9. Преобразование числовых и буквенных выражений
\(\blacktriangleright\) Модуль числа – это расстояние на вещественной прямой от этого числа до \(0\). Таким образом, модуль любого числа – число неотрицательное.
\(\blacktriangleright\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\).
Пример: \(|5|=5\).
\(\blacktriangleright\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\).
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\).
\(\blacktriangleright\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt{(1-\sqrt2)^2}=|1-\sqrt2|=\sqrt2-1\), т.к. \(\sqrt2>1\);
\(\phantom{000}\) 2) \((\sqrt{2-\sqrt2})^2=2-\sqrt2\).
\(\blacktriangleright\) Данные формулы – частный случай формул (\(2n\) – четное число): \[\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|\] \[(\sqrt[2n]{a})^{2n}=a, a\geqslant 0\]
\(\blacktriangleright\) Под корнем нечетной степени может находиться любое число, следовательно (\(2n+1\) – нечетное число): \[\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}}=\left(\sqrt[2n+1]{a}\right)^{2n+1}=a\] Пример: \(\sqrt[13]{(-5)^{13}}=\left(\sqrt[13]{-5}\right)^{13}=-5\).
Найдите значение выражения \(\dfrac{(\sqrt{5}\cdot \sqrt{729})^2}{\sqrt{(-729)^2}}\).
\[\dfrac{(\sqrt{5}\cdot \sqrt{729})^2}{\sqrt{(-729)^2}} = \dfrac{(\sqrt{5}\cdot \sqrt{729})^2}{|-729|} = \dfrac{(\sqrt{5}\cdot \sqrt{729})^2}{729}.\] Квадрат произведения равен произведению квадратов, из чего получаем: \[\dfrac{(\sqrt{5}\cdot \sqrt{729})^2}{729} = \dfrac{(\sqrt{5})^2\cdot (\sqrt{729})^2}{729} = \dfrac{5 \cdot 729}{729} = 5.\]
Ответ: 5
Найдите значение выражения \((\sqrt{28} + \sqrt{21})\cdot(\sqrt{21} - \sqrt{28})\).
Переставим местами слагаемые в первой скобке: \[(\sqrt{28} + \sqrt{21})\cdot(\sqrt{21} - \sqrt{28}) = (\sqrt{21} + \sqrt{28})\cdot(\sqrt{21} - \sqrt{28}).\] Теперь видно, что полученное выражение можно свернуть по формуле для разности квадратов: \[(\sqrt{21} + \sqrt{28})\cdot(\sqrt{21} - \sqrt{28}) = (\sqrt{21})^2 - (\sqrt{28})^2 = 21 - 28 = -7.\]
Ответ: -7
Найдите значение выражения \(\left(\sqrt{39\dfrac{2}{7}} - \sqrt{34\dfrac{2}{9}}\right) : \sqrt{\dfrac{11}{63}}\).
\[\begin{aligned} &\left(\sqrt{39\dfrac{2}{7}} - \sqrt{34\dfrac{2}{9}}\right) : \sqrt{\dfrac{11}{63}} = \left(\sqrt{\dfrac{275}{7}} - \sqrt{\dfrac{308}{9}}\right) \cdot \sqrt{\dfrac{63}{11}} =\\ &= \sqrt{\dfrac{275}{7}} \cdot \sqrt{\dfrac{63}{11}} - \sqrt{\dfrac{308}{9}} \cdot \sqrt{\dfrac{63}{11}} = \sqrt{\dfrac{275 \cdot 63}{7 \cdot 11}} - \sqrt{\dfrac{308 \cdot 63}{9 \cdot 11}} = \sqrt{\dfrac{25 \cdot 11 \cdot 7 \cdot 9}{7 \cdot 11}} - \sqrt{\dfrac{11 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 9}{9 \cdot 11}} =\\ &= \sqrt{25 \cdot 9} - \sqrt{4 \cdot 7 \cdot 7} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{9} - \sqrt{4} \cdot \sqrt{7^2} = 5 \cdot 3 - 2 \cdot 7 = 1. \end{aligned}\]
Ответ: 1
Найдите значение выражения \(\left(\dfrac{31^{\frac{1}{3}} \cdot 31^{\frac{7}{30}}}{\sqrt[15]{31}}\right)^2\).
Исходное выражение можно преобразовать следующим образом: \[\left(\dfrac{31^{\frac{1}{3} + \frac{7}{30}}}{31^{\frac{1}{15}}}\right)^2 = \left(31^{\frac{17}{30} - \frac{1}{15}}\right)^2 = \left(31^{0,5}\right)^2 = 31^{0,5 \ \! \cdot\ \! 2} = 31.\]
Ответ: 31
Найдите значение выражения \(\dfrac{(\sqrt{41} + \sqrt{3})^2}{22 + \sqrt{123}}\).
Исходное выражение можно преобразовать следующим образом:
\[\dfrac{(\sqrt{41})^2 + 2\cdot\sqrt{41}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{22 + \sqrt{123}} = \dfrac{44 + 2\cdot\sqrt{123}}{22 + \sqrt{123}} = \dfrac{2\cdot(22 + \sqrt{123})}{22 + \sqrt{123}} = 2.\]
Ответ: 2
Найдите значение выражения \(1 - \sqrt[3]{(\sqrt[3]2 - 1)(1 + \sqrt[3]2 + \sqrt[3]4)}\).
\[\begin{gathered} 1 - \sqrt[3]{(\sqrt[3]2 - 1)(1 + \sqrt[3]2 + \sqrt[3]4)} = 1 - \sqrt[3]{((\sqrt[3]2)^3 - 1^3)} = 1 - \sqrt[3]{2 - 1} = 1 - \sqrt[3]1 = 1 - 1 = 0\end{gathered}\]
Ответ: 0
Найдите значение выражения \(\sqrt[9]{29^3 - 6\cdot29^2 + 12\cdot29 - 8}\).
\[\begin{gathered} \sqrt[9]{29^3 - 6\cdot29^2 + 12\cdot29 - 8} = \sqrt[9]{29^3 - 3\cdot29^2\cdot2 + 3\cdot29\cdot2^2 - 2^3} =\\= \sqrt[9]{(29 - 2)^3} = \sqrt[9]{27^3} = \sqrt[9]{(3^3)^3} = \sqrt[9]{3^9} = 3\end{gathered}\]
Ответ: 3
