Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые иррациональные выражения (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Модуль числа – это расстояние на вещественной прямой от этого числа до \(0\). Таким образом, модуль любого числа – число неотрицательное.


 

\(\blacktriangleright\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\).
Пример: \(|5|=5\).

 

\(\blacktriangleright\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\).
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\).

 

\(\blacktriangleright\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt{(1-\sqrt2)^2}=|1-\sqrt2|=\sqrt2-1\), т.к. \(\sqrt2>1\);

 

\(\phantom{000}\) 2) \((\sqrt{2-\sqrt2})^2=2-\sqrt2\).

 

\(\blacktriangleright\) Данные формулы – частный случай формул (\(2n\) – четное число): \[\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|\] \[(\sqrt[2n]{a})^{2n}=a, a\geqslant 0\]

\(\blacktriangleright\) Под корнем нечетной степени может находиться любое число, следовательно (\(2n+1\) – нечетное число): \[\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}}=\left(\sqrt[2n+1]{a}\right)^{2n+1}=a\] Пример: \(\sqrt[13]{(-5)^{13}}=\left(\sqrt[13]{-5}\right)^{13}=-5\).

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{3 - \sqrt5}\cdot\sqrt{3 + \sqrt5}\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \sqrt{3 - \sqrt5}\cdot\sqrt{3 + \sqrt5} = \sqrt{(3 - \sqrt5)\cdot(3 + \sqrt5)} = \sqrt{3^2 - (\sqrt5)^2} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt4 = 2\end{gathered}\]

Ответ: 2

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \left(\sqrt{9 + \sqrt{32}} - \sqrt{9 - \sqrt{32}}\right)^3\).

Добавить задание в избранное

Отдельно рассмотрим выражение, находящееся в скобках:

\[\begin{gathered} \sqrt{9 + \sqrt{32}} - \sqrt{9 - \sqrt{32}} = \sqrt{9 + \sqrt{16\cdot2}} - \sqrt{9 - \sqrt{16\cdot2}} = \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} - \sqrt{9 - 4\sqrt{2}} =\\= \sqrt{8 + 2\cdot2\sqrt{2} + 1} - \sqrt{8 - 2\cdot2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{(2\sqrt2)^2 + 2\cdot2\sqrt{2} + 1} - \sqrt{(2\sqrt2)^2 - 2\cdot2\sqrt{2} + 1} =\\= \sqrt{(2\sqrt2 + 1)^2} - \sqrt{(2\sqrt2 - 1)^2} = |2\sqrt2 + 1| - |2\sqrt2 - 1| = (2\sqrt2 + 1) - (2\sqrt2 - 1) = 2\sqrt2 + 1 - 2\sqrt2 + 1 = 2.\end{gathered}\]

Осталось возвести в куб полученный результат: \[2^3 = 8\]

Ответ: 8

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{9 - 4\sqrt5}{|2 - \sqrt5|\cdot(2 - \sqrt5)}\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{9 - 4\sqrt5}{|2 - \sqrt5|\cdot(2 - \sqrt5)} = \frac{4 - 4\sqrt5 + 5}{|2 - \sqrt5|\cdot(2 - \sqrt5)} = \frac{2^2 - 2\cdot2\sqrt5 + (\sqrt5)^2}{|2 - \sqrt5|\cdot(2 - \sqrt5)} = \frac{(2 - \sqrt5)^2}{|2 - \sqrt5|\cdot(2 - \sqrt5)}\end{gathered}\]

Так как \(\sqrt5 > 2\), то \(|2 - \sqrt5| = -(2 - \sqrt5)\).

\[\frac{(2 - \sqrt5)^2}{|2 - \sqrt5|\cdot(2 - \sqrt5)} = \frac{(2 - \sqrt5)^2}{-(2 - \sqrt5)\cdot(2 - \sqrt5)} = -\frac{(2 - \sqrt5)^2}{(2 - \sqrt5)^2} = -1\]

Ответ: -1

Задание 18
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(2\sqrt{2} + \sqrt{57 - 28\sqrt{2}}\).

