Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Преобразование числовых и буквенных выражений. Задачи повышенного уровня сложности (страница 3)

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(y+\sqrt3 x\), если \(x^2+2\sqrt3x+y-4\sqrt y+7=0\).

Добавить задание в избранное

Преобразуем данное равенство:

 

\(x^2+2\sqrt3x+y-4\sqrt y+7=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2+2\sqrt3x+(\sqrt3)^2+y-2\cdot 2\sqrt y+2^2=0 \quad \Leftrightarrow\)

 

\(\Leftrightarrow \quad (x+\sqrt3)^2+(\sqrt y-2)^2=0\)

 

Т.к. квадрат любого выражения — число неотрицательное, то и сумма двух квадратов — число неотрицательное. Следовательно, в левой части равенства стоит число \(\geqslant 0\), причем равно нулю оно будет тогда и только тогда, когда равны нулю оба квадрата. Значит,

\[\begin{cases} x+\sqrt3=0\\ \sqrt y-2=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=-\sqrt3\\ y=4 \end{cases}\]

Тогда \(y+\sqrt3 x=4+\sqrt3(-\sqrt3)=1\).

Ответ: 1

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \[13\sin \left(\arcsin \dfrac{12}{13}+\arccos 0,6\right)\]

Добавить задание в избранное

Используя формулу \(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\), получим:

 

\(13\sin \left(\arcsin \dfrac{12}{13}+\arccos 0,6\right)=13\sin\Big(\arcsin\dfrac{12}{13}\Big) \cos(\arccos0,6)+13\sin(\arccos0,6)\cos\Big(\arcsin\dfrac{12}{13}\Big)=\)

 

\(=13\cdot \dfrac{12}{13}\cdot 0,6+13\sin(\arccos0,6)\cos\Big(\arcsin\dfrac{12}{13}\Big)\)

 

Обозначим \(\arccos0,6=\alpha\). Это значит, что \(\cos \alpha=0,6\), причем \(0< \alpha< \dfrac{\pi}2\). Значит \[\sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-0,36}=0,8.\]

Таким образом, \(\sin\alpha=0,8\); следовательно, \(\sin(\arccos0,6)=\sin\alpha=0,8\).

 

Аналогично, \(\beta=\arcsin\dfrac{12}{13} \quad\Rightarrow\quad \sin\beta=\dfrac{12}{13}, \quad 0<\beta<\dfrac{\pi}2\).

 

Значит, \(\cos\beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\dfrac{144}{169}}=\dfrac5{13}; \quad\) следовательно, \(\cos(\arcsin\dfrac{12}{13})=\cos \beta=\dfrac5{13}\).

 

Значит, наше выражение равно:

\[13\cdot \dfrac{12}{13}\cdot 0,6+13\cdot 0,8\cdot\dfrac5{13}=\dfrac{56}{5}=11,2.\]

Ответ: 11,2

1 2 3