Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Неравенства, решаемые методом рационализации (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для показательной функции.
Если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \(a^{f(x)}-a^{g(x)}\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-g(x))\).

 

Пример.
Неравенство \((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)\leqslant0\) равносильно
неравенству \((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^{-2})(5x^2-9x-2)\leqslant 0\),
которое в свою очередь по методу рационализации можно переписать в виде \[(3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)\leqslant0\]

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации для логарифмической функции.
Так как у логарифмов уже появляются ограничения на ОДЗ, то данный метод работает только при выполнении условий ОДЗ для логарифмов! Следовательно, последовательность решения подобных неравенств такая:

 

1) находим ОДЗ неравенства;

 

2) решаем неравенство, как будто ОДЗ выполнено;

 

3) пересекаем полученный ответ с ОДЗ и получаем итоговый ответ.

 

Суть метода рационализации:
1) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \((\log_{a}f(x)-\log_{a}g(x))\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-g(x))\) (при условии выполнения ОДЗ!).
2) если левая часть неравенства представлена в виде произведения некоторых множителей, а справа стоит ноль, то множители вида \(\log_{a}f(x)\) можно заменить на произведение двух скобок: \((a-1)(f(x)-1)\) (при условии выполнения ОДЗ!).

 

Пример.
Неравенство \((3+x-2x^2)\log_{x+2}{(3x+5)}\geqslant 0\) с помощью метода рационализации можно переписать в виде: \[\begin{cases} (3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)\geqslant 0\\ x+2>0\qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\\ x+2\ne 1\qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\\ 3x+5>0 \qquad \qquad \text{(ОДЗ)}\end{cases}\]

Задание 15 #2319
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\left(9^{x^2+x-2}-\left(3^{x+2}+1\right)\cdot 3^{x^2+x-2}+3^{x+2}\right) \cdot \log_{x^2-3}{\left(3^{x^2+2x+2}-2\right)}\geqslant 0\]

Добавить задание в избранное

Рассмотрим первую скобку: \(\left(9^{x^2+x-2}-\left(3^{x+2}+1\right)\cdot 3^{x^2+x-2}+3^{x+2}\right)\).

 

Сделаем замену \(t=3^{x^2+x-2}\). Тогда данное выражение преобразуется к виду

\[t^2-\left(3^{x+2}+1\right)t+3^{x+2}=t^2-3^{x+2}t-t+3^{x+2}=t\left(t-3^{x+2}\right)- \left(t-3^{x+2}\right)=\left(t-3^{x+2}\right)\left(t-1\right)\]

Таким образом, данное выражение имеет вид:

\[\left(3^{x^2+x-2}-3^{x+2}\right)\left(3^{x^2+x-2}-1\right)\]

Тогда все неравенство примет вид:

\[\left(3^{x^2+x-2}-3^{x+2}\right)\left(3^{x^2+x-2}-1\right)\cdot \log_{x^2-3}{\left(3^{x^2+2x+2}-2\right)}\geqslant 0\]

1) Найдем ОДЗ левой части:

\[\begin{cases} x^2-3>0\\ x^2-3\ne 1\\[1ex] 3^{x^2+2x+2}-2>0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(\sqrt3;+\infty)\\ x\ne \pm 2\\ 3^{x^2+2x+2}>3^{\log_32} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\in(-\infty;-\sqrt3)\cup(\sqrt3;+\infty)\\ x\ne \pm 2\\ x^2+2x+2>\log_32 \end{cases}\]

Решим последнее неравенство отдельно:

\[x^2+2x+2>\log_32 \quad \Rightarrow \quad x^2+2x+1>\log_32-1 \quad \Rightarrow \quad (x+1)^2>\log_32-\log_33=\log_3{\frac23}\]

Заметим, что число \(\log_3{\frac23}<0\), следовательно, при любых \(x\) выражение \((x+1)^2\) будет больше отрицательного числа, то есть решением этого неравенства являются \(x\in \mathbb{R}\).

