Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Неравенства, решаемые методом рационализации (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для показательной функции.
Если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \(a^{f(x)}-a^{g(x)}\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-g(x))\).

 

Пример.
Неравенство \((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)\leqslant0\) равносильно
неравенству \((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^{-2})(5x^2-9x-2)\leqslant 0\),
которое в свою очередь по методу рационализации можно переписать в виде \[(3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)\leqslant0\]

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для логарифмической функции.
Так как у логарифмов уже появляются ограничения на ОДЗ, то данный метод работает только при выполнении условий ОДЗ для логарифмов! Следовательно, последовательность решения подобных неравенств такая:

 

1) находим ОДЗ неравенства;

 

2) решаем неравенство, как будто ОДЗ выполнено;

 

3) пересекаем полученный ответ с ОДЗ и получаем итоговый ответ.

 

Суть метода рационализации:
1) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \((\log_{a}f(x)-\log_{a}g(x))\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-g(x))\) (при условии выполнения ОДЗ!).
2) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \(\log_{a}f(x)\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-1)\) (при условии выполнения ОДЗ!).

 

Пример.
Неравенство \((3+x-2x^2)\log_{x+2}{(3x+5)}\geqslant 0\) с помощью метода рационализации можно переписать в виде: \[\begin{cases} (3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)\geqslant 0\\ x+2>0\qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\\ x+2\ne 1\qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\\ 3x+5>0 \qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\end{cases}\]

Задание 8 #2650
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac 1{2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}}\leqslant 1\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Найдем ОДЗ:

\[\begin{aligned}&\begin{cases} 1-x^2>0\\ 1-x^2\ne 1\\ 4x^2-4x+1>0\\ 2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\ne 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ (2x-1)^2>0\\ (2x-1)^2\ne (1-x^2)^2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &\begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ x\ne 0,5\\ 2x-1\ne \pm(1-x^2)\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ x\ne 0,5\\ x\ne -1\pm\sqrt3; 0; 2\end{cases}\end{aligned}\]

 

Таким образом, ОДЗ данного неравенства: \(x\in (-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup(\sqrt3-1;1)\).

 

Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену \(t=2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\). Тогда неравенство примет вид:

\[\dfrac 1t\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1-t}t\leqslant 0\quad\Leftrightarrow \quad t\in (-\infty;0)\cup[1;+\infty).\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\geqslant 1\\ &2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}<0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_{1-x^2}{\dfrac{4x^2-4x+1}{1-x^2}}\leqslant 0\\[2ex] &\log_{1-x^2}{\dfrac{4x^2-4x+1}{(1-x^2)^2}}>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Преобразуем каждое из полученных неравенств по методу рационализации:

\[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(1-x^2-1)\left(\dfrac{4x^2-4x+1}{1-x^2}-1\right)\leqslant 0\\[2ex] &(1-x^2-1)\left(\dfrac{4x^2-4x+1}{(1-x^2)^2}-1\right)>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac{x^3(5x-4)}{(x+1)(x-1)}\leqslant 0\\[2ex] &\dfrac{x^3(x-2)(x^2+2x-2)}{(x-1)^2(x+1)^2}>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Решая каждое неравенство методом интервалов и объединяя решения, мы получим:

\[x\in (-\infty;-\sqrt3-1)\cup(-1;\sqrt3-1)\cup[0,8;1)\cup(2;+\infty).\]

Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательный ответ:

\[x\in (-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup[0,8;1).\]

Ответ:

\((-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup[0,8;1)\)

Задание 9 #3957
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{8^x-5\cdot 2^x}{(x^2-1)(2^x-2^{4-x})}\geqslant 0\]

Добавить задание в избранное

Рассмотрим числитель дроби: \[8^x-5\cdot 2^x=2^x\cdot 4^x-5\cdot 2^x=2^x\cdot (4^x-5)\] Следовательно, мы можем неравенство переписать в виде: \[\dfrac{2^x\cdot (4^x-5)}{(x^2-1)(2^x-2^{4-x})}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2^x\cdot (4^x-4^{\log_45})}{(x-1)(x+1)(2^x-2^{4-x})}\geqslant 0\] Заметим, что \(2^x>0\) для любого \(x\), следовательно, можно разделить обе части неравенства на это положительное выражение, при этом знак неравенства не сменится. Теперь решим данное неравенство методом рационализации: \[\dfrac{(4-1)(x-\log_45)}{(x-1)(x+1)(2-1)(x-(4-x))}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow \quad \dfrac{(x-\log_45)}{(x-1)(x+1)(2x-4)}\geqslant 0\] Полученное неравенство можно решить методом интервалов:



Таким образом, ответ: \[x\in (-\infty;-1)\cup(1;\log_45]\cup(2;+\infty)\]

Ответ:

\((-\infty;-1)\cup(1;\log_45]\cup(2;+\infty)\)

Задание 10 #3956
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{10^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50}{5x-x^2-4}\geqslant 0\]

Добавить задание в избранное

Рассмотрим числитель дроби: \[10^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50= 2^x\cdot 5^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50=2^x(5^x-25)-2(5^x-25)=(5^x-25)(2^x-2)\] Следовательно, домножив также обе части неравенства на \(-1\) и сменив знак неравенства на противоположный, мы можем неравенство переписать в виде: \[\dfrac{(5^x-25)(2^x-2)}{x^2-5x+4}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(5^x-5^2)(2^x-2^1)}{(x-1)(x-4)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом рационализации: \[\dfrac{(5-1)(x-2)(2-1)(x-1)}{(x-1)(x-4)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow \quad \dfrac{(x-2)(x-1)}{(x-1)(x-4)}\leqslant 0\] Полученное неравенство можно решить методом интервалов:



