Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые тригонометрические выражения (страница 5)

\(\blacktriangleright\) Алгоритм применения формул приведения:

 

Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: \[\sin \longleftrightarrow \cos\] \[\mathrm{tg} \longleftrightarrow \mathrm{ctg}\]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти тригонометрической окружности находится изначальный угол (предполагая, что \(\alpha\) – острый)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \((\pi n\pm \alpha)\), где \(n\) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: \(\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \((\pi n\pm \alpha)\)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\), где \(n\) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: \(\sin \left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)=\bigodot \cos \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\)

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

 

\[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg} \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg} \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \cos {2\alpha}=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha&&\cos {2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\&&\\ \cos {2\alpha}=2\cos^2\alpha -1&&\sin {2\alpha}=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \hline \end{array}\]

Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \((\mathrm{tg}\,16^\circ + \mathrm{ctg}\,32^\circ)\cdot\cos16^\circ\cdot\sin16^\circ\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} (\mathrm{tg}\,16^\circ + \mathrm{ctg}\,32^\circ)\cdot\cos16^\circ\cdot\sin16^\circ = \left(\frac{\sin16^\circ}{\cos16^\circ} + \frac{\cos32^\circ}{\sin32^\circ}\right)\cdot\cos16^\circ\cdot\sin16^\circ =\\= \left(\frac{2\sin^2{16^\circ}}{2\cos16^\circ\cdot\sin16^\circ} + \frac{\cos32^\circ}{2\cos16^\circ\cdot\sin16^\circ}\right)\cdot\cos16^\circ\cdot\sin16^\circ =\\= \frac{2\sin^2{16^\circ} + \cos32^\circ}{2\cos16^\circ\cdot\sin16^\circ}\cdot\cos16^\circ\cdot\sin16^\circ = \frac{2\sin^2{16^\circ} + 1 - 2\sin^2{16^\circ}}{2} = \frac{1}{2} = 0,5\end{gathered}\]

Ответ: 0,5

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\mathrm{tg}\,1^\circ\cdot\mathrm{tg}\,3^\circ\cdot\mathrm{tg}\,5^\circ\cdot {\dots} \cdot\mathrm{tg}\,85^\circ\cdot\mathrm{tg}\,87^\circ\cdot\mathrm{tg}\,89^\circ\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \mathrm{tg}\,1^\circ\cdot\mathrm{tg}\,3^\circ\cdot\mathrm{tg}\,5^\circ\cdot {\dots} \cdot\mathrm{tg}\,85^\circ\cdot\mathrm{tg}\,87^\circ\cdot\mathrm{tg}\,89^\circ =\\= \mathrm{tg}\,1^\circ\cdot\mathrm{tg}\,3^\circ\cdot\mathrm{tg}\,5^\circ\cdot {\dots} \cdot\mathrm{tg}\,43^\circ\cdot\mathrm{tg}\,45^\circ\cdot\mathrm{tg}\,47^\circ\cdot {\dots} \cdot\mathrm{tg}\,85^\circ\cdot\mathrm{tg}\,87^\circ\cdot\mathrm{tg}\,89^\circ =\\= \mathrm{tg}\,1^\circ\cdot\mathrm{tg}\,3^\circ\cdot\mathrm{tg}\,5^\circ\cdot {\dots} \cdot\mathrm{tg}\,43^\circ\cdot\mathrm{tg}\,45^\circ\cdot\mathrm{tg}\,(90^\circ - 43^\circ)\cdot {\dots} \cdot\mathrm{tg}\,(90^\circ - 5^\circ)\cdot\mathrm{tg}\,(90^\circ - 3^\circ)\cdot\mathrm{tg}\,(90^\circ - 1^\circ) =\\= \mathrm{tg}\,1^\circ\cdot\mathrm{tg}\,3^\circ\cdot\mathrm{tg}\,5^\circ\cdot {\dots} \cdot\mathrm{tg}\,43^\circ\cdot\mathrm{tg}\,45^\circ\cdot\mathrm{ctg}\,43^\circ\cdot {\dots} \cdot\mathrm{ctg}\,5^\circ\cdot\mathrm{ctg}\,3^\circ\cdot\mathrm{ctg}\,1^\circ =\\= (\mathrm{tg}\,1^\circ\cdot\mathrm{ctg}\,1^\circ)\cdot(\mathrm{tg}\,3^\circ\cdot\mathrm{tg}\,3^\circ)\cdot {\dots} \cdot(\mathrm{tg}\,43^\circ\cdot\mathrm{ctg}\,43^\circ)\cdot\mathrm{tg}\,45^\circ = 1\cdot1\cdot {\dots} \cdot 1 = 1\end{gathered}\]