 

Таким образом, ОДЗ исходного неравенства: \(x\in (-\infty;-2)\cup(-2;-\sqrt3)\cup(\sqrt3;2)\cup(2;+\infty)\).

 

2) Перейдем к решению самого неравенства на ОДЗ.

 

Применим метод рационализации для первого множителя (скобки) и для второго множителя (логарифма):

\((x^2+x-2-0)(x^2+x-2-(x+2))\cdot (x^2-3-1)(3^{x^2+2x+2}-2-1)\geqslant 0\quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad (x^2+x-2)(x^2-4)\cdot (x^2-4)(x^2+2x+2-1)\geqslant 0\quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad (x-1)(x+2)(x+2)(x-2)\cdot (x-2)(x+2)(x+1)^2\geqslant 0 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad (x-1)(x+2)^3(x-2)^2(x+1)^2\geqslant 0\)

 

Решим данное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, нам подходят точки \(x\in (-\infty;-2]\cup\{-1\}\cup[1;+\infty)\).

 

3) Пересечем полученный ответ с ОДЗ и получим:

\[x\in (-\infty;-2)\cup(\sqrt3;2)\cup(2;+\infty).\]

Ответ:

\(x\in (-\infty;-2)\cup(\sqrt3;2)\cup(2;+\infty)\)

Задание 16 #1605
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x^2+x)\lg(2x^2+4x-4)}{|x+2|}\geqslant\dfrac{\lg(-2x^2-4x + 4)^2}{x+2}. \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} 2x^2+4x-4 > 0\\ x + 2 \neq 0\\ (-2x^2-4x + 4)^2 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -1-\sqrt{3})\cup(-1+\sqrt{3}; +\infty).\]

Так как \((-a)^2 = a^2\), то \((-2x^2-4x+4)^2 = (2x^2+4x-4)^2\).
Обозначим \[A = 2x^2+4x-4,\] тогда \[\dfrac{(x^2+x)\lg A}{|x+2|}\geqslant\dfrac{\lg A^2}{x+2}\] Рассмотрим 2 случая:
1) \(x + 2 > 0\Rightarrow |x + 2| = x + 2\).
\[\dfrac{(x^2+x)\lg A - 2\lg A}{x+2} \geqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(x^2+x-2)\lg A}{x+2} \geqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &\dfrac{(x^2+x-2)(10-1)(A-1)}{x+2} \geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2+x-2)(2x^2+4x-5)}{x+2} \geqslant 0\\ &\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(x - 1)(x + 2)\left(x + 1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)\left(x + 1 - \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)}{x+2} \geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left[-1 - \dfrac{\sqrt{14}}{2}; -2\right)\cup\left(-2; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\).
Пересечем с условием \(x + 2 > 0\): \(x \in\left(-2; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\)

2) \(x + 2 < 0\Rightarrow |x + 2| = -x - 2\).
\[\dfrac{-(x^2+x)\lg A - 2\lg A}{x+2} \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(x^2+x+2)\lg A}{x+2} \leqslant 0\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &\dfrac{(x^2+x+2)(10-1)(A-1)}{x+2} \leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2+x+2)(2x^2+4x-5)}{x+2} \leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2+x+2)\left(x + 1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)\left(x + 1 - \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right)}{x+2} \leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-2; -1+\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\).
Пересечем с условием \(x + 2 < 0\): \(x \in\left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\).
Объединенное решение двух случаев: \(x\in\left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-2; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in \left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-1+\sqrt{3}; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in \left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-1+\sqrt{3}; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\,.\]

Ответ:

\(\left(-\infty; -1-\dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup\left(-1+\sqrt{3}; -1 + \dfrac{\sqrt{14}}{2}\right]\cup[1; +\infty)\)

