Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Буквенные тригонометрические выражения (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Алгоритм применения формул приведения:

 

Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: \[\sin \longleftrightarrow \cos\] \[\mathrm{tg} \longleftrightarrow \mathrm{ctg}\]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти находится изначальный угол (предполагая, что \(\alpha\) – острый)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \((\pi n\pm \alpha)\), где \(n\) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: \(\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \((\pi n\pm \alpha)\)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\), где \(n\) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: \(\sin \left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)=\bigodot \cos \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\)

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

 

\[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg} \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg} \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \cos {2\alpha}=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha&&\cos {2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\&&\\ \cos {2\alpha}=2\cos^2\alpha -1&&\sin {2\alpha}=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \hline \end{array}\]

Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin\alpha + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\cos\alpha\), если \(\cos\left(\alpha + \dfrac{7\pi}{4}\right) = 0,21\).

Добавить задание в избранное

Воспользуемся формулой для косинуса разности:
\[\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin\alpha + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\cos\alpha = \sin\dfrac{\pi}{4}\cdot\sin\alpha + \cos\dfrac{\pi}{4}\cdot\cos\alpha = \cos\left(\dfrac{\pi}{4} - \alpha\right).\] Так как косинус – чётная \(2\pi\)-периодическая функция, то \[\cos\left(\dfrac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\left(\alpha - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\alpha - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi\right) = \cos\left(\alpha + \dfrac{7\pi}{4}\right) = 0,21.\]

Ответ: 0,21

Задание 23
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sin^3\alpha - \cos^3\alpha\), если \(\displaystyle\cos\alpha = \sin\alpha + \frac{1}{2}\).

Добавить задание в избранное

\(\displaystyle\cos\alpha = \sin\alpha + \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\sin\alpha - \cos\alpha = -\frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle1 - 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\sin2\alpha = \frac{3}{4}\)

Тогда:

\[\begin{gathered} \sin^3\alpha - \cos^3\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)\cdot(\sin^2\alpha + \sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos^2\alpha) =\\= (\sin\alpha - \cos\alpha)\cdot(1 + \frac{1}{2}\cdot2\sin\alpha\cdot\cos\alpha) = (\sin\alpha - \cos\alpha)\cdot(1 + \frac{1}{2}\cdot\sin2\alpha) =\\= -\frac{1}{2}\cdot\left(1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\left(1 + \frac{3}{8}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{8} = -\frac{11}{16} = -0,6875\end{gathered}\]

Ответ: -0,6875

Задание 24
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\cdot\sin^3\alpha + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\cos^3\alpha\), если \(\displaystyle\sin\alpha = \frac{\sqrt3}{2} - \cos\alpha\).

Добавить задание в избранное

\(\displaystyle\sin\alpha = \frac{\sqrt3}{2} - \cos\alpha\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{\sqrt3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \frac{3}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{3}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle 1 + 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{3}{4}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \sin2\alpha = -\frac{1}{4}\)

Тогда:

\[\begin{gathered} \frac{\sqrt3}{2}\cdot\sin^3\alpha + \frac{\sqrt3}{2}\cdot\cos^3\alpha = \frac{\sqrt3}{2}\cdot(\sin\alpha + \cos\alpha)\cdot(\sin^2\alpha - \sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos^2\alpha) =\\= \frac{\sqrt3}{2}\cdot(\sin\alpha + \cos\alpha)\cdot(1 - \frac{1}{2}\cdot2\sin\alpha\cdot\cos\alpha) = \frac{\sqrt3}{2}\cdot(\sin\alpha + \cos\alpha)\cdot(1 - \frac{1}{2}\cdot\sin2\alpha) =\\= \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(1 - \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\right) = \frac{3}{4}\cdot\left(1 + \frac{1}{8}\right) = \frac{3}{4}\cdot\frac{9}{8} = \frac{27}{32} = 0,84375\end{gathered}\]

Ответ: 0,84375

Задание 25
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha\), если \(\displaystyle \sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{\frac{3}{2}}\).

Добавить задание в избранное

\(\displaystyle \sin\alpha + \cos\alpha = \sqrt{\frac{3}{2}}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \frac{3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle 1 + 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{3}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{1}{4}\)

Тогда:

\[\begin{gathered} \sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)\cdot(\sin^4\alpha - \sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha + \cos^4\alpha) =\\= 1\cdot(\sin^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha + \cos^4\alpha - 3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha) = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha =\\= 1 - 3\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha = 1 - 3\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16} = 0,8125\end{gathered}\]

Ответ: 0,8125

Задание 26
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{1 - 8\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}{\sqrt3}\), если \(\alpha = 7,5^\circ\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим выражение: \[1 - 8\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha = 1 - 2\cdot4\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha = 1 - 2\cdot(2\sin\alpha\cdot\cos\alpha)^2 = 1 - 2\sin^2{2\alpha} = \cos4\alpha\] Подставим в искомое выражение: \[\frac{1 - 8\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}{\sqrt3} = \frac{\cos4\alpha}{\sqrt3} = \frac{\cos{(4\cdot7,5^\circ)}}{\sqrt3} = \frac{\cos30^\circ}{\sqrt3} = \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt3} = \frac{1}{2} = 0,5\]

Ответ: 0,5

Задание 27
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{1 + 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha - \cos4\alpha}{\cos\alpha\cdot(1 + 4\sin\alpha\cdot\cos\alpha)}\), если \(\sin\alpha = 0,13\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{1 + 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha - \cos4\alpha}{\cos\alpha\cdot(1 + 4\sin\alpha\cdot\cos\alpha)} = \frac{1 + \sin2\alpha - (1 - 2\sin^2{2\alpha})}{\cos\alpha\cdot(1 + 2\sin2\alpha)} =\\= \frac{1 + \sin2\alpha - 1 + 2\sin^2{2\alpha}}{\cos\alpha\cdot(1 + 2\sin2\alpha)} = \frac{\sin2\alpha + 2\sin^2{2\alpha}}{\cos\alpha\cdot(1 + 2\sin2\alpha)} =\\= \frac{\sin2\alpha\cdot(1 + 2\sin{2\alpha})}{\cos\alpha\cdot(1 + 2\sin2\alpha)} = \frac{\sin2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cdot\cos\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha = 2\cdot0,13 = 0,26\end{gathered}\]

Ответ: 0,26

Задание 28
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\cos^2\alpha - \mathrm{ctg^2}\,\alpha + 1}{\sin^2\alpha + \mathrm{tg^2}\,\alpha - 1}\), если \(\mathrm{ctg}\,\alpha = 7\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{\cos^2\alpha - \mathrm{ctg^2}\,\alpha + 1}{\sin^2\alpha + \mathrm{tg^2}\,\alpha - 1} = \frac{\frac{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} =\\= \frac{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}\cdot\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha\cdot\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha} =\\= \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \mathrm{ctg^2}\,\alpha = 7^2 = 49\end{gathered}\]

Ответ: 49

1 .... 3 4 5