Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые дробные выражения (страница 2)

Справедливы следующие формулы сокращенного умножения:

\(\blacktriangleright\) Квадрат суммы и квадрат разности: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

\(\blacktriangleright\) Куб суммы и куб разности: \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]

Заметим, что применение данных формул справа налево часто помогает упростить вычисления:
\(13^3+3\cdot 13^2\cdot 7+3\cdot 13\cdot 49+7^3=(13+7)^3=20^3=8000\)

 

\(\blacktriangleright\) Разность квадратов: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\(\blacktriangleright\) Сумма кубов и разность кубов: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

Заметим, что не существует формулы суммы квадратов \(a^2+b^2\).

Заметим, что применение данных формул слева направо часто помогает упростить вычисления:

 

\(\dfrac{7^6-2^6}{7^4+14^2+16}=\dfrac{(7^2-2^2)(7^4+7^2\cdot2^2+2^4)}{7^4+(7\cdot2)^2+2^4}=7^2-2^2=45\)

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\left(\dfrac{2 - \frac{1}{2}}{\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)^2\).

Добавить задание в избранное

\[\left(\dfrac{2 - \frac{1}{2}}{\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)^2 = \left(\dfrac{1,5}{\sqrt{2}(1 + \frac{1}{2})}\right)^2 = \left(\dfrac{1,5}{\sqrt{2}\cdot 1,5}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 0,5.\]

Ответ: 0,5

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \((3002^2 - 3000^2)\cdot\dfrac{1}{3001}\).

Добавить задание в избранное

\[(3002^2 - 3000^2)\cdot\dfrac{1}{3001} = (3002 - 3000)(3002 + 3000)\cdot\dfrac{1}{3001} = 2\cdot 6002\cdot\dfrac{1}{3001} = 2\cdot 2 = 4.\]

Ответ: 4

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \((2017^2 - 2015^2)\cdot\dfrac{2}{2\cdot 4032}\).

Добавить задание в избранное

\[(2017^2 - 2015^2)\cdot\dfrac{2}{2\cdot 4032} = (2017 - 2015)(2017 + 2015)\cdot\dfrac{2}{2\cdot 4032} = 2\cdot 4032\cdot\dfrac{2}{2\cdot 4032} = 2.\]

Ответ: 2

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(0,001\cdot(1234^2 - 234^2)\).

Добавить задание в избранное

\[0,001\cdot(1234^2 - 234^2) = \dfrac{1}{1000}\cdot(1234 - 234)(1234 + 234) = \dfrac{1}{1000}\cdot 1000\cdot 1468 = 1468.\]

Ответ: 1468

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{87^3 + 43^3}{87^2 - 87\cdot43 + 43^2}\).

Добавить задание в избранное

\[\frac{87^3 + 43^3}{87^2 - 87\cdot43 + 43^2} = \frac{(87 + 43)\cdot(87^2 - 87\cdot43 + 43^2)}{87^2 - 87\cdot43 + 43^2} = 87 + 43 = 130\]

Ответ: 130

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{59^3 - 41^3}{18} + 59\cdot41\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{(59 - 41)(59^2 + 59\cdot41 + 41^2)}{18} + 59\cdot41 = \frac{18\cdot(59^2 + 59\cdot41 + 41^2)}{18} + 59\cdot41 =\\= 59^2 + 59\cdot41 + 41^2 + 59\cdot41 = 59^2 + 2\cdot59\cdot41 + 41^2 =\\= (59 + 41)^2 = 100^2 = 10\,000\end{gathered}\]

Ответ: 10000

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[\dfrac{(\sqrt7+\sqrt{17})^2}{12+\sqrt{119}}\]

(Задача от подписчиков.)

Добавить задание в избранное

Возведем в квадрат числитель по формуле \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):

\[(\sqrt7+\sqrt{17})^2=(\sqrt7)^2+2\cdot \sqrt7\cdot \sqrt{17}+(\sqrt{17})^2= 7+2\sqrt{7\cdot 17}+17=24+2\sqrt{119}=2(12+\sqrt{119})\]

Таким образом, все выражение примет вид:

\[\dfrac{2(12+\sqrt{119})}{12+\sqrt{119}}=2.\]

Ответ: 2

1 2 3 4