Задание 17 #1604
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{(x + 11)} (x^2 + 3) \geqslant -\dfrac{1}{\log_{x} \sqrt{x + 11}} + \dfrac{1}{\log_{(x^2 - 1)}(x + 11)} \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x + 11 > 0\\ x + 11\neq 1\\ x^2 + 3 > 0\\ x > 0\\ x\neq 1\\ \sqrt{x + 11} > 0\\ \sqrt{x + 11} \neq 1\\ x^2 - 1 > 0\\ x^2 - 1\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 1\\ x\neq\sqrt{2} \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 11)} (x^2 + 3) \geqslant -\log_{\sqrt{x + 11}}x + \log_{(x + 11)}(x^2 - 1)\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad\log_{(x + 11)} (x^2 + 3) - \log_{(x + 11)}(x^2 - 1) + \log_{\sqrt{x + 11}}x\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_{(x + 11)} \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 1} + \log_{\sqrt{x + 11}}x\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{(x + 11)} \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 1} + 2\log_{|x + 11|}x\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad\log_{(x + 11)} \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 1} + \log_{(x + 11)}x^2\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad\log_{(x + 11)} \dfrac{x^2(x^2 + 3)}{x^2 - 1}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 11)} \dfrac{x^2(x^2 + 3)}{x^2 - 1}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x + 11 - 1)\left(\dfrac{x^2(x^2 + 3)}{x^2 - 1} - 1\right) \geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (x + 10)\cdot\dfrac{x^4 + 2x^2 + 1}{x^2 - 1} \geqslant 0\,. \end{aligned}\]

\[x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 \geqslant 0,\] тогда

\[\begin{aligned} (x + 10)\cdot\dfrac{x^4 + 2x^2 + 1}{x^2 - 1} \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} \dfrac{x + 10}{x^2 - 1} \geqslant 0\\ x^2 + 1 = 0 \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

но на ОДЗ (при \(x > 1\), \(x\neq\sqrt{2}\)) у выражения \(\dfrac{x + 10}{x^2 - 1}\) числитель и знаменатель не обращаются в \(0\), тогда оно знакопостоянно при при \(x > 1\), \(x\neq\sqrt{2}\).

Так как \[\dfrac{x + 10}{x^2 - 1} > 0\qquad \text{при}\qquad x = 2,\] то у исходного неравенства множество решений совпадает с его ОДЗ.

Ответ:

\((1; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty)\)

Задание 18 #1606
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите все такие \(x\in\mathbb{R}\), которые являются решениями неравенства

\[\begin{aligned} N\cdot\log_{(1 + Nx)}3\cdot\log_3(1 + x)\geqslant 1 \end{aligned}\]

при любых \(N\in\mathbb{N}.\)

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} 1 + Nx > 0\\ 1 + Nx\neq 1 \qquad\text{— при любых}\ N\in\mathbb{N}\\ 1 + x > 0 \end{cases}\]

Покажем, что \(x < 0\) не подходят по ОДЗ:
зафиксируем произвольное \(x < 0\), тогда \(-x > 0\). Существует \(n\in\mathbb{N}\), такое что \[n > \dfrac{1}{-x}\,.\] Положим \(N = n\), тогда \[N > \dfrac{1}{-x}\qquad\Rightarrow\qquad -xN > 1\qquad\Rightarrow\qquad 1 + Nx < 0,\] что не подходит по ОДЗ. Таким образом, \(x\geqslant 0\).

Также по ОДЗ не подходит \(x = 0\), а \(x > 0\) подходят по ОДЗ, следовательно,
ОДЗ: \[x > 0\,.\] На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{\log_{3}(1 + Nx)}\cdot\log_3(1 + x)^N\geqslant 1 \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ \[1 + Nx > 1,\] то \(\log_{3}(1 + Nx) > 0\), следовательно,

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{\log_{3}(1 + Nx)}\cdot\log_3(1 + x)^N\geqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad\log_3(1 + x)^N\geqslant \log_{3}(1 + Nx)\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (1 + x)^N\geqslant (1 + Nx). \end{aligned}\]

Зафиксируем произвольный \(x > 0\).
Докажем по индукции, что данное неравенство выполнено для всех \(N\in\mathbb{N}\):

1) \(N = 1\): \[1 + x \geqslant 1 + x\] – верно.

