9. Преобразование числовых и буквенных выражений
\(\blacktriangleright\) Алгоритм применения формул приведения:
Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: \[\sin
\longleftrightarrow \cos\] \[\mathrm{tg} \longleftrightarrow \mathrm{ctg}\]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти находится изначальный угол (предполагая, что \(\alpha\) – острый)
\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \((\pi n\pm
\alpha)\), где \(n\) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: \(\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \((\pi n\pm \alpha)\)
\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\), где \(n\) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: \(\sin \left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)=\bigodot \cos
\alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\)
\(\blacktriangleright\) Основные формулы:
\[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg} \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg} \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \cos {2\alpha}=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha&&\cos {2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\&&\\ \cos {2\alpha}=2\cos^2\alpha -1&&\sin {2\alpha}=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \hline \end{array}\]
Найдите значение выражения \(\sin2\alpha\), если \(\cos\alpha = 0,8\), \(270^\circ < \alpha < 360^\circ\).
\[\sin2\alpha = 2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha\] Так как угол \(\alpha\) расположен в четвертой четверти, то синус этого угла будет отрицательной величиной: \[\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - 0,8^2} = -\sqrt{1 - 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6\] Тогда искомая величина будет равна: \[2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha = 2\cdot(-0,6)\cdot0,8 = -0,96\]
Ответ: -0,96
Найдите значение выражения \(\mathrm{tg}\,2\alpha\), если \(\displaystyle \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}\), \(\displaystyle \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\).
\[\mathrm{tg}\,2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \frac{2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{2\cos^2\alpha - 1}\] Так как угол \(\alpha\) расположен в четвертой четверти, то синус этого угла будет отрицательной величиной: \[\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{10}} = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}}\] Тогда искомая величина будет равна:
\[\frac{2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{2\cos^2\alpha - 1} = \frac{2\cdot\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}}{2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 - 1} = \frac{-\frac{6}{10}}{\frac{2}{10} - 1} = \frac{-\frac{6}{10}}{-\frac{8}{10}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75\]
Ответ: 0,75
Найдите значение выражения \(3\mathrm{ctg}\,2\alpha\), если \(\displaystyle \sin\alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}}\), \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\).
\[\mathrm{ctg}\,2\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} = \frac{1 - 2\cdot\sin^2\alpha}{2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha}\] Так как угол \(\alpha\) расположен в третьей четверти, то косинус этого угла будет отрицательной величиной: \[\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{10}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}\] Тогда искомая величина будет равна:
\[3\cdot\frac{1 - 2\cdot\sin^2\alpha}{2\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha} = 3\cdot\frac{1 - 2\cdot\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2}{2\cdot\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)} = 3\cdot\frac{1 - \frac{18}{10}}{\frac{6}{10}} = 3\cdot\frac{-\frac{8}{10}}{\frac{6}{10}} = 3\cdot\left(-\frac{8}{6}\right) = -\frac{8}{2} = -4\]
Ответ: -4
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{1 - \cos2\alpha}{1 + \cos2\alpha}\), если \(\mathrm{tg}\,\alpha = 5\).
\[\frac{1 - \cos2\alpha}{1 + \cos2\alpha} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2\alpha)}{1 + (2\cos^2\alpha - 1)} = \frac{2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \mathrm{tg^2}\,\alpha = 5^2 = 25\]
Ответ: 25
Найдите \(\sin^2 2x\), если \(\sin x = 0,3\)
\[\sin^2 2x = (\sin 2x)^2 = (2\cdot\sin x\cdot\cos x)^2 = 4\cdot\sin^2x\cdot\cos^2x\,.\]
Так как \(\sin x = 0,3\), то \(\cos^2 x = 1 - \sin^2x = 1 - 0,09 = 0,91\), следовательно, значение исходного выражения равно \[4\cdot 0,09\cdot 0,91 = 0,3276\,.\]
Ответ: 0,3276
Найдите \(\mathrm{ctg}^2\, \alpha\), если \(-41\sin^2 \alpha + 17\cos^2 \alpha = 16\).
Используя основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), можем переписать исходное выражение в виде: \[-41\sin^2 \alpha + 17\cos^2 \alpha = 16\cdot(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha),\] что равносильно \(-57\sin^2 \alpha = - \cos^2 \alpha\) и значит \(\sin^2 \alpha \neq 0\) и можно поделить левую и правую часть последнего равенства на \(\sin^2 \alpha\): \[-57 = -\mathrm{ctg}^2\, \alpha\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{ctg}^2\, \alpha = 57.\]
Ответ: 57
Найдите \(\dfrac{14\cos\alpha - 4\sin\alpha - 7}{-21\cos\alpha + 6\sin\alpha + 4}\), если \(\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{7}{2}\).
\[\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{7}{2},\] тогда \(\sin\alpha = 3,5\cdot\cos\alpha\). Подставляя полученное выражение, получаем:
\[\dfrac{14\cos\alpha - 14\cos\alpha - 7}{-21\cos\alpha + 21\cos\alpha + 4} = -1,75.\]
Ответ: -1,75
