Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые логарифмические выражения (страница 3)

Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество \[\Large{{\color{royalblue}{a^t=b \quad\Leftrightarrow\quad \log_a{b}=t}}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in \mathbb{R}\).

 

\(\blacktriangleright\) Если \(a,b,c\) – числа, удовлетворяющие ограничениям: \(a,b,c>0,\ a\ne 1\), то справедливы следующие формулы:

 

\[\begin{array}{|ccc|} \hline \textbf{(1)} \log_a1=0&&\textbf{(2)} \log_aa=1\\ &&\\ \textbf{(3)} \log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab&&\textbf{(4)} a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\\ &&\\ \textbf{(5)} \log_a{bc}=\log_ab+\log_ac&&\textbf{(6)} \log_a{\dfrac bc}=\log_ab-\log_ac\\ &&\\ \textbf{(7)} \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \text{или} &\textbf{(7'}) \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ &&\\ \hline \end{array}\]

Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!

 

Некоторые частные случаи, которыми удобно пользоваться:

 

\(\blacktriangleright\) Частные случаи формул (3) и (4): \[m=\log_a{a^m} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ b=a^{\log_ab}\]
С помощью первой формулы нагляднее видно, как заменить число на логарифм по нужному основанию:
\(4=\log_2{2^4}=\log_2{16}\);

а с помощью второй – как заменить число на степень с нужным основанием:
\(4=3^{\log_34}\).

 

\(\blacktriangleright\) Частные случаи формул (7) и (7’): \[\log_ab\cdot \log_ba=1 \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ \log_ab=\dfrac1{\log_ba}\]
Пример:
\(\log_3{25}+\dfrac2{\log_{\frac15}3}={\small{\text{(применили}}} \ {\small{\text{ формулу}}} \ (2))=\log_3{25}+2\log_3{\dfrac15}=\log_3{25}+\log_3{\dfrac1{25}}=\log_3{\left(25\cdot\dfrac1{25}\right)}=0\)

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\log_2{56}}{\log_{28}{2}} - \frac{\log_2{7}}{\log_{224}{2}}\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{\log_2{56}}{\log_{28}{2}} - \frac{\log_2{7}}{\log_{224}{2}} = \frac{\log_2{28\cdot2}}{\log_{28}{2}} - \log_2{7}\cdot\log_{2}{224} = \frac{\log_2{28} + \log_2{2}}{\log_{28}{2}} - \log_2{7}\cdot\log_{2}{(32\cdot7)} =\\= (\log_2{(7\cdot4)} + 1)\cdot\log_{2}{(7\cdot4)} - \log_2{7}\cdot(\log_{2}{2^5} + \log_2{7}) =\\= (\log_2{7} + \log_2{2^2} + 1)\cdot(\log_{2}{7} + \log_2{4}) - \log_2{7}\cdot(5\log_{2}{2} + \log_2{7}) =\\= (\log_2{7} + 3)\cdot(\log_{2}{7} + 2) - \log_2{7}\cdot(5 + \log_2{7}) = \log^2_2{7} + 2\log_2{7} + 3\log_2{7} + 6 - 5\log_2{7} - \log^2_2{7} = 6\end{gathered}\]

Ответ: 6

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{3\cdot\log_3{64}\cdot\log_4{3}}{2^{2\log_2{3}}}\).

Добавить задание в избранное

\[\frac{3\cdot\log_3{64}\cdot\log_4{3}}{2^{2\log_2{3}}} = \frac{3\cdot\log_3{4^3}\cdot\log_4{3}}{2^{\log_2{3^2}}} = \frac{9\cdot\log_3{4}\cdot\log_4{3}}{2^{\log_2{9}}} = \frac{9}{9} = 1\]

Ответ: 1

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \log_{15}3\cdot\log_5{3}\cdot\log_{\sqrt3}5\cdot(1 + \log_3{5})\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \log_{15}3\cdot\log_5{3}\cdot\log_{\sqrt3}5\cdot(1 + \log_3{5}) = \log_{15}3\cdot\log_5{3}\cdot\log_{3^{\frac{1}{2}}}5\cdot(\log_3{3} + \log_3{5}) =\\= \log_{15}3\cdot\log_5{3}\cdot2\cdot\log_3{5}\cdot\log_3{(3\cdot5)} = 2\cdot\log_{15}3\cdot\log_3{15} = 2\end{gathered}\]

Ответ: 2

Задание 18
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[-\log_2{\log_2{\sqrt{\sqrt[4]{2}}}}\]

Добавить задание в избранное

Преобразуем сначала аргумент внутренного логарифма:

\[\sqrt{\sqrt[4]{2}}=\left(2^{\frac14}\right)^{\frac12}=2^{\frac18}\]

Тогда \(\log_2{2^{\frac18}}=\frac18\). Значит, все выражение равно:

\[-\log_2{\left(\frac18\right)}=-\log_2{2^{-3}}=3\]

Ответ: 3

Задание 19
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[-\log_3{\log_3{\sqrt[3]{\sqrt[3]3}}}\]

Добавить задание в избранное

Преобразуем сначала аргумент внутренного логарифма:

\[\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}=\left(3^{\frac13}\right)^{\frac13}=3^{\frac19}\]

Тогда \(\log_3{3^{\frac19}}=\frac19\). Значит, все выражение равно:

\[-\log_3{\left(\frac19\right)}=-\log_3{3^{-2}}=2\]

Ответ: 2

Задание 20
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\log^2_{\sqrt[15]{243}}\sqrt{27^2}\).

Добавить задание в избранное

По свойствам логарифма \[\log^2_{\sqrt[15]{243}}\sqrt{27^2} = (\log_{\sqrt[15]{3^5}}27)^2 = (\log_{3^{\frac{5}{15}}}27)^2 = (\log_{3^{\frac{1}{3}}}3^3)^2 = \left(\dfrac{1}{\frac{1}{3}} \cdot 3 \cdot \log_{3}3\right)^2 = 9^2 = 81.\]

Ответ: 81

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle 2^{\log_{\sqrt3}{9} + \log_{\sqrt2}{\sqrt5}}\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим степень двойки: \[\log_{\sqrt3}{9} + \log_{\sqrt2}{\sqrt5} = \log_{3^{\frac{1}{2}}}{3^2} + \log_{2^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}} = 2\cdot2\cdot\log_3{3} + 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\log_2{5} = 4 + \log_2{5}\] Тогда, подставляя в исходное уравнение, получим: \[2^{4 + \log_2{5}} = 2^4\cdot2^{\log_2{5}} = 16\cdot5 = 80\]

Ответ: 80

1 2 3 4