Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет (страница 2)

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{\log_3(81x)}{\log_3x-4}+\dfrac{\log_3x-4}{\log_3(81x)}\geqslant \dfrac{24-\log_3(x^8)}{\log_3^2x-16}\]

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

ОДЗ неравенства: \(x>0\). Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену \(\log_3x=t\). Тогда на ОДЗ \(\log_3(81x)=\log_3(81)+\log_3x=4+t\), \(\log_3(x^8)=8\log_3x=8t\) и неравенство примет вид: \[\dfrac{4+t}{t-4}+\dfrac{t-4}{4+t}\geqslant \dfrac{24-8t}{t^2-16} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2t^2+8t+8}{(t-4)(t+4)}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t+2)^2}{(t-4)(t+4)}\geqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:



Таким образом, решением будут \[t\in (-\infty;-4)\cup\{-2\}\cup(4;+\infty)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_3x<-4\\ &\log_3x=-2\\ &\log_3x>4 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x<\dfrac1{81}\\[1ex] &x=\dfrac19\\[1ex] &x>81 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Учитывая ОДЗ \(x>0\), получаем окончательный ответ \[x\in\left(0;\frac1{81}\right)\cup\{\frac19\}\cup(81;+\infty)\]

Ответ:

\(\left(0;\frac1{81}\right)\cup\{\frac19\}\cup(81;+\infty)\)

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\left(9^x-2\cdot 3^x\right)^2-62\cdot \left(9^x-2\cdot 3^x\right)-63 \geqslant 0\]

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна, резерв)

Добавить задание в избранное

ОДЗ неравенства: \(x\in\mathbb{R}\).

 

Сделаем замену: \(9^x-2\cdot 3^x=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-62t-63\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t+1)(t-63)\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t\leqslant -1\\ &t\geqslant 63 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Пусть \(3^x=z\), тогда \(t=z^2-2z\), следовательно, имеем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &z^2-2z\leqslant -1\\ &z^2-2z\geqslant 63 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(z-1)^2\leqslant 0\\ &(z-9)(z+7)\geqslant 0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &z=1\\ &z\geqslant 9\\ &z\leqslant -7 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^x=1\\ &3^x\geqslant 9\\ &3^x\leqslant -7 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\ &x\geqslant 2\\ &x\in \varnothing \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Тогда итоговый ответ: \[x\in \{0\}\cup [2;+\infty)\]

Ответ:

\(\{0\}\cup[2;+\infty)\)

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_2^2{(25-x^2)}-7\log_2{(25-x^2)}+12\geqslant 0\]

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену: \(\log_2{(25-x^2)}=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-7t+12\geqslant 0\] Корнями уравнения \(t^2-7t+12=0\) являются числа \(3\) и \(4\). Следовательно, неравенство равносильно \[(t-3)(t-4)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t\leqslant 3\\ &t\geqslant 4 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Сделаем обратную замену.
Неравенство \[\log_2{(25-x^2)}\leqslant 3 \quad\Leftrightarrow\quad \log_2{(25-x^2)}\leqslant \log_28 \quad\Leftrightarrow\quad 0<25-x^2\leqslant 8\] Решением неравенства \(25-x^2>0\) является \(x\in (-5;5)\). Решением неравенства \(25-x^2\leqslant 8\) является \(x\in (-\infty;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};+\infty)\). Пересекая эти решения, получим \(x\in (-5;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};5)\).

 

Неравенство \[\log_2{(25-x^2)} \geqslant 4\quad\Leftrightarrow\quad \log_2{(25-x^2)}\geqslant \log_2{16} \quad\Leftrightarrow\quad 25-x^2\geqslant 16 \quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;3]\]

Таким образом, решением исходного неравенства является объединение решений \(x\in (-5;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};5)\) и \(x\in [-3;3]\), то есть \[x\in (-5;-\sqrt{17}]\cup[-3;3]\cup[\sqrt{17};5).\]

Ответ:

\((-5;-\sqrt{17}]\cup[-3;3]\cup[\sqrt{17};5)\)

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 2^x + \dfrac{2^{x + 2}}{2^x - 4} + \dfrac{4^x + 7\cdot 2^x + 20}{4^x - 3\cdot 2^{x + 2} + 32}\leqslant 1 \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2016, резервный день)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену \(2^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} t + \dfrac{4t}{t - 4} + \dfrac{t^2 + 7t + 20}{t^2 - 12t + 32}\leqslant 1 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} t - 4\neq 0\\ t^2 - 12t + 32\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} t\neq 4\\ t\neq 8 \end{cases} \end{aligned}\]

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

\[\begin{aligned} \dfrac{t^3 - 8t^2 + 19t - 12}{t^2 - 12t + 32}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Разложим числитель левой части последнего неравенства на множители. Можно угадать его корень \(t = 1\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(t - t_0\), где \(t_0\) – корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} t^3-8t^2+19t-12&&\negthickspace\underline{\qquad t-1 \qquad}\\ \underline{t^3-\ \, t^2\,} \phantom{000000000}&&\negthickspace \quad t^2 - 7t + 12\\[-3pt] -7t^2 + 19t\phantom{0000}&&\\ \underline{-7t^2 +\ 7t}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 12t - 12\! &&\\ \underline{12t - 12\! }&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] тогда последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{(t - 1)(t - 3)(t - 4)}{(t - 4)(t - 8)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда \(t\in (-\infty; 1]\cup [3; 4)\cup(4; 8)\)
с учётом ОДЗ и условия \(t > 0\): \(t\in (0; 1]\cup [3; 4)\cup(4; 8)\)
в исходных переменных: \[x\in(-\infty; 0]\cup[\log_2 3 ; 2)\cup(2; 3).\]

Ответ:

\((-\infty; 0]\cup[\log_2 3 ; 2)\cup(2; 3)\)

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{9^x - 3^{x + 1} - 19}{3^x - 6} + \dfrac{9^{x + 1} - 3^{x + 4} + 2}{3^x - 9}\leqslant 10\cdot 3^x + 3 \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2016, резервный день)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену \(3^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} \dfrac{t^2 - 3t - 19}{t - 6} + \dfrac{9t^2 - 81t + 2}{t - 9}\leqslant 10t + 3 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} t\neq 6\\ t\neq 9 \end{cases} \end{aligned}\]

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

\[\begin{aligned} \dfrac{t - 3}{(t - 9)(t - 6)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда \(t\in(-\infty; 3]\cup(6; 9)\)
с учётом ОДЗ и условия \(t > 0