Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые тригонометрические выражения (страница 6)

\(\blacktriangleright\) Алгоритм применения формул приведения:

 

Шаг 1: определить, меняется ли функция на кофункцию: \[\sin \longleftrightarrow \cos\] \[\mathrm{tg} \longleftrightarrow \mathrm{ctg}\]
Шаг 2: определить знак, который имеет изначальная функция, поняв, в какой четверти тригонометрической окружности находится изначальный угол (предполагая, что \(\alpha\) – острый)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \((\pi n\pm \alpha)\), где \(n\) – натуральное, то функция на кофункцию не меняется.
Пример: \(\sin (\pi n\pm \alpha)=\bigodot \sin \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \((\pi n\pm \alpha)\)

 

\(\blacktriangleright\) Если угол можно представить в виде \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\), где \(n\) – нечетное число, то функция на кофункцию меняется
Пример: \(\sin \left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)=\bigodot \cos \alpha\), где на месте \(\bigodot\) должен стоять знак синуса для угла \(\left(\dfrac{\pi}2n\pm \alpha\right)\)

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

 

\[\begin{array}{|ccc|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&& \mathrm{tg} \alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg} \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg} \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \cos {2\alpha}=\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha&&\cos {2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\&&\\ \cos {2\alpha}=2\cos^2\alpha -1&&\sin {2\alpha}=2\sin \alpha \cos \alpha\\ \hline \end{array}\]

Задание 36
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Вычислить \(\cos 36^\circ-\sin 18^\circ\)

Добавить задание в избранное

Умножим числитель и знаменатель дроби на неравное нулю число \(2\cos 18^\circ\) (от этого значение выражения не изменится):

\[\dfrac{2\cos 36^\circ\cos18^\circ-2\sin 18^\circ\cos18^\circ}{2\cos 18^\circ}\]

По формуле произведения косинусов \(2\cos36^\circ\cos18^\circ=\cos\left(36^\circ-18^\circ\right)+ \cos\left(36^\circ+18^\circ\right)\),
по формуле синуса двойного угла \(2\sin 18^\circ\cos18^\circ=\sin 36^\circ\), значит, выражение примет вид

\[\dfrac{\cos18^\circ+\cos54^\circ-\sin 36^\circ}{2\cos 18^\circ}\]

По формулам приведения \(\sin 36^\circ=\sin \left(90^\circ-54^\circ\right)=\cos54^\circ\), значит, выражение примет вид

\[\dfrac{\cos18^\circ+\cos54^\circ-\cos54^\circ}{2\cos 18^\circ}=\dfrac12\]

Ответ: 0,5

Задание 37
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \[\left(\dfrac{a^2 - \sin^2 b}{\cos b - \sin b}\right)^2\] при \(a = \cos b\), \(b = \dfrac{3\pi}{4}\).

Добавить задание в избранное

Подставим \(a = \cos b\), \(b = \dfrac{3\pi}{4}\) в исходное выражение: \[\left(\dfrac{\cos^2 \dfrac{3\pi}{4} - \sin^2 \dfrac{3\pi}{4}}{\cos \dfrac{3\pi}{4} - \sin \dfrac{3\pi}{4}}\right)^2\]

Так как \(\cos \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), а \(\sin \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), то \[\cos^2 \dfrac{3\pi}{4} = \sin^2 \dfrac{3\pi}{4},\qquad\qquad \cos \dfrac{3\pi}{4} - \sin \dfrac{3\pi}{4}\neq 0\,,\] следовательно, \[\left(\dfrac{\cos^2 \dfrac{3\pi}{4} - \sin^2 \dfrac{3\pi}{4}}{\cos \dfrac{3\pi}{4} - \sin \dfrac{3\pi}{4}}\right)^2 = 0^2 = 0\]

Ответ: 0

Задание 38
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значения выражения \[\sin \dfrac{\pi}{18}\cdot \cos \dfrac{\pi}9\cdot \cos \dfrac{2\pi}9\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Домножим и разделим выражение на \(\cos \dfrac{\pi}{18}\ne 0\): \[\begin{aligned} &\dfrac{ \ \cos\dfrac{\pi}{18}\cdot \sin \dfrac{\pi}{18}\cdot \cos \dfrac{\pi}9\cdot \cos \dfrac{2\pi}9 \ }{\cos \dfrac{\pi}{18}}= \dfrac{ \ \dfrac12\cdot \sin \dfrac{\pi}9\cdot \cos \dfrac{\pi}9\cdot \cos \dfrac{2\pi}9 \ }{\cos \dfrac{\pi}{18}}=\\[3ex] &=\dfrac{ \ \dfrac14\sin \dfrac{2\pi}9\cdot \cos\dfrac{2\pi}9 \ } {\cos\dfrac{\pi}{18}}=\dfrac{ \ \dfrac18\cdot \sin \dfrac{4\pi}9 \ }{\cos \dfrac{\pi}{18}}\end{aligned}\]
Заметим, что \(\dfrac{4\pi}9=\dfrac{8\pi}{18}=\dfrac{9\pi}{18}-\dfrac{\pi}{18}=\dfrac{\pi}2-\dfrac{\pi}{18}\), следовательно, \[\sin \dfrac{4\pi}9=\sin \left(\dfrac{\pi}2-\dfrac{\pi}{18}\right)=\cos \dfrac{\pi}{18}\] Следовательно, значение выражения равно \[\dfrac{\dfrac 18\cdot \cos\dfrac{\pi}{18}}{\cos \dfrac{\pi}{18}}=\dfrac18=0,125\]

Ответ: 0,125