9. Преобразование числовых и буквенных выражений
Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество \[\Large{{\color{royalblue}{a^t=b \quad\Leftrightarrow\quad
\log_a{b}=t}}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in
\mathbb{R}\).
\(\blacktriangleright\) Если \(a,b,c\) – числа, удовлетворяющие ограничениям: \(a,b,c>0,\ a\ne 1\), то справедливы следующие формулы:
\[\begin{array}{|ccc|} \hline \textbf{(1)} \log_a1=0&&\textbf{(2)} \log_aa=1\\ &&\\ \textbf{(3)} \log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab&&\textbf{(4)} a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\\ &&\\ \textbf{(5)} \log_a{bc}=\log_ab+\log_ac&&\textbf{(6)} \log_a{\dfrac bc}=\log_ab-\log_ac\\ &&\\ \textbf{(7)} \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \text{или} &\textbf{(7'}) \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ &&\\ \hline \end{array}\]
Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!
Некоторые частные случаи, которыми удобно пользоваться:
\(\blacktriangleright\) Частные случаи формул (3) и (4): \[m=\log_a{a^m} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ b=a^{\log_ab}\]
С помощью первой формулы нагляднее видно, как заменить число на логарифм по нужному основанию:
\(4=\log_2{2^4}=\log_2{16}\);
а с помощью второй – как заменить число на степень с нужным основанием:
\(4=3^{\log_34}\).
\(\blacktriangleright\) Частные случаи формул (7) и (7’): \[\log_ab\cdot \log_ba=1 \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \
\ \
\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\]
Пример:
\(\log_3{25}+\dfrac2{\log_{\frac15}3}={\small{\text{(применили}}} \
{\small{\text{ формулу}}} \
(2))=\log_3{25}+2\log_3{\dfrac15}=\log_3{25}+\log_3{\dfrac1{25}}=\log_3{\left(25\cdot\dfrac1{25}\right)}=0\)
Найдите значение выражения \[3^{\log_52}-2^{\log_{25}9}\]
По формуле \(a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\) имеем \(3^{\log_52}=2^{\log_53}\).
По формуле \(\log_{a^2}{b^2}=\log_{|a|}{|b|}\) имеем \(\log_{25}9=\log_{5^2}{3^2}=\log_53\).
Следовательно,
\[3^{\log_52}-2^{\log_{25}9}=2^{\log_53}-2^{\log_53}=0\]
Ответ: 0
Найдите значение выражения \((3 - \log_{5}7)(\log_{\frac{125}{7}}400 + \log_{\frac{7}{125}}80)\).
По свойствам логарифма \((3 - \log_{5}7)(\log_{\frac{125}{7}}400 + \log_{\frac{7}{125}}80) = (\log_{5}125 - \log_{5}7)(\log_{\frac{125}{7}}400 - \log_{\frac{125}{7}}80) = \)
\(=\log_{5}\frac{125}{7} \cdot \log_{\frac{125}{7}}5 = \log_{5}5 = 1.\)
Ответ: 1
Найдите значение выражения \(\log_{\frac{1}{3}}(\log_{11}1331)\).
По свойствам логарифма \[\log_{\frac{1}{3}}(\log_{11}1331) = \log_{\frac{1}{3}}(\log_{11}11^3) = \log_{\frac{1}{3}}(3\log_{11}11) = \log_{\frac{1}{3}}3 = -1\cdot\log_{3}3 = -1.\]
Ответ: -1
Найдите значение выражения \(10\cdot100^{\frac{1}{2}\lg{9} - \lg2}\).
\[10\cdot100^{\frac{1}{2}\lg{9} - \lg2} = 10\cdot(10^2)^{\frac{1}{2}\lg{9} - \lg2} = 10\cdot10^{\lg9 - 2\lg2} = 10\cdot10^{\lg9 - \lg{2^2}} = 10\cdot10^{\lg{\frac{9}{4}}} = 10\cdot\frac{9}{4} = 22,5\]
Ответ: 22,5
Найдите значение выражения \(49^{1 - \log_7{2}} + 5^{-\log_5{4}}\).
\[\begin{gathered} 49^{1 - \log_7{2}} + 5^{-\log_5{4}} = \frac{49}{49^{\log_7{2}}} + \left(5^{\log_5{4}}\right)^{-1} = \frac{49}{(7^2)^{\log_7{2}}} + 4^{-1} = \frac{49}{7^{2\log_7{2}}} + \frac{1}{4} = \frac{49}{7^{\log_7{2^2}}} + \frac{1}{4} =\\= \frac{49}{4} + \frac{1}{4} = \frac{50}{4} = 12,5\end{gathered}\]
Ответ: 12,5
Найдите значение выражения
\[81^{\frac1{\log_53}}+27^{\log_9{36}}+3^{\frac 4{\log_79}}\]
Применим формулы \(\frac1{\log_ba}=\log_ab\) и \(\log_{a^2}{b^2}=\log_{|a|}{|b|}\) для показателей, тогда выражение преобразуется к виду
\[81^{\log_35}+27^{\log_{|3|}{|6|}}+3^{4\cdot \log_97}= \left(3^4\right)^{\log_35}+\left(3^3\right)^{\log_36}+3^{4\cdot \log_{3^2}7}=3^{4\cdot \log_35}+3^{3\cdot \log_36}+3^{4\cdot 0,5\cdot \log_37}\]
Применим формулу \(n\cdot \log_bc=\log_b{c^n}\):
\[3^{\log_3{5^4}}+3^{\log_3{6^3}}+3^{\log_3{7^2}}=3^{\log_3{625}}+3^{\log_3{216}}+3^{\log_3{49}}\]
Применим формулу \(a^{\log_ab}=b\):
\[625+216+49=890\]
Ответ: 890
Найдите значение выражения
\[\sqrt{25^{\frac1{\log_65}}+49^{\frac1{\log_87}}}\]
Применим формулу \(\frac1{\log_ba}=\log_ab\) для показателей, тогда выражение преобразуется к виду
\[\sqrt{25^{\log_56}+49^{\log_78}}=\sqrt{\left(5^2\right)^{\log_56}+\left(7^2\right)^{\log_78}}= \sqrt{5^{2\cdot\log_56}+7^{2\cdot\log_78}}=\sqrt{5^{\log_5{6^2}}+7^{\log_7{8^2}}}\]
Применим формулу \(a^{\log_ab}=b\):
\[\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\]
Ответ: 10
