Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные тригонометрические выражения (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Алгоритм применения формул приведения:

 

Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: \[\sin \longleftrightarrow \cos\] \[\mathrm{tg} \longleftrightarrow \mathrm{ctg}\]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти находится изначальный угол (предполагая, что \(\alpha\) – острый)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \((\pi n\pm \alpha)\), где \(n\) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: \(\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \((\pi n\pm \alpha)\)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\), где \(n\) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: \(\sin \left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)=\bigodot \cos \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\)

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

 

\[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg} \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg} \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \cos {2\alpha}=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha&&\cos {2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\&&\\ \cos {2\alpha}=2\cos^2\alpha -1&&\sin {2\alpha}=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \hline \end{array}\]

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha}{5\sin\alpha\cdot\cos\alpha + 3}\), если \(\mathrm{tg}\,\alpha = -2\).

Добавить задание в избранное

\(\mathrm{tg}\,\alpha = -2\) \(\Rightarrow\) \(\sin\alpha = -2\cos\alpha\)

Тогда:

\[\begin{gathered} \frac{\sin^2\alpha - 2\cos^2\alpha}{5\sin\alpha\cdot\cos\alpha + 3} = \frac{(-2\cos\alpha)^2 - 2\cos^2\alpha}{5\cdot(-2\cos\alpha)\cdot\cos\alpha + 3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)} =\\= \frac{4\cos^2\alpha - 2\cos^2\alpha}{-10\cos^2\alpha + 3((-2\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha)} = \frac{2\cos^2\alpha}{-10\cos^2\alpha + 3(4\cos^2\alpha + \cos^2\alpha)} =\\= \frac{2\cos^2\alpha}{-10\cos^2\alpha + 3\cdot5\cos^2\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha}{-10\cos^2\alpha + 15\cos^2\alpha} = \frac{2\cos^2\alpha}{5\cos^2\alpha} = \frac{2}{5} = 0,4\end{gathered}\]

Ответ: 0,4

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{2 + 3\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \sin\alpha\cdot\cos\alpha}\), если \(\mathrm{tg}\,\alpha = 4\).

Добавить задание в избранное

\(\mathrm{tg}\,\alpha = 4\) \(\Rightarrow\) \(\sin\alpha = 4\cos\alpha\)

Тогда:

\[\begin{gathered} \frac{2 + 3\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \sin\alpha\cdot\cos\alpha} = \frac{2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 3\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \sin\alpha\cdot\cos\alpha} =\\= \frac{2((4\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha) + 3\cdot4\cos\alpha\cdot\cos\alpha}{(4\cos\alpha)^2 + 4\cos\alpha\cdot\cos\alpha} = \frac{2(16\cos^2\alpha + \cos^2\alpha) + 12\cos^2\alpha}{16\cos^2\alpha + 4\cos^2\alpha} =\\= \frac{2\cdot17\cos^2\alpha + 12\cos^2\alpha}{20\cos^2\alpha} = \frac{34\cos^2\alpha + 12\cos^2\alpha}{20\cos^2\alpha} = \frac{46\cos^2\alpha}{20\cos^2\alpha} = \frac{46}{20} = \frac{23}{10} = 2,3\end{gathered}\]

Ответ: 2,3

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{4\cos{(3\pi - \gamma)} + 3\sin{(2,5 \pi - \gamma)}}{0,5\sin{(0,5\pi + \gamma)} - 0,5\cos{(\pi + \gamma)}}\) при \(\cos \gamma \neq 0\).

Добавить задание в избранное

Используя формулы приведения, получаем: \[\dfrac{4\cos{(3\pi - \gamma)} + 3\sin{(2,5 \pi - \gamma)}}{0,5\sin{(0,5\pi + \gamma)} - 0,5\cos{(\pi + \gamma)}} = \dfrac{-4\cos{\gamma} + 3\cos{\gamma}}{0,5\cos{\gamma} + 0,5\cos{\gamma}} = \dfrac{-\cos{\gamma}}{\cos{\gamma}} = -1.\]

Ответ: -1

Задание 18
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите \(|\sin x + \cos x|\), если \(\sin x\cdot\cos x = 0,345\).

Добавить задание в избранное

Обозначим \(t = |\sin x + \cos x|\), \(t \geq 0\), тогда \[t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2x + \cos^2x + 2\cdot\sin x\cdot\cos x = 1 + 2\cdot\sin x\cdot\cos x,\] что при \(\sin x\cdot\cos x = 0,345\) равно \(1 + 2\cdot 0,345 = 1,69\). Так как \(t^2 = 1,69\) и \(t \geq 0\), то \(t = 1,3\).

Ответ: 1,3

Задание 19
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите \(-|\sin x - \cos x|\), если \(\sin x = \dfrac{0,18}{\cos x}\).

Добавить задание в избранное

Так как \(\sin x = \dfrac{0,18}{\cos x}\), то \(\sin x\cdot \cos x = 0,18\).
Обозначим \(t = -|\sin x - \cos x|\), \(t \leq 0\), тогда \[t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2x + \cos^2x - 2\cdot\sin x\cdot\cos x = 1 - 2\cdot\sin x\cdot\cos x,\] что при \(\sin x\cdot\cos x = 0,18\) равно \(1 - 2\cdot 0,18 = 0,64\). Так как \(t^2 = 0,64\) и \(t \leq 0\), то \(t = -0,8\).

Ответ: -0,8

Задание 20
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sin{\left(\dfrac{1001 \pi}{2} + \alpha\right)}\), если \(\sin \alpha = \dfrac{3\sqrt{7}}{8}\), \(\alpha \in \left(0,5\pi; \pi \right)\).

Добавить задание в избранное

Используя формулы приведения, получаем:

\[\sin{\left(\dfrac{1001 \pi}{2} + \alpha\right)} = \sin{\left(500\pi + \dfrac{\pi}{2} + \alpha\right)} = \sin{\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right)} = \cos \alpha.\] Далее используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), откуда находим: \(\cos^2 \alpha = \dfrac{1}{64}\), что равносильно \(\cos \alpha = \pm 0,125\).

С учётом условия \(\alpha \in \left(0,5\pi; \pi \right)\) из двух возможных значений остаётся только \(\cos \alpha = -0,125\) (во второй четверти косинус неположителен).

Ответ: -0,125

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \[(\cos^22x - \sin^22x)\cdot\cos 4x + 2\cdot\sin 2x\cdot\sin 4x\cdot\cos 2x\]

Добавить задание в избранное

\[(\cos^22x - \sin^22x) = \cos 4x,\qquad 2\cdot\sin 2x\cdot\sin 4x\cdot\cos 2x = 2\cdot\sin 2x\cdot\cos 2x\cdot\sin 4x = \sin^2 4x\,,\] тогда \[(\cos^22x - \sin^22x)\cdot\cos 4x + 2\cdot\sin 2x\cdot\sin 4x\cdot\cos 2x = \cos^24x + \sin^24x = 1\,.\]

Ответ: 1

1 2 3 4 5