Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Неравенства, решаемые методом рационализации (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для показательной функции: \[(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow (h(x))^{f(x)}-(h(x))^{g(x)}\geqslant 0 \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\ h(x)>0 \end{cases}\]

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для логарифмической функции: \[\log_{h(x)}{f(x)}\geqslant \log_{h(x)}{g(x)} \Leftrightarrow \log_{h(x)}{f(x)}-\log_{h(x)}{g(x)}\geqslant 0 \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\ f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\ h(x)\ne 1 \end{cases}\]

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[{\large{\left(4^{x^2-x-6}-1\right)\cdot \log_{0,25}\left(4^{x^2+2x+2}-3\right)\leqslant 0}}\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Найдем ОДЗ: \[4^{x^2+2x+2}-3>0\quad\Leftrightarrow\quad 4^{x^2+2x+2}>4^{\log_43}\quad\Leftrightarrow\quad x^2+2x+1+1>\log_43\quad\Leftrightarrow\quad (x+1)^2>\log_43-1.\]

Заметим, что \(\log_43<\log_44=1\), следовательно, число \(\log_43-1<0\). Т.к. квадрат любого выражения всегда неотрицателен, то неравенство \((x+1)^2>\log_43-1\) выполнено при всех \(x\).
Следовательно, ОДЗ: \(x\in \mathbb{R}\).

 

Перейдем к неравенству: \[{\large{\left(4^{x^2-x-6}-4^0\right)\cdot \log_{0,25}\left(4^{x^2+2x+2}-3\right)\leqslant 0}}\] Преобразуем его по методу рационализации: \[\begin{aligned} &(4-1)(x^2-x-6-0)\cdot (0,25-1)\left(4^{x^2+2x+2}-3-1\right)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &3(x^2-x-6)\cdot (-0,75)\left(4^{x^2+2x+2}-4^1\right)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &(x^2-x-6)\cdot (4-1)(x^2+2x+2-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[2ex]\Leftrightarrow\quad &(x+2)(x-3)\cdot (x+1)^2\geqslant 0\end{aligned}\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ: \[x\in (-\infty;-2]\cup\{-1\}\cup[3;+\infty).\]

Ответ:

\((-\infty;-2]\cup\{-1\}\cup[3;+\infty)\)

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac 1{2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}}\leqslant 1\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Найдем ОДЗ:

\[\begin{aligned}&\begin{cases} 1-x^2>0\\ 1-x^2\ne 1\\ 4x^2-4x+1>0\\ 2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\ne 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ (2x-1)^2>0\\ (2x-1)^2\ne (1-x^2)^2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &\begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ x\ne 0,5\\ 2x-1\ne \pm(1-x^2)\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ x\ne 0,5\\ x\ne -1\pm\sqrt3; 0; 2\end{cases}\end{aligned}\]

 

Таким образом, ОДЗ данного неравенства: \(x\in (-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup(\sqrt3-1;1)\).

 

Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену \(t=2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\). Тогда неравенство примет вид:

\[\dfrac 1t\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1-t}t\leqslant 0\quad\Leftrightarrow \quad t\in (-\infty;0)\cup[1;+\infty).\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\geqslant 1\\ &2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}<0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_{1-x^2}{\dfrac{4x^2-4x+1}{1-x^2}}\leqslant 0\\[2ex] &\log_{1-x^2}{\dfrac{4x^2-4x+1}{(1-x^2)^2}}>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Преобразуем каждое из полученных неравенств по методу рационализации:

\[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(1-x^2-1)\left(\dfrac{4x^2-4x+1}{1-x^2}-1\right)\leqslant 0\\[2ex] &(1-x^2-1)\left(\dfrac{4x^2-4x+1}{(1-x^2)^2}-1\right)>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac{x^3(5x-4)}{(x+1)(x-1)}\leqslant 0\\[2ex] &\dfrac{x^3(x-2)(x^2+2x-2)}{(x-1)^2(x+1)^2}>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Решая каждое неравенство методом интервалов и объединяя решения, мы получим:

\[x\in (-\infty;-\sqrt3-1)\cup(-1;\sqrt3-1)\cup[0,8;1)\cup(2;+\infty).\]

Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательный ответ:

\[x\in (-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup[0,8;1).\]

Ответ:

\((-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup[0,8;1)\)

