9. Преобразование числовых и буквенных выражений
\(\blacktriangleright\) Выражение \(a^n\) называется степенью, \(a\) – основанием степени, \(n\) – показателем степени.
\(\blacktriangleright\) Основные формулы:
\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ a,b\ne 1, \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]
Найдите значение выражения \(\dfrac{5^{\sqrt{8}}}{3^{\sqrt[4]{64}}} \cdot 0,6^{2\sqrt{2}}\).
\[\dfrac{5^{\sqrt{8}}}{3^{\sqrt[4]{64}}} \cdot 0,6^{2\sqrt{2}} = \dfrac{5^{\sqrt{8}}}{3^{\sqrt{8}}} \cdot 0,6^{\sqrt{8}} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^{\sqrt{8}} \cdot 0,6^{\sqrt{8}} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{-\sqrt{8}} \cdot 0,6^{\sqrt{8}} = 0,6^{-\sqrt{8} + \sqrt{8}} = 0,6^0 = 1.\]
Ответ: 1
Найдите значение выражения \(18^{\sqrt[18]{18}} \cdot 18^{2 - \sqrt[18]{2}\cdot \sqrt[9]{3}}\).
\[18^{\sqrt[18]{18}} \cdot 18^{2 - \sqrt[18]{2}\cdot \sqrt[9]{3}} = 18^{\sqrt[18]{18}} \cdot 18^{2 - \sqrt[18]{2} \cdot \sqrt[18]{3^2}} = 18^{\sqrt[18]{18}} \cdot 18^{2 - \sqrt[18]{18}} = 18^{\sqrt[18]{18} + 2 - \sqrt[18]{18}} = 18^2 = 324.\]
Ответ: 324
Найдите значение выражения \(\dfrac{2^{e + 6} \cdot 5^{e}}{10^{e + 6}}\).
Числитель представим в виде \(2^{e + 6} \cdot 5^{e} = 2^{e}\cdot 2^6 \cdot 5^{e} = 10^{e}\cdot 2^{6}\).
Знаменатель представим в виде \(10^{e + 6} = 10^{e}\cdot 10^6\).
Теперь исходное выражение представим в эквивалентном виде: \[\dfrac{10^{e}\cdot 2^{6}}{10^{e}\cdot 10^{6}} = \dfrac{2^6}{10^6} = \dfrac{64}{1\ \! 000\ \! 000} = 0,000064.\]
Ответ: 0,000064
Найдите значение выражения \(\displaystyle ((-4)^{-1})^{19}\cdot\left(\frac{12^{36}}{36^{18}} + \frac{12^{35}}{36^{17}}\right)\).
\[\begin{gathered} ((-4)^{-1})^{19}\cdot\left(\frac{12^{36}}{36^{18}} + \frac{12^{35}}{36^{17}}\right) = -4^{-19}\cdot\left(\frac{12^{36}}{(3\cdot12)^{18}} + \frac{12^{35}}{(3\cdot12)^{17}}\right) =\\= -4^{-19}\cdot\left(\frac{12^{36}}{3^{18}\cdot12^{18}} + \frac{12^{35}}{3^{17}\cdot12^{17}}\right) = -4^{-19}\cdot\left(\frac{12^{18}}{3^{18}} + \frac{12^{18}}{3^{17}}\right) =\\= -4^{-19}\cdot\left(\frac{(3\cdot4)^{18}}{3^{18}} + \frac{(3\cdot4)^{18}}{3^{17}}\right) = -4^{-19}\cdot\left(\frac{3^{18}\cdot4^{18}}{3^{18}} + \frac{3^{18}\cdot4^{18}}{3^{17}}\right) =\\= -4^{-19}\cdot\left(4^{18} + 4^{18}\cdot3\right) = -4^{-19}\cdot4^{18}\cdot(1 + 3) = -4^{-19}\cdot4^{18}\cdot4 = -1\end{gathered}\]
Ответ: -1
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{8^{11} - 8^{10} - 8^9}{4^{15} - 4^{14} - 4^{13}}\).
\[\frac{8^{11} - 8^{10} - 8^9}{4^{15} - 4^{14} - 4^{13}} = \frac{8^9(8^2 - 8 - 1)}{4^{13}(4^2 - 4 - 1)} = \frac{(2^3)^9(64 - 9)}{(2^2)^{13}(16 - 5)} = \frac{2^{27}\cdot55}{2^{26}\cdot11} = \frac{2\cdot5\cdot11}{11} = 2\cdot5 = 10\]
Ответ: 10
Найдите значение выражения \(\displaystyle (7^4)^{-5}\cdot\left(\frac{21^{40}}{63^{20}} + \frac{21^{39}}{63^{19}}\right)\).
\[\begin{gathered} (7^4)^{-5}\cdot\left(\frac{21^{40}}{63^{20}} + \frac{21^{39}}{63^{19}}\right) = 7^{-20}\cdot\frac{21^{39}}{63^{19}}\cdot\left(\frac{21}{63} + 1\right) =\\= 7^{-20}\cdot\frac{(3\cdot7)^{39}}{(7\cdot9)^{19}}\cdot\left(\frac{7\cdot3}{7\cdot9} + 1\right) = 7^{-20}\cdot\frac{3^{39}\cdot7^{39}}{7^{19}\cdot9^{19}}\cdot\left(\frac{1}{3} + 1\right) =\\= \frac{3^{39}}{(3^2)^{19}}\cdot\frac{4}{3} = \frac{3^{39}}{3^{38}}\cdot\frac{4}{3} = 3\cdot\frac{4}{3} = 4\end{gathered}\]
Ответ: 4
Найдите значение выражения \(\dfrac{22^{11 + \pi + \ln 1} + \ln 1}{484^{5,5 + 0,5\pi}}\).
\(\ln 1 = 0\). Знаменатель представим в виде \(484^{5,5 + 0,5\pi} = (22^2)^{5,5 + 0,5\pi} = 22^{2\cdot (5,5 + 0,5\pi)} = 22^{11 + \pi}\).
Теперь исходное выражение представим в эквивалентном виде: \[\dfrac{22^{11 + \pi}}{22^{11 + \pi}} = 1.\]
Ответ: 1