2) Рассмотрим произвольное \(m\in\mathbb{N}\), такое что \((1 + x)^m\geqslant 1 + mx\), тогда \[(1 + x)^{m + 1} = (1 + x)\cdot(1 + x)^m\geqslant (1 + x)\cdot(1 + mx) = 1 + mx + x + mx^2\geqslant 1 + x(m + 1),\] таким образом, мы доказали, что рассматриваемый \(x\) подходит. Так как мы фиксировали произвольный \(x > 0\), то все \(x > 0\) являются решениями исходной задачи.

Ответ:

\((0; +\infty)\)

Задание 19 #3910
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[x\cdot \log_{\frac13}\left(4-3\cdot 3^{^\frac1x}\right)>1\]

Добавить задание в избранное

Найдем ОДЗ неравенства: \[\begin{aligned} &4-3\cdot 3^{^\frac1x}>0\quad\Leftrightarrow\quad 3^{^\frac1x}<\dfrac43 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad 3^{^\frac1x}<3^{\log_3\left(\frac43\right)} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1x<\log_3\dfrac43\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad \dfrac{1-x\cdot \log_3\frac43}x<0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x-\log_{\frac43}3}x>0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0)\cup\left(\log_{\frac43}3;+\infty\right)\end{aligned}\] Решим неравенство на ОДЗ. Его можно преобразовать так: \[x\cdot \left(-\log_3\left(4-3\cdot 3^{^\frac1x}\right)-\dfrac1x\right)>0 \quad\Leftrightarrow\quad x\cdot \left(\log_3\left(4-3\cdot 3^{^\frac1x}\right)+\log_3 3^{^\frac1x}\right)<0\] Так как \(\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)\), то \[x\cdot \log_3\left(4\cdot 3^{^\frac1x}-3\cdot \left(3^{^\frac1x}\right)^2\right)<0\] По методу рационализации на ОДЗ данное неравенство равносильно \[x\cdot (3-1)\cdot \left(4\cdot 3^{^\frac1x}-3\cdot \left(3^{^\frac1x}\right)^2-1\right)<0\quad\Leftrightarrow\quad x\cdot \left(4\cdot 3^{^\frac1x}-3\cdot \left(3^{^\frac1x}\right)^2-1\right)<0\] Найдем нули скобки. Сделаем замену \(3^{^\frac1x}=t\), тогда скобка примет вид \(4t-3t^2-1\). Чтобы найти ее нули, нужно решить уравнение \(4t-3t^2-1=0\). Его корни: \(t_1=1\), \(t_2=\frac13\). Следовательно, выражение \(4t-3t^2-1\) можно переписать в виде \(-3(t-1)\left(t-\frac13\right)\). Значит, наше неравенство примет вид \[x\cdot (-3)\cdot \left(3^{^\frac1x}-1\right)\cdot \left(3^{^\frac1x}-\dfrac13\right)<0\quad\Leftrightarrow\quad x\cdot \left(3^{^\frac1x}-3^0\right)\cdot \left(3^{^\frac1x}-3^{-1}\right)>0\] По методу рационализации данное неравенство преобразуется в неравенство \[x\cdot (3-1)\cdot \left(\dfrac1x-0\right)\cdot (3-1)\cdot \left(\dfrac1x-(-1)\right)>0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x(x+1)}{x^2}>0\] Решая полученное неравенство методом интервалов, получим ответ
\(x\in (-\infty;-1)\cup(0;+\infty)\).
Пересечем данный ответ с ОДЗ и получим итоговый ответ \[x\in (-\infty;-1)\cup\left(\log_{\frac43}3;+\infty\right)\]

Ответ:

\(x\in (-\infty;-1)\cup\left(\log_{\frac43}3;+\infty\right)\)

 

Задание 20 #3911
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{\log_5(x^2-6x-6)^2-\log_{11}(x^2-6x-6)^2}{4+x-3x^2}\geqslant 0\]

