9. Преобразование числовых и буквенных выражений
Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество \[\Large{{\color{royalblue}{a^t=b \quad\Leftrightarrow\quad
\log_a{b}=t}}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in
\mathbb{R}\).
\(\blacktriangleright\) Если \(a,b,c\) – числа, удовлетворяющие ограничениям: \(a,b,c>0,\ a\ne 1\), то справедливы следующие формулы:
\[\begin{array}{|ccc|} \hline \textbf{(1)} \log_a1=0&&\textbf{(2)} \log_aa=1\\ &&\\ \textbf{(3)} \log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_ab&&\textbf{(4)} a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\\ &&\\ \textbf{(5)} \log_a{bc}=\log_ab+\log_ac&&\textbf{(6)} \log_a{\dfrac bc}=\log_ab-\log_ac\\ &&\\ \textbf{(7)} \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \text{или} &\textbf{(7'}) \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ &&\\ \hline \end{array}\]
Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!
Некоторые частные случаи, которыми удобно пользоваться:
\(\blacktriangleright\) Частные случаи формул (3) и (4): \[m=\log_a{a^m} \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \ \ \ b=a^{\log_ab}\]
С помощью первой формулы нагляднее видно, как заменить число на логарифм по нужному основанию:
\(4=\log_2{2^4}=\log_2{16}\);
а с помощью второй – как заменить число на степень с нужным основанием:
\(4=3^{\log_34}\).
\(\blacktriangleright\) Частные случаи формул (7) и (7’): \[\log_ab\cdot \log_ba=1 \ \ \ \ \ \ \text{и} \ \ \ \
\ \
\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\]
Пример:
\(\log_3{25}+\dfrac2{\log_{\frac15}3}={\small{\text{(применили}}} \
{\small{\text{ формулу}}} \
(2))=\log_3{25}+2\log_3{\dfrac15}=\log_3{25}+\log_3{\dfrac1{25}}=\log_3{\left(25\cdot\dfrac1{25}\right)}=0\)
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{7^{\log_3{16}} - 2^{\log_6{5}}}{5^{\log_{6}{2}} - 4^{2\log_3{7}}}\).
Воспользуемся следующим свойством \(a^{\log_b{c}} = c^{\log_b{a}}\): \[\frac{7^{\log_3{16}} - 2^{\log_6{5}}}{5^{\log_{6}{2}} - 4^{2\log_3{7}}} = \frac{7^{\log_3{16}} - 2^{\log_6{5}}}{2^{\log_6{5}} - 16^{\log_3{7}}} = \frac{7^{\log_3{16}} - 2^{\log_6{5}}}{2^{\log_6{5}} - 7^{\log_3{16}}} = \frac{-(2^{\log_6{5}} - 7^{\log_3{16}})}{2^{\log_6{5}} - 7^{\log_3{16}}} = -1\]
Ответ: -1
Найдите значение выражения \(\log_4\log_3\log_2{8}\).
\[\log_4\log_3\log_2{8} = \log_4\log_3\log_2{2^3} = \log_4\log_3{(3\cdot\log_2{2})} = \log_4\log_3{3} = \log_4{1} = 0\]
Ответ: 0
Найдите значение выражения \(\displaystyle\frac{2}{11}\cdot\left(\log_{12}3 + \log_{12}4 + 7^{\log_7{4}}\right)^{2\log_5{11}}\).
\[\begin{gathered} \frac{2}{11}\cdot\left(\log_{12}3 + \log_{12}4 + 7^{\log_7{4}}\right)^{2\log_5{11}} = \frac{2}{11}\cdot\left(\log_{12}{3\cdot4} + 4\right)^{\log_5{11^2}} = \frac{2}{11}\cdot\left(\log_{12}{12} + 4\right)^{\log_5{11^2}} =\\= \frac{2}{11}\cdot\left(1 + 4\right)^{\log_5{11^2}} = \frac{2}{11}\cdot5^{\log_5{11^2}} = \frac{2}{11}\cdot11^2 = 2\cdot11 = 22\end{gathered}\]
Ответ: 22
Найдите значение выражения \(\displaystyle \left(81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cdot\log_9{4}} + 25^{\log_{125}{8}}\right)\cdot49^{\log_7{2}}\).
\[\begin{gathered} \left(81^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cdot\log_9{4}} + 25^{\log_{125}{8}}\right)\cdot49^{\log_7{2}} = \left((3^4)^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\cdot\log_{3^2}{4}} + (5^2)^{\log_{5^3}{2^3}}\right)\cdot(7^2)^{\log_7{2}} =\\= \left((3^4)^{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\cdot\log_{3}{4}} + (5^2)^{\log_{5}{2}}\right)\cdot7^{2\log_7{2}} = \left(3^{1 - \log_{3}{4}} + 5^{2\log_{5}{2}}\right)\cdot7^{\log_7{2^2}} =\\= \left(\frac{3}{3^{\log_3{4}}} + 5^{\log_{5}{2^2}}\right)\cdot4 = \left(\frac{3}{4} + 4\right)\cdot4 = 3 + 16 = 19\end{gathered}\]
Ответ: 19
Найдите значения выражения \[\dfrac{3\log_5 15\cdot \log_59-2\log^2_515-\log^2_59}{\log_59-\log_515}\]
(Задача от подписчиков)
Сделаем замену: \(\log_5 15=t\), \(\log_59=x\). Тогда выражение примет вид: \[\dfrac{3xt-2t^2-x^2}{x-t}=-\dfrac{x^2-3xt+2t^2}{x-t}=-\dfrac{(x-t)(x-2t)}{x-t}\] Так как \(x\ne t\), следовательно, \(x-t\ne 0\), то можно разделить числитель и знаменатель на \(x-t\): \[-(x-2t)=-(\log_59-2\log_515)=-\log_5\dfrac{9}{15^2}=-\log_5\dfrac1{25}=2\]
Ответ: 2
Найдите значение выражения \(100^{\frac{1}{2} - \lg{\sqrt[4]{4}}}\).
\[100^{\frac{1}{2} - \lg{\sqrt[4]{4}}} = (10^2)^{\frac{1}{2} - \lg{\sqrt[4]{4}}} = 10^{1 - 2\lg{\sqrt[4]{4}}} = 10^{1 - \lg{(\sqrt[4]{4})^2}} = 10^{1 - \lg{\sqrt{4}}} = \frac{10^1}{10^{\lg{2}}} = \frac{10}{2} = 5\]
Ответ: 5
