Найдите значение выражения \(y+\sqrt3 x\), если \(x^2+2\sqrt3x+y-4\sqrt y+7=0\).
Преобразуем данное равенство:
\(x^2+2\sqrt3x+y-4\sqrt y+7=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2+2\sqrt3x+(\sqrt3)^2+y-2\cdot 2\sqrt y+2^2=0 \quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad (x+\sqrt3)^2+(\sqrt y-2)^2=0\)
Т.к. квадрат любого выражения — число неотрицательное, то и сумма двух квадратов — число неотрицательное. Следовательно, в левой части равенства стоит число \(\geqslant 0\), причем равно нулю оно будет тогда и только тогда, когда равны нулю оба квадрата. Значит,
\[\begin{cases} x+\sqrt3=0\\ \sqrt y-2=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=-\sqrt3\\ y=4 \end{cases}\]
Тогда \(y+\sqrt3 x=4+\sqrt3(-\sqrt3)=1\).
Ответ: 1