Таким образом, ответ: \[x\in [2;4)\]

Ответ:

\([2;4)\)

Задание 11 #3955
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{15^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^2+2x}\geqslant 0\]

Добавить задание в избранное

Рассмотрим числитель дроби: \[15^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15= 3^x\cdot 5^x-3\cdot 3^x-5\cdot 5^x+15=3^x(5^x-3)-5(5^x-3)=(5^x-3)(3^x-5)\] Следовательно, домножив также обе части неравенства на \(-1\) и сменив знак неравенства на противоположный, мы можем неравенство переписать в виде: \[\dfrac{(5^x-3)(3^x-5)}{x^2-2x}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(5^x-5^{\log_53})(3^x-3^{\log_35})}{x(x-2)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом рационализации: \[\dfrac{(5-1)(x-\log_53)(3-1)(x-\log_35)}{x(x-2)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow \quad \dfrac{(x-\log_53)(x-\log_35)}{x(x-2)}\leqslant 0\] Полученное неравенство можно решить методом интервалов:



Таким образом, ответ: \[x\in (0;\log_53]\cup[\log_35;2)\]

Ответ:

\((0;\log_53]\cup[\log_35;2)\)

Задание 12 #1603
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x^2+x}\sqrt{x^2-4x+4}\leqslant 0,5. \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} &\begin{cases} x^2 + x > 0\\ x^2 + x \neq 1\\ x^2-4x+4 > 0 \end{cases} \ \Leftrightarrow\\ x \in \left(-\infty; -\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) &\cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right) \end{aligned}\]

\[2\log_{x^2+x}\sqrt{x^2-4x+4} - \log_{x^2 + x}(x^2 + x)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{x^2+x}\dfrac{x^2-4x + 4}{x^2+x}\leqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(x^2 + x - 1)\left(\dfrac{x^2-4x+4}{x^2+x} - 1\right)\leqslant 0 \ \ \Leftrightarrow\ \ (x^2 + x - 1)\cdot\dfrac{x^2-4x+4 - (x^2 + x)}{x^2+x}\leqslant 0 \ \ \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\ \ (x^2 + x - 1)\cdot\dfrac{-5x+4}{x^2+x}\leqslant 0\ \ \Leftrightarrow\ \ (x^2 + x - 1)\cdot\dfrac{5x - 4}{x^2+x}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left[-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right)\cup\left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right]\cup[0,8; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in\left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left[0,8; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right)\).
Окончательный ответ \[x \in \left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left[0,8; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right)\,.\]

Ответ:

\(\left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left[0,8; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right)\)

Задание 13 #1597
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x + \pi^e)}(x - 2016) > 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x + \pi^e > 0\\ x + \pi^e \neq 1\\ x - 2016 > 0 \end{cases}\qquad\Leftrightarrow\qquad x > 2016.\]

По методу рационализации на ОДЗ: \[(x + \pi^e - 1)(x - 2016 - 1) > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + \pi^e - 1)(x - 2017) > 0,\] что при \(x > 2016\) равносильно \[x - 2017 > 0,\] откуда \(x\in(2017; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x \in (2017; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((2017; +\infty)\)

Задание 14 #1600
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x + 7)} (x^2 + 4) < -\dfrac{1}{\log_{x} \sqrt{x + 7}} + \log_{(x + 7)}(x^2 - 1) \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x + 7 > 0\\ x + 7\neq 1\\ x^2 + 4 > 0\\ x^2 - 1 > 0\\ x > 0\\ x\neq 1\\ \sqrt{x + 7} > 0\\ \sqrt{x + 7} \neq 1\\ \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 1\,.\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 7)} (x^2 + 4) - \log_{(x + 7)}(x^2 - 1) < -\log_{\sqrt{x + 7}}x\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad\log_{(x + 7)} \dfrac{x^2 + 4}{x^2 - 1} < -2\log_{|x + 7|}x\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{(x + 7)} \dfrac{x^2 + 4}{x^2 - 1} < -\log_{(x + 7)}x^2\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{(x + 7)} \dfrac{x^2 + 4}{x^2 - 1} + \log_{(x + 7)}x^2 < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_{(x + 7)} \dfrac{x^2(x^2 + 4)}{x^2 - 1} < 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 7)} \dfrac{x^2(x^2 + 4)}{x^2 - 1} < 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x + 7 - 1)\left(\dfrac{x^2(x^2 + 4)}{x^2 - 1} - 1\right) < 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (x + 6)\cdot\dfrac{x^4 + 3x^2 + 1}{x^2 - 1} < 0\,. \end{aligned}\]

\[x^4 + 3x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 + x^2 = (x^2 + 1)^2 + x^2 > 0,\] тогда

\[\begin{aligned} (x + 6)\cdot\dfrac{x^4 + 3x^2 + 1}{x^2 - 1} < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{x + 6}{x^2 - 1} < 0, \end{aligned}\]

но на ОДЗ (при \(x > 1\)) у выражения в левой части последнего неравенства числитель и знаменатель не обращаются в \(0\), тогда оно знакопостоянно при \(x > 1\).

Так как \[\dfrac{x + 6}{x^2 - 1} > 0\qquad \text{при}\qquad x = 2,\] то у исходного неравенства решений нет.

Ответ:

\(\varnothing\)

1 2 3