\dfrac{e^2}{e^2} = 5.\)
Ответ: 5
Найдите значение выражения \(\dfrac{\sqrt{24 \sqrt[17]{n}} \cdot (\sqrt[17]{n})^2}{\sqrt{6} (\sqrt[68]{n})^{10}}\) при \(n > 0\).
При \(n > 0\): \[\dfrac{\sqrt{24 \sqrt[17]{n}} \cdot (\sqrt[17]{n})^2}{\sqrt{6} (\sqrt[68]{n})^{10}} = \dfrac{2\sqrt{6} (n^{\frac{1}{17}})^{\frac{1}{2}} \cdot (n^{\frac{1}{17}})^2}{\sqrt{6} \cdot n^{\frac{5}{34}}} = \dfrac{2 n^{\frac{1}{34} + \frac{2}{17}}}{n^{\frac{5}{34}}} = 2.\]
Ответ: 2
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{((x^8y^3)^4:(x^3y)^5)^3}{(x^7y^2)^3}\), если \(\displaystyle x^6 = \frac{2}{y^3}\).
\(\displaystyle x^6 = \frac{2}{y^3}\) \(\Rightarrow\) \(x^6y^3 = 2\)
\[\begin{gathered} \frac{((x^8y^3)^4:(x^3y)^5)^3}{(x^7y^2)^3} = \frac{((x^{32}y^{12}):(x^{15}y^5))^3}{x^{21}y^6} = \frac{(x^{32 - 15}y^{12 - 5})^3}{x^{21}y^6} = \frac{x^{17\cdot3}y^{7\cdot3}}{x^{21}y^6} =\\= \frac{x^{51}y^{21}}{x^{21}y^6} = x^{51 - 21}y^{21 - 6} = x^{30}y^{15} = (x^6y^3)^5 = 2^5 = 32\end{gathered}\]
Ответ: 32
Найдите значение выражения \(\displaystyle 3^{\frac{p - 3}{p^2 + 3p}}:9^{\frac{6}{9 - p^2}}\cdot27^{\frac{1}{3p - p^2}}\), если \(p = 4\).
\[\begin{gathered} 3^{\frac{p - 3}{p^2 + 3p}}:9^{\frac{6}{9 - p^2}}\cdot27^{\frac{1}{3p - p^2}} = 3^{\frac{p - 3}{p^2 + 3p}}:(3^2)^{\frac{6}{9 - p^2}}\cdot(3^3)^{\frac{1}{3p - p^2}} = 3^{\frac{p - 3}{p^2 + 3p}}:3^{\frac{12}{9 - p^2}}\cdot3^{\frac{3}{3p - p^2}} =\\= 3^{\frac{p - 3}{p^2 + 3p} - \frac{12}{9 - p^2} + \frac{3}{3p - p^2}} = 3^{\frac{p - 3}{p(p + 3)} - \frac{12}{(3 - p)(3 + p)} + \frac{3}{p(3 - p)}} = 3^{\frac{-(p - 3)^2 - 12p + 3(p + 3)}{p(p + 3)(3 - p)}} =\\= 3^{\frac{-p^2 + 6p - 9 - 12p + 3p +9}{p(p + 3)(3 - p)}} = 3^{\frac{-p^2 - 3p}{p(p + 3)(3 - p)}} = 3^{\frac{-p(p + 3)}{p(p + 3)(3 - p)}} =\\= 3^{-\frac{1}{3 - p}} = 3^{-\frac{1}{3 - 4}} = 3^1 = 3\end{gathered}\]
Ответ: 3
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt[4a]{\sqrt[a:2]{x^{2a^3}}}}{x^{a - 3}}\) при \(x = 4\), \(a = 11\).
\[\begin{gathered} \frac{\sqrt[4a]{\sqrt[a:2]{x^{2a^3}}}}{x^{a - 3}} = \frac{x^{\frac{2a^3}{a:2}:(4a)}}{x^{a - 3}} = \frac{x^{\frac{4a^3}{a}:(4a)}}{x^{a - 3}} = \frac{x^{(4a^2):(4a)}}{x^{a - 3}} = \frac{x^{a}}{x^{a - 3}} = x^{a - (a - 3)} = x^{a - a + 3} = x^3 = 4^3 = 64\end{gathered}\]
Ответ: 64
Найдите значение выражения \(\dfrac{(2^\frac{5}{3}\cdot q)^6}{q^2\cdot q\cdot q^3}\) при \(q = -\log_5(600\pi^2(\sin^2(e^2\cdot \mathrm{tg}\, (1)) + 1))\).
При \(q\neq 0\): \[\dfrac{(2^\frac{5}{3}\cdot q)^6}{q^2\cdot q\cdot q^3} = \dfrac{2^{\frac{5}{3}\cdot 6}\cdot q^6}{q^{2 + 1 + 3}} = \dfrac{2^{10}\cdot q^6}{q^6} = 1024.\]
Ответ: 1024
