Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество \[\Large{{\color{royalblue}{a^t=b \quad\Leftrightarrow\quad
\log_a{b}=t}}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in
\mathbb{R}\).
\(\blacktriangleright\) Если \(a,b,c\) – числа, удовлетворяющие ограничениям: \(a,b,c>0,\ a\ne 1\), то справедливы следующие формулы:
\[\begin{array}{|ccc|}
\hline \textbf{(1)} \log_a1=0&&\textbf{(2)} \log_aa=1\\
&&\\
\textbf{(3)} \log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab&&\textbf{(4)}
a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\\
&&\\
\textbf{(5)} \log_a{bc}=\log_ab+\log_ac&&\textbf{(6)}
\log_a{\dfrac bc}=\log_ab-\log_ac\\
&&\\
\textbf{(7)} \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \text{или}
&\textbf{(7'}) \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\
&&\\
\hline
\end{array}\]
Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!
Некоторые частные случаи, которыми удобно пользоваться:
\(\blacktriangleright\) Частные случаи формул (3) и (4): \[m=\log_a{a^m} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ b=a^{\log_ab}\]
С помощью первой формулы нагляднее видно, как заменить число на логарифм по нужному основанию:
\(4=\log_2{2^4}=\log_2{16}\);
а с помощью второй – как заменить число на степень с нужным основанием:
\(4=3^{\log_34}\).
\(\blacktriangleright\) Частные случаи формул (7) и (7’): \[\log_ab\cdot \log_ba=1 \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \
\ \
\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\]
Пример:
\(\log_3{25}+\dfrac2{\log_{\frac15}3}={\small{\text{(применили}}} \
{\small{\text{ формулу}}} \
(2))=\log_3{25}+2\log_3{\dfrac15}=\log_3{25}+\log_3{\dfrac1{25}}=\log_3{\left(25\cdot\dfrac1{25}\right)}=0\)
