9. Преобразование числовых и буквенных выражений
\(\blacktriangleright\) Алгоритм применения формул приведения:
Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: \[\sin
\longleftrightarrow \cos\] \[\mathrm{tg} \longleftrightarrow \mathrm{ctg}\]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти находится изначальный угол (предполагая, что \(\alpha\) – острый)
\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \((\pi n\pm
\alpha)\), где \(n\) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: \(\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \((\pi n\pm \alpha)\)
\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\), где \(n\) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: \(\sin \left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)=\bigodot \cos
\alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\)
\(\blacktriangleright\) Основные формулы:
\[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg} \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg} \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \cos {2\alpha}=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha&&\cos {2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\&&\\ \cos {2\alpha}=2\cos^2\alpha -1&&\sin {2\alpha}=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \hline \end{array}\]
Найдите значение выражения \[(\cos^22x - \sin^22x)\cdot\cos 4x + 2\cdot\sin 2x\cdot\sin 4x\cdot\cos 2x\]
\[(\cos^22x - \sin^22x) = \cos 4x,\qquad 2\cdot\sin 2x\cdot\sin 4x\cdot\cos 2x = 2\cdot\sin 2x\cdot\cos 2x\cdot\sin 4x = \sin^2 4x\,,\] тогда \[(\cos^22x - \sin^22x)\cdot\cos 4x + 2\cdot\sin 2x\cdot\sin 4x\cdot\cos 2x = \cos^24x + \sin^24x = 1\,.\]
Ответ: 1
Найдите \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin\alpha + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\cos\alpha\), если \(\cos\left(\alpha + \dfrac{7\pi}{4}\right) = 0,21\).
Воспользуемся формулой для косинуса разности:
\[\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin\alpha + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\cos\alpha = \sin\dfrac{\pi}{4}\cdot\sin\alpha + \cos\dfrac{\pi}{4}\cdot\cos\alpha = \cos\left(\dfrac{\pi}{4} - \alpha\right).\] Так как косинус – чётная \(2\pi\)-периодическая функция, то \[\cos\left(\dfrac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\alpha - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\alpha - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi\right) = \cos\left(\alpha + \dfrac{7\pi}{4}\right) = 0,21.\]
Ответ: 0,21
Найдите значение выражения \(\sin^3\alpha - \cos^3\alpha\), если \(\displaystyle\cos\alpha = \sin\alpha + \frac{1}{2}\).
\(\displaystyle\cos\alpha = \sin\alpha + \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\sin\alpha - \cos\alpha = -\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle1 - 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\sin2\alpha = \frac{3}{4}\)
Тогда:
\[\begin{gathered} \sin^3\alpha - \cos^3\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)\cdot(\sin^2\alpha + \sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos^2\alpha) =\\= (\sin\alpha - \cos\alpha)\cdot(1 + \frac{1}{2}\cdot2\sin\alpha\cdot\cos\alpha) = (\sin\alpha - \cos\alpha)\cdot(1 + \frac{1}{2}\cdot\sin2\alpha) =\\= -\frac{1}{2}\cdot\left(1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\left(1 + \frac{3}{8}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{8} = -\frac{11}{16} = -0,6875\end{gathered}\]
Ответ: -0,6875
Найдите значение выражения \(\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\cdot\sin^3\alpha + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\cos^3\alpha\), если \(\displaystyle\sin\alpha = \frac{\sqrt3}{2} - \cos\alpha\).
\(\displaystyle\sin\alpha = \frac{\sqrt3}{2} - \cos\alpha\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{\sqrt3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \frac{3}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{3}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle 1 + 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{3}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \sin2\alpha = -\frac{1}{4}\)
Тогда:
\[\begin{gathered} \frac{\sqrt3}{2}\cdot\sin^3\alpha + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\cos^3\alpha = \frac{\sqrt3}{2}\cdot(\sin\alpha + \cos\alpha)\cdot(\sin^2\alpha - \sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos^2\alpha) =\\= \frac{\sqrt3}{2}\cdot(\sin\alpha + \cos\alpha)\cdot(1 - \frac{1}{2}\cdot2\sin\alpha\cdot\cos\alpha) = \frac{\sqrt3}{2}\cdot(\sin\alpha + \cos\alpha)\cdot(1 - \frac{1}{2}\cdot\sin2\alpha) =\\= \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(1 - \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\right) = \frac{3}{4}\cdot\left(1 + \frac{1}{8}\right) = \frac{3}{4}\cdot\frac{9}{8} = \frac{27}{32} = 0,84375\end{gathered}\]
Ответ: 0,84375
Найдите значение выражения \(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha\), если \(\displaystyle \sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{\frac{3}{2}}\).
\(\displaystyle \sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{\frac{3}{2}}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \frac{3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle 1 + 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{1}{4}\)
Тогда:
\[\begin{gathered} \sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)\cdot(\sin^4\alpha - \sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha + \cos^4\alpha) =\\= 1\cdot(\sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha + \cos^4\alpha - 3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha) = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha =\\= 1 - 3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha = 1 - 3\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16} = 0,8125\end{gathered}\]
Ответ: 0,8125
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{1 - 8\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}{\sqrt3}\), если \(\alpha = 7,5^\circ\).
Рассмотрим выражение: \[1 - 8\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha = 1 - 2\cdot4\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha = 1 - 2\cdot(2\sin\alpha\cdot\cos\alpha)^2 = 1 - 2\sin^2{2\alpha} = \cos4\alpha\] Подставим в искомое выражение: \[\frac{1 - 8\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}{\sqrt3} = \frac{\cos4\alpha}{\sqrt3} = \frac{\cos{(4\cdot7,5^\circ)}}{\sqrt3} = \frac{\cos30^\circ}{\sqrt3} = \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt3} = \frac{1}{2} = 0,5\]
Ответ: 0,5
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{1 + 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha - \cos4\alpha}{\cos\alpha\cdot(1 + 4\sin\alpha\cdot\cos\alpha)}\), если \(\sin\alpha = 0,13\).
\[\begin{gathered} \frac{1 + 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha - \cos4\alpha}{\cos\alpha\cdot(1 + 4\sin\alpha\cdot\cos\alpha)} = \frac{1 + \sin2\alpha - (1 - 2\sin^2{2\alpha})}{\cos\alpha\cdot(1 + 2\sin2\alpha)} =\\= \frac{1 + \sin2\alpha - 1 + 2\sin^2{2\alpha}}{\cos\alpha\cdot(1 + 2\sin2\alpha)} = \frac{\sin2\alpha + 2\sin^2{2\alpha}}{\cos\alpha\cdot(1 + 2\sin2\alpha)} =\\= \frac{\sin2\alpha\cdot(1 + 2\sin{2\alpha})}{\cos\alpha\cdot(1 + 2\sin2\alpha)} = \frac{\sin2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha = 2\cdot0,13 = 0,26\end{gathered}\]
Ответ: 0,26
