Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Неравенства, решаемые методом рационализации (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для показательной функции: \[(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow (h(x))^{f(x)}-(h(x))^{g(x)}\geqslant 0 \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\ h(x)>0 \end{cases}\]

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для логарифмической функции: \[\log_{h(x)}{f(x)}\geqslant \log_{h(x)}{g(x)} \Leftrightarrow \log_{h(x)}{f(x)}-\log_{h(x)}{g(x)}\geqslant 0 \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\ f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\ h(x)\ne 1 \end{cases}\]

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x + 11)} (x^2 + 3) \geqslant -\dfrac{1}{\log_{x} \sqrt{x + 11}} + \dfrac{1}{\log_{(x^2 - 1)}(x + 11)} \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x + 11 > 0\\ x + 11\neq 1\\ x^2 + 3 > 0\\ x > 0\\ x\neq 1\\ \sqrt{x + 11} > 0\\ \sqrt{x + 11} \neq 1\\ x^2 - 1 > 0\\ x^2 - 1\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 1\\ x\neq\sqrt{2} \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 11)} (x^2 + 3) \geqslant -\log_{\sqrt{x + 11}}x + \log_{(x + 11)}(x^2 - 1)\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad\log_{(x + 11)} (x^2 + 3) - \log_{(x + 11)}(x^2 - 1) + \log_{\sqrt{x + 11}}x\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_{(x + 11)} \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 1} + \log_{\sqrt{x + 11}}x\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{(x + 11)} \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 1} + 2\log_{|x + 11|}x\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad\log_{(x + 11)} \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 1} + \log_{(x + 11)}x^2\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad\log_{(x + 11)} \dfrac{x^2(x^2 + 3)}{x^2 - 1}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 11)} \dfrac{x^2(x^2 + 3)}{x^2 - 1}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x + 11 - 1)\left(\dfrac{x^2(x^2 + 3)}{x^2 - 1} - 1\right) \geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (x + 10)\cdot\dfrac{x^4 + 2x^2 + 1}{x^2 - 1} \geqslant 0\,. \end{aligned}\]

\[x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 \geqslant 0,\] тогда

\[\begin{aligned} (x + 10)\cdot\dfrac{x^4 + 2x^2 + 1}{x^2 - 1} \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} \dfrac{x + 10}{x^2 - 1} \geqslant 0\\ x^2 + 1 = 0 \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

но на ОДЗ (при \(x > 1\), \(x\neq\sqrt{2}\)) у выражения \(\dfrac{x + 10}{x^2 - 1}\) числитель и знаменатель не обращаются в \(0\), тогда оно знакопостоянно при при \(x > 1\), \(x\neq\sqrt{2}\).

Так как \[\dfrac{x + 10}{x^2 - 1} > 0\qquad \text{при}\qquad x = 2,\] то у исходного неравенства множество решений совпадает с его ОДЗ.

Ответ:

\((1; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty)\)

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите все такие \(x\in\mathbb{R}\), которые являются решениями неравенства

\[\begin{aligned} N\cdot\log_{(1 + Nx)}3\cdot\log_3(1 + x)\geqslant 1 \end{aligned}\]

при любых \(N\in\mathbb{N}.\)

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} 1 + Nx > 0\\ 1 + Nx\neq 1 \qquad\text{— при любых}\ N\in\mathbb{N}\\ 1 + x > 0 \end{cases}\]

Покажем, что \(x < 0\) не подходят по ОДЗ:
зафиксируем произвольное \(x < 0\), тогда \(-x > 0\). Существует \(n\in\mathbb{N}\), такое что \[n > \dfrac{1}{-x}\,.\] Положим \(N = n\), тогда \[N > \dfrac{1}{-x}\qquad\Rightarrow\qquad -xN > 1\qquad\Rightarrow\qquad 1 + Nx < 0,\] что не подходит по ОДЗ. Таким образом, \(x\geqslant 0\).

Также по ОДЗ не подходит \(x = 0\), а \(x > 0\) подходят по ОДЗ, следовательно,
ОДЗ: \[x > 0\,.\] На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{\log_{3}(1 + Nx)}\cdot\log_3(1 + x)^N\geqslant 1 \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ \[1 + Nx > 1,\] то \(\log_{3}(1 + Nx) > 0\), следовательно,

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{\log_{3}(1 + Nx)}\cdot\log_3(1 + x)^N\geqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad\log_3(1 + x)^N\geqslant \log_{3}(1 + Nx)\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (1 + x)^N\geqslant (1 + Nx). \end{aligned}\]

Зафиксируем произвольный \(x > 0\).
Докажем по индукции, что данное неравенство выполнено для всех \(N\in\mathbb{N}\):

1) \(N = 1\): \[1 + x \geqslant 1 + x\] – верно.

2) Рассмотрим произвольное \(m\in\mathbb{N}\), такое что \((1 + x)^m\geqslant 1 + mx\), тогда \[(1 + x)^{m + 1} = (1 + x)\cdot(1 + x)^m\geqslant (1 + x)\cdot(1 + mx) = 1 + mx + x + mx^2\geqslant 1 + x(m + 1),\] таким образом, мы доказали, что рассматриваемый \(x\) подходит. Так как мы фиксировали произвольный \(x > 0\), то все \(x > 0\) являются решениями исходной задачи.

Ответ:

\((0; +\infty)\)