Добавить задание в избранное

Выпишем ОДЗ неравенства: \[\begin{aligned} &\begin{cases} (x^2-6x-6)^2>0\\ 4+x-3x^2\ne 0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^2-6x-6\ne 0\\3x^2-x-4\ne 0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad x\ne -1; \ 3-\sqrt{15}; \ \dfrac43; \ 3+\sqrt{15}\end{aligned}\] Будем далее решать неравенство на ОДЗ (то есть как будто оно выполнено, а в конце решения полученный ответ пересечем с ОДЗ).

 

Предлагается сделать следующее: воспользоваться формулой \(\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\), чтобы “перевернуть” логарифмы, тем самым у них станут одинаковые основания. НО! Данная формула верна только в том случае, когда \(b\ne 1\) (так как основание логарифма не может быть равно \(1\)).
Наше ОДЗ этого не учитывает. Следовательно, нужно рассмотреть два случая: когда “будущее” основание, то есть \((x^2-6x-6)^2\), равно \(1\), и когда не равно.

 

1) Пусть \((x^2-6x-6)^2=1\): \[\begin{aligned} &(x^2-6x-6)^2=1\quad\Leftrightarrow\quad x^2-6x-6=\pm 1\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad x=-1; \ 3-\sqrt{14}; \ 3+\sqrt{14}; \ 7\end{aligned}\] Сразу исключим значение \(x=-1\), так как оно не входит в ОДЗ.
При остальных трех значениях \(x\) числитель дроби нашего неравенства будет равен: \[\log_51-\log_{11}1=0-0=0\] Следовательно, вне зависимости от того, чему будет равен знаменатель (главное, чтобы не был равен нулю), вся дробь будет равна нулю. Так как нам нужно, чтобы эта дробь была больше или равна нулю, то данные три значения \(x=3-\sqrt{14}; \ 3+\sqrt{14}; \ 7\) нам подходят.
Следовательно, их нужно будет включить в окончательный ответ.

 

2) Пусть \((x^2-6x-6)^2\ne 1\). Следовательно, \(x\ne 3-\sqrt{14}; \ 3+\sqrt{14}; \ 7\).
Тогда можно воспользоваться формулой \(\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\): Можно применить метод рационализации для данного неравенства. Все множители вида \(\log_ab\) заменяются на \((a-1)(b-1)\); все множители вида \(\log_ab-\log_ac\) заменяются на \((a-1)(b-c)\): \[\begin{aligned} &\dfrac{((x^2-6x-6)^2-1)(11-5)} {(3x^2-x-4)((x^2-6x-6)^2-1)(5-1)((x^2-6x-6)^2-1)(11-1)}\leqslant 0\\[3ex] &\dfrac{(x^2-6x-6-1)(x^2-6x-6+1)}{(3x^2-x-4)(x^2-6x-6-1)^2(x^2-6x-6+1)^2}\leqslant 0\\[3ex] &\dfrac{(x+1)(x-7)(x-(3-\sqrt{14}))(x-(3+\sqrt{14}))} {(x+1)(3x-4)(x+1)^2(x-7)^2(x-(3-\sqrt{14}))^2(x-(3+\sqrt{14}))^2}\leqslant 0\end{aligned}\] Полученное неравенство можно решить методом интервалов:


Таким образом, ответ: \(x\in \left(3-\sqrt{14}; \frac43\right)\cup(3+\sqrt{14};7)\).

 

Теперь нужно объединить решения пунктов 1 и 2 и пересечь полученное множество с ОДЗ.
Получим окончательный ответ в неравенстве: \[x\in \left[3-\sqrt{14};\frac43\right)\cup [3+\sqrt{14};3+\sqrt{15})\cup(3+\sqrt{15};7]\]

Ответ:

\(\left[3-\sqrt{14};\frac43\right)\cup[3+\sqrt{14};3+\sqrt{15})\cup(3+\sqrt{15};7]\)