Добавить задание в избранное

Исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

 

\(2\sqrt{2} + \sqrt{57 - 28\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} + \sqrt{49 - 28\sqrt{2} + 8} = 2\sqrt{2} + \sqrt{7^2 - 2\cdot 7 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2} = \\ = 2\sqrt{2} + \sqrt{(7 - 2\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{2} + |7 - 2\sqrt{2}| = 2\sqrt{2} + 7 - 2\sqrt{2} = 7\)

(так как \(7 > 2\cdot 2 > 2\sqrt{2}\), то \(7 - 2\sqrt{2} > 0\) и \(|7 - 2\sqrt{2}| = 7 - 2\sqrt{2}\)).

Ответ: 7

Задание 19
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{\sqrt{53 - 12\sqrt{11}} + 3}{\sqrt{11}}\).

Добавить задание в избранное

Исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

 

\(\dfrac{\sqrt{53 - 12\sqrt{11}} + 3}{\sqrt{11}} = \dfrac{\sqrt{9 - 2\cdot 3 \cdot 2\sqrt{11} + 44} + 3}{\sqrt{11}} = \dfrac{\sqrt{3^2 - 2\cdot 3 \cdot 2\sqrt{11} + (2\sqrt{11})^2} + 3}{\sqrt{11}} = \\ = \dfrac{\sqrt{(3 - 2\sqrt{11})^2} + 3}{\sqrt{11}} = \dfrac{|3 - 2\sqrt{11}| + 3}{\sqrt{11}} = \dfrac{-3 + 2\sqrt{11} + 3}{\sqrt{11}} = \dfrac{2\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = 2\)

(так как \(2\sqrt{11} > 2\cdot 3 > 3\), то \(3 - 2\sqrt{11} < 0\) и \(|3 - 2\sqrt{11}| = 2\sqrt{11} - 3\)).

Ответ: 2

Задание 20
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{28 + 6\sqrt{3}} - \sqrt{31 + 12\sqrt{3}}\).

Добавить задание в избранное

Исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

 

\(\sqrt{28 + 6\sqrt{3}} - \sqrt{31 + 12\sqrt{3}} = \sqrt{1 + 2 \cdot 1\cdot 3\sqrt{3} + 27} - \sqrt{4 + 2\cdot 2\cdot 3\sqrt{3} + 27} = \\ = \sqrt{1^2 + 2 \cdot 1\cdot 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2} - \sqrt{2^2 + 2\cdot 2\cdot 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2} =\\ = \sqrt{(1 + 3\sqrt{3})^2} - \sqrt{(2 + 3\sqrt{3})^2} = |1 + 3\sqrt{3}| - |2 + 3\sqrt{3}| = 1 + 3\sqrt{3} - (2 + 3\sqrt{3}) = -1\)

(так как \(2 + 3\sqrt{3} > 0\), то \(|2 + 3\sqrt{3}| = 2 + 3\sqrt{3}\)).

Ответ: -1

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt[4]{97 - 56\sqrt{3}} + \sqrt{3}\).

Добавить задание в избранное

Исходное выражение можно преобразовать следующим образом:

 

\(\sqrt[4]{97 - 56\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \sqrt[4]{49 - 2\cdot 7\cdot 4\sqrt{3} + 48} + \sqrt{3} = \sqrt[4]{7^2 - 2\cdot 7\cdot 4\sqrt{3} + (4\sqrt{3})^2} + \sqrt{3} = \)

 

\(=\sqrt[4]{(7 - 4\sqrt{3})^2} + \sqrt{3} = \sqrt[4]{(4 - 2\cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 3)^2} + \sqrt{3} = \sqrt[4]{(2^2 - 2\cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2)^2} + \sqrt{3} =\)

 

\(= \sqrt[4]{((2 - \sqrt{3})^2)^2} + \sqrt{3} = \sqrt[4]{(2 - \sqrt{3})^4} + \sqrt{3} = |2 - \sqrt{3}| + \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\)

(так как \(2 = \sqrt{4} > \sqrt{3}\), то \(2 -\sqrt{3} > 0\) и \(|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}\)).

Ответ: 2

1 2 3 4 5