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{x^2+x}\sqrt{x^2-4x+4}\leqslant 0,5. \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} &\begin{cases} x^2 + x > 0\\ x^2 + x \neq 1\\ x^2-4x+4 > 0 \end{cases} \ \Leftrightarrow\\ x \in \left(-\infty; -\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) &\cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right) \end{aligned}\]

\[2\log_{x^2+x}\sqrt{x^2-4x+4} - \log_{x^2 + x}(x^2 + x)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{x^2+x}\dfrac{x^2-4x + 4}{x^2+x}\leqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(x^2 + x - 1)\left(\dfrac{x^2-4x+4}{x^2+x} - 1\right)\leqslant 0 \ \ \Leftrightarrow\ \ (x^2 + x - 1)\cdot\dfrac{x^2-4x+4 - (x^2 + x)}{x^2+x}\leqslant 0 \ \ \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\ \ (x^2 + x - 1)\cdot\dfrac{-5x+4}{x^2+x}\leqslant 0\ \ \Leftrightarrow\ \ (x^2 + x - 1)\cdot\dfrac{5x - 4}{x^2+x}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left[-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right)\cup\left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right]\cup[0,8; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in\left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left[0,8; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right)\).
Окончательный ответ \[x \in \left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left[0,8; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right)\,.\]

Ответ:

\(\left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left[0,8; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right)\)

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x + \pi^e)}(x - 2016) > 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x + \pi^e > 0\\ x + \pi^e \neq 1\\ x - 2016 > 0 \end{cases}\qquad\Leftrightarrow\qquad x > 2016.\]

По методу рационализации на ОДЗ: \[(x + \pi^e - 1)(x - 2016 - 1) > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + \pi^e - 1)(x - 2017) > 0,\] что при \(x > 2016\) равносильно \[x - 2017 > 0,\] откуда \(x\in(2017; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x \in (2017; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((2017; +\infty)\)

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x + 7)} (x^2 + 4) < -\dfrac{1}{\log_{x} \sqrt{x + 7}} + \log_{(x + 7)}(x^2 - 1) \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x + 7 > 0\\ x + 7\neq 1\\ x^2 + 4 > 0\\ x^2 - 1 > 0\\ x > 0\\ x\neq 1\\ \sqrt{x + 7} > 0\\ \sqrt{x + 7} \neq 1\\ \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 1\,.\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 7)} (x^2 + 4) - \log_{(x + 7)}(x^2 - 1) < -\log_{\sqrt{x + 7}}x\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad\log_{(x + 7)} \dfrac{x^2 + 4}{x^2 - 1} < -2\log_{|x + 7|}x\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{(x + 7)} \dfrac{x^2 + 4}{x^2 - 1} < -\log_{(x + 7)}x^2\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{(x + 7)} \dfrac{x^2 + 4}{x^2 - 1} + \log_{(x + 7)}x^2 < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_{(x + 7)} \dfrac{x^2(x^2 + 4)}{x^2 - 1} < 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 7)} \dfrac{x^2(x^2 + 4)}{x^2 - 1} < 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x + 7 - 1)\left(\dfrac{x^2(x^2 + 4)}{x^2 - 1} - 1\right) < 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (x + 6)\cdot\dfrac{x^4 + 3x^2 + 1}{x^2 - 1} < 0\,. \end{aligned}\]

\[x^4 + 3x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 + x^2 = (x^2 + 1)^2 + x^2 > 0,\] тогда

\[\begin{aligned} (x + 6)\cdot\dfrac{x^4 + 3x^2 + 1}{x^2 - 1} < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{x + 6}{x^2 - 1} < 0, \end{aligned}\]

но на ОДЗ (при \(x > 1\)) у выражения в левой части последнего неравенства числитель и знаменатель не обращаются в \(0\), тогда оно знакопостоянно при \(x > 1\).

Так как \[\dfrac{x + 6}{x^2 - 1} > 0\qquad \text{при}\qquad x = 2,\] то у исходного неравенства решений нет.

Ответ:

\(\varnothing\)

Задание 13
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\left(9^{x^2+x-2}-\left(3^{x+2}+1\right)\cdot 3^{x^2+x-2}+3^{x+2}\right) \cdot \log_{x^2-3}{\left(3^{x^2+2x+2}-2\right)}\geqslant 0\]

Добавить задание в избранное

Рассмотрим первую скобку: \(\left(9^{x^2+x-2}-\left(3^{x+2}+1\right)\cdot 3^{x^2+x-2}+3^{x+2}\right)\).

