Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые степенные выражения (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Выражение \(a^n\) называется степенью, \(a\) – основанием степени, \(n\) – показателем степени.

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

 

\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ a,b\ne 1, \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{36^2\cdot35^3}{28^2\cdot15^4}\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{36^2\cdot35^3}{28^2\cdot15^4} = \frac{(4\cdot9)^2\cdot(5\cdot7)^3}{(4\cdot7)^2\cdot(3\cdot5)^4} = \frac{4^2\cdot9^2\cdot5^3\cdot7^3}{4^2\cdot7^2\cdot3^4\cdot5^4} = \frac{7\cdot(3^2)^2}{3^4\cdot5} = \frac{7\cdot3^4}{3^4\cdot5} = \frac{7}{5} = 1,4\end{gathered}\]

Ответ: 1,4

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \left(\frac{35}{24}\right)^3\cdot\left(\frac{6}{7}\right)^3\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^3\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \left(\frac{35}{24}\right)^3\cdot\left(\frac{6}{7}\right)^3\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \left(\frac{35}{24}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{2}{5}\right)^3 = \left(\frac{35\cdot6\cdot2}{24\cdot7\cdot5}\right)^3 = \left(\frac{5\cdot7\cdot6\cdot2}{4\cdot6\cdot7\cdot5}\right)^3 =\\= \left(\frac{2}{4}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0,125\end{gathered}\]

Ответ: 0,125

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(3^{\sqrt{64}} - (3^2)^3\).

Добавить задание в избранное

\[3^{\sqrt{64}} - (3^2)^3 = 3^8 - 3^{2\cdot 3} = 3^8 - 3^6 = 3^2\cdot 3^6 - 3^6 = (9 - 1)\cdot 3^6 = 8\cdot 729 = 5832.\]

Ответ: 5832

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[\dfrac{\left(5^{\frac47}\cdot 11^{\frac23}\right)^{21}}{55^{12}}\]

(Задача от подписчиков.)

Добавить задание в избранное

Заметим, что \(55=5\cdot 11\), следовательно, по формуле \((a\cdot b)^x=a^x\cdot b^x\) имеем:

 

\(55^{12}=(5\cdot 11)^{12}=5^{12}\cdot 11^{12}\);

 

\(\left(5^{\frac47}\cdot 11^{\frac23}\right)^{21}=\left(5^{\frac47}\right)^{21}\cdot \left(11^{\frac23}\right)^{21}\).

 

Т.к. \((a^x)^y=a^{xy}\), то \(\left(5^{\frac47}\right)^{21}=5^{\frac47\cdot 21}=5^{12}\);

 

\(\left(11^{\frac23}\right)^{21}=11^{14}\).

 

Таким образом, все выражение примет вид:

\[\dfrac{5^{12}\cdot 11^{14}}{5^{12}\cdot 11^{12}}=5^{12-12}\cdot 11^{14-12}= 5^0\cdot 11^2=1\cdot 121=121.\]

Ответ: 121

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \((4^2)^4 \cdot 4^{-\sqrt{2} - 5} \cdot 2^{\sqrt{8}}\).

Добавить задание в избранное

\[(4^2)^4 \cdot 4^{-\sqrt{2} - 5} \cdot 2^{\sqrt{8}} = 4^8 \cdot 4^{-\sqrt{2} - 5} \cdot 2^{2\sqrt{2}} = 4^8 \cdot 4^{-\sqrt{2} - 5} \cdot 4^{\sqrt{2}} = 4^{8 -\sqrt{2} - 5 +\sqrt{2}} = 4^3 = 64.\]

Ответ: 64

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \((5^3)^4 \cdot 5^{\sqrt{3} + 33} \cdot \sqrt{5}^{-\sqrt{12} - 86}\).

Добавить задание в избранное

 

\((5^3)^4 \cdot 5^{\sqrt{3} + 33} \cdot \sqrt{5}^{-\sqrt{12} - 86} = 5^{12} \cdot 5^{\sqrt{3} + 33} \cdot (5^{0,5})^{-2\sqrt{3} - 86} = 5^{45 + \sqrt{3}} \cdot 5^{0,5\cdot(-2\sqrt{3} - 86)} =\)

 

\(= 5^{45 + \sqrt{3}} \cdot 5^{-\sqrt{3} - 43} = 5^{45 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 43} = 5^2 = 25\).

Ответ: 25

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{2^{\sqrt{27}}}{3^{3\sqrt{3}}} \cdot 1,5^{1 + 3\sqrt{3}}\).

Добавить задание в избранное

\[\dfrac{2^{\sqrt{27}}}{3^{3\sqrt{3}}} \cdot 1,5^{1 + 3\sqrt{3}} = \dfrac{2^{3\sqrt{3}}}{3^{3\sqrt{3}}} \cdot 1,5^{1 + 3\sqrt{3}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3\sqrt{3}} \cdot 1,5^{1 + 3\sqrt{3}} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3\sqrt{3}} \cdot 1,5^{1 + 3\sqrt{3}} = 1,5^{-3\sqrt{3} + 1 + 3\sqrt{3}} = 1,5^{1} = 1,5.\]

Ответ: 1,5

1 2 3 4