Ответ: 1

Задание 31
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\mathrm{tg}\,15^\circ - \mathrm{ctg}\,15^\circ}{\mathrm{ctg}\,30^\circ}\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{\mathrm{tg}\,15^\circ - \mathrm{ctg}\,15^\circ}{\mathrm{ctg}\,30^\circ} = \frac{\frac{\sin15^\circ}{\cos15^\circ} - \frac{\cos15^\circ}{\sin15^\circ}}{\frac{\cos30^\circ}{\sin30^\circ}} = \left(\frac{\sin^2{15^\circ}}{\cos15^\circ\cdot\sin15^\circ} - \frac{\cos^2{15^\circ}}{\sin15^\circ\cdot\cos15^\circ}\right)\cdot\frac{\sin30^\circ}{\cos30^\circ} =\\= \frac{\sin^2{15^\circ} - \cos^2{15^\circ}}{\cos15^\circ\cdot\sin15^\circ}\cdot\frac{2\cdot\cos15^\circ\cdot\sin15^\circ}{\cos30^\circ} = \frac{-(\cos^2{15^\circ} - \sin^2{15^\circ})\cdot2}{\cos30^\circ} = \frac{-2\cdot\cos30^\circ}{\cos30^\circ} = -2\end{gathered}\]

Ответ: -2

Задание 32
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle\sqrt{\frac{8}{3}}\cdot(\cos15^\circ + \sin15^\circ)\).

Добавить задание в избранное

Возведем в квадрат выражение, находящееся в скобках:

\[\begin{gathered} (\cos15^\circ + \sin15^\circ)^2 = \cos^2{15^\circ} + 2\cdot\cos15^\circ\cdot\sin15^\circ +\sin^2{15^\circ} = 1 + \sin30^\circ = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\end{gathered}\]

\(\Rightarrow\) \(\displaystyle\cos15^\circ + \sin15^\circ = \sqrt{\frac{3}{2}}\) \(\Rightarrow\) \[\sqrt{\frac{8}{3}}\cdot(\cos15^\circ + \sin15^\circ) = \sqrt{\frac{8}{3}}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{8\cdot3}{3\cdot2}} = \sqrt4 = 2\]

Ответ: 2

Задание 33
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \[\cos\dfrac{\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{8\pi}{17}\]

Добавить задание в избранное

Домножим и разделим исходное выражение на \(\sin\dfrac{\pi}{17}\neq 0\): \[\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{8\pi}{17}}{\sin\dfrac{\pi}{17}}\]

Так как \[\sin\dfrac{n\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{n\pi}{17} = \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot\sin\dfrac{n\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{n\pi}{17} = \dfrac{1}{2}\cdot\sin\dfrac{2n\pi}{17}\,,\] то исходное выражение равно

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{8\pi}{17}}{\sin\dfrac{\pi}{17}} = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{8\pi}{17}}{\sin\dfrac{\pi}{17}} = \\ &\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{8\pi}{17}\cdot\cos\dfrac{8\pi}{17}}{\sin\dfrac{\pi}{17}} = \dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{16\pi}{17}}{\sin\dfrac{\pi}{17}} = \dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{\sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{17}\right)}{\sin\dfrac{\pi}{17}} = \dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{17}}{\sin\dfrac{\pi}{17}} = \dfrac{1}{16} \end{aligned}\]

Ответ: 0,0625

Задание 34
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \((2\sin30^\circ - \sqrt3\sin60^\circ\cdot\mathrm{ctg}\,45^\circ\cdot\mathrm{tg}\,30^\circ)\cdot(\sin90^\circ + \cos30^\circ)\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} (2\sin30^\circ - \sqrt3\sin60^\circ\cdot\mathrm{ctg}\,45^\circ\cdot\mathrm{tg}\,30^\circ)\cdot(\sin90^\circ + \cos30^\circ) =\\= \left(2\cdot\frac{1}{2} - \sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot1\cdot\frac{1}{\sqrt3}\right)\cdot\left(1 + \frac{\sqrt3}{2}\right) = \left(1 - \frac{\sqrt3}{2}\right)\cdot\left(1 + \frac{\sqrt3}{2}\right) =\\= \left(1^2 - \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\right) = \left(1 - \frac{3}{4}\right) = \frac{1}{4} = 0,25\end{gathered}\]

Ответ: 0,25

Задание 35
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{2\cos^2{57^\circ} - 2\sin^2{57^\circ}}{\cos^2{57^\circ} - 8\sin^2{28,5^\circ}\cdot\cos^2{28,5^\circ} + \sin^2{57^\circ}}\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{2\cos^2{57^\circ} - 2\sin^2{57^\circ}}{\cos^2{57^\circ} - 8\sin^2{28,5^\circ}\cdot\cos^2{28,5^\circ} + \sin^2{57^\circ}} =\\= \frac{2\cos^2{57^\circ} - 2\sin^2{57^\circ}}{\cos^2{57^\circ} - 2\cdot4\sin^2{28,5^\circ}\cdot\cos^2{28,5^\circ} + \sin^2{57^\circ}} =\\= \frac{2(\cos^2{57^\circ} - \sin^2{57^\circ})}{\cos^2{57^\circ} - 2\cdot(2\sin{28,5^\circ}\cdot\cos{28,5^\circ})^2 + \sin^2{57^\circ}} =\\= \frac{2\cos114^\circ}{\cos^2{57^\circ} - 2\sin^2{57^\circ} + \sin^2{57^\circ}} = \frac{2\cos114^\circ}{\cos^2{57^\circ} - \sin^2{57^\circ}} = \frac{2\cos114^\circ}{\cos114^\circ} = 2\end{gathered}\]

Ответ: 2

1 .... 4 5 6