 

Сделаем замену \(t=3^{x^2+x-2}\). Тогда данное выражение преобразуется к виду

\[t^2-\left(3^{x+2}+1\right)t+3^{x+2}=t^2-3^{x+2}t-t+3^{x+2}=t\left(t-3^{x+2}\right)- \left(t-3^{x+2}\right)=\left(t-3^{x+2}\right)\left(t-1\right)\]

Таким образом, данное выражение имеет вид:

\[\left(3^{x^2+x-2}-3^{x+2}\right)\left(3^{x^2+x-2}-1\right)\]

Тогда все неравенство примет вид:

\[\left(3^{x^2+x-2}-3^{x+2}\right)\left(3^{x^2+x-2}-1\right)\cdot \log_{x^2-3}{\left(3^{x^2+2x+2}-2\right)}\geqslant 0\]

1) Найдем ОДЗ левой части:

\[\begin{cases} x^2-3>0\\ x^2-3\ne 1\\[1ex] 3^{x^2+2x+2}-2>0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(\sqrt3;+\infty)\\ x\ne \pm 2\\ 3^{x^2+2x+2}>3^{\log_32} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(\sqrt3;+\infty)\\ x\ne \pm 2\\ x^2+2x+2>\log_32 \end{cases}\]

Решим последнее неравенство отдельно:

\[x^2+2x+2>\log_32 \quad \Rightarrow \quad x^2+2x+1>\log_32-1 \quad \Rightarrow \quad (x+1)^2>\log_32-\log_33=\log_3{\frac23}\]

Заметим, что число \(\log_3{\frac23}<0\), следовательно, при любых \(x\) выражение \((x+1)^2\) будет больше отрицательного числа, то есть решением этого неравенства являются \(x\in \mathbb{R}\).

 

Таким образом, ОДЗ исходного неравенства: \(x\in (-\infty;-2)\cup(-2;-\sqrt3)\cup(\sqrt3;2)\cup(2;+\infty)\).

 

2) Перейдем к решению самого неравенства на ОДЗ.

 

Применим метод рационализации для первого множителя (скобки) и для второго множителя (логарифма):

\((x^2+x-2-0)(x^2+x-2-(x+2))\cdot (x^2-3-1)(3^{x^2+2x+2}-2-1)\geqslant 0\quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad (x^2+x-2)(x^2-4)\cdot (x^2-4)(x^2+2x+2-1)\geqslant 0\quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad (x-1)(x+2)(x+2)(x-2)\cdot (x-2)(x+2)(x+1)^2\geqslant 0 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad (x-1)(x+2)^3(x-2)^2(x+1)^2\geqslant 0\)

 

Решим данное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, нам подходят точки \(x\in (-\infty;-2]\cup\{-1\}\cup[1;+\infty)\).

 

3) Пересечем полученный ответ с ОДЗ и получим:

\[x\in (-\infty;-2)\cup(\sqrt3;2)\cup(2;+\infty).\]

Ответ:

\(x\in (-\infty;-2)\cup(\sqrt3;2)\cup(2;+\infty)\)

Задание 14
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x^2+x)\lg(2x^2+4x-4)}{|x+2|}\geqslant\dfrac{\lg(-2x^2-4x + 4)^2}{x+2}. \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} 2x^2+4x-4 > 0\\ x + 2 \neq 0\\ (-2x^2-4x + 4)^2 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -1-\sqrt{3})\cup(-1+\sqrt{3}; +\infty).\]

Так как \((-a)^2 = a^2\), то \((-2x^2-4x+4)^2 = (2x^2+4x-4)^2\).
Обозначим \[A = 2x^2+4x-4,\] тогда \[\dfrac{(x^2+x)\lg A}{|x+2|}\geqslant\dfrac{\lg A^2}{x+2}\] Рассмотрим 2 случая:
1) \(x + 2 > 0\Rightarrow |x + 2| = x + 2\).
\[\dfrac{(x^2+x)\lg A - 2\lg A}{x+2} \geqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(x^2+x-2)\lg A}{x+2} \geqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &\dfrac{(x^2+x-2)(10-1)(A-1)}{x+2} \geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2+x-2)(2x^2+4x-5)}{x+2} \geqslant 0\\ &\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(x - 1)(x + 2)\left(x + 1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)\left(x + 1 - \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)}{x+2} \geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left[-1 - \dfrac{\sqrt{14}}{2}; -2\right)\cup\left(-2; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\).
Пересечем с условием \(x + 2 > 0\): \(x \in\left(-2; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\)

2) \(x + 2 < 0\Rightarrow |x + 2| = -x - 2\).
\[\dfrac{-(x^2+x)\lg A - 2\lg A}{x+2} \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(x^2+x+2)\lg A}{x+2} \leqslant 0\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &\dfrac{(x^2+x+2)(10-1)(A-1)}{x+2} \leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2+x+2)(2x^2+4x-5)}{x+2} \leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2+x+2)\left(x + 1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)\left(x + 1 - \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)}{x+2} \leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-2; -1+\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\).
Пересечем с условием \(x + 2 < 0\): \(x \in\left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\).
Объединенное решение двух случаев: \(x\in\left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-2; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in \left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-1+\sqrt{3}; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in \left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-1+\sqrt{3}; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\,.\]

Ответ:

\(\left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-1+\sqrt{3}; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\)

1 2 3