9. Преобразование числовых и буквенных выражений
Найдите значение выражения \(\left(\dfrac{2 - \frac{1}{2}}{\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)^2\).
\[\left(\dfrac{2 - \frac{1}{2}}{\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)^2 = \left(\dfrac{1,5}{\sqrt{2}(1 + \frac{1}{2})}\right)^2 = \left(\dfrac{1,5}{\sqrt{2}\cdot 1,5}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 0,5.\]
Ответ: 0,5
Найдите значение выражения \((3002^2 - 3000^2)\cdot\dfrac{1}{3001}\).
\[(3002^2 - 3000^2)\cdot\dfrac{1}{3001} = (3002 - 3000)(3002 + 3000)\cdot\dfrac{1}{3001} = 2\cdot 6002\cdot\dfrac{1}{3001} = 2\cdot 2 = 4.\]
Ответ: 4
Найдите значение выражения \((2017^2 - 2015^2)\cdot\dfrac{2}{2\cdot 4032}\).
\[(2017^2 - 2015^2)\cdot\dfrac{2}{2\cdot 4032} = (2017 - 2015)(2017 + 2015)\cdot\dfrac{2}{2\cdot 4032} = 2\cdot 4032\cdot\dfrac{2}{2\cdot 4032} = 2.\]
Ответ: 2
Найдите значение выражения \(0,001\cdot(1234^2 - 234^2)\).
\[0,001\cdot(1234^2 - 234^2) = \dfrac{1}{1000}\cdot(1234 - 234)(1234 + 234) = \dfrac{1}{1000}\cdot 1000\cdot 1468 = 1468.\]
Ответ: 1468
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{87^3 + 43^3}{87^2 - 87\cdot43 + 43^2}\).
\[\frac{87^3 + 43^3}{87^2 - 87\cdot43 + 43^2} = \frac{(87 + 43)\cdot(87^2 - 87\cdot43 + 43^2)}{87^2 - 87\cdot43 + 43^2} = 87 + 43 = 130\]
Ответ: 130
Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{59^3 - 41^3}{18} + 59\cdot41\).
\[\begin{gathered} \frac{(59 - 41)(59^2 + 59\cdot41 + 41^2)}{18} + 59\cdot41 = \frac{18\cdot(59^2 + 59\cdot41 + 41^2)}{18} + 59\cdot41 =\\= 59^2 + 59\cdot41 + 41^2 + 59\cdot41 = 59^2 + 2\cdot59\cdot41 + 41^2 =\\= (59 + 41)^2 = 100^2 = 10\,000\end{gathered}\]
Ответ: 10000
Найдите значение выражения
\[\dfrac{(\sqrt7+\sqrt{17})^2}{12+\sqrt{119}}\]
(Задача от подписчиков.)
Возведем в квадрат числитель по формуле \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):
\[(\sqrt7+\sqrt{17})^2=(\sqrt7)^2+2\cdot \sqrt7\cdot \sqrt{17}+(\sqrt{17})^2= 7+2\sqrt{7\cdot 17}+17=24+2\sqrt{119}=2(12+\sqrt{119})\]
Таким образом, все выражение примет вид:
\[\dfrac{2(12+\sqrt{119})}{12+\sqrt{119}}=2.\]
Ответ: 2
