Решите неравенство \[\dfrac 1{2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}}\leqslant 1\]
(Задача от подписчиков)
Найдем ОДЗ:
\[\begin{aligned}&\begin{cases} 1-x^2>0\\ 1-x^2\ne 1\\ 4x^2-4x+1>0\\ 2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\ne 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ (2x-1)^2>0\\ (2x-1)^2\ne (1-x^2)^2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &\begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ x\ne 0,5\\ 2x-1\ne \pm(1-x^2)\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ x\ne 0,5\\ x\ne -1\pm\sqrt3; 0; 2\end{cases}\end{aligned}\]
Таким образом, ОДЗ данного неравенства: \(x\in (-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup(\sqrt3-1;1)\).
Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену \(t=2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\). Тогда неравенство примет вид:
\[\dfrac 1t\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1-t}t\leqslant 0\quad\Leftrightarrow \quad t\in (-\infty;0)\cup[1;+\infty).\]
Сделаем обратную замену:
\[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\geqslant 1\\ &2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}<0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_{1-x^2}{\dfrac{4x^2-4x+1}{1-x^2}}\leqslant 0\\[2ex] &\log_{1-x^2}{\dfrac{4x^2-4x+1}{(1-x^2)^2}}>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]
Преобразуем каждое из полученных неравенств по методу рационализации:
\[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(1-x^2-1)\left(\dfrac{4x^2-4x+1}{1-x^2}-1\right)\leqslant 0\\[2ex] &(1-x^2-1)\left(\dfrac{4x^2-4x+1}{(1-x^2)^2}-1\right)>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac{x^3(5x-4)}{(x+1)(x-1)}\leqslant 0\\[2ex] &\dfrac{x^3(x-2)(x^2+2x-2)}{(x-1)^2(x+1)^2}>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]
Решая каждое неравенство методом интервалов и объединяя решения, мы получим:
\[x\in (-\infty;-\sqrt3-1)\cup(-1;\sqrt3-1)\cup[0,8;1)\cup(2;+\infty).\]
Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательный ответ:
\[x\in (-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup[0,8;1).\]
Ответ:
\((-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup[0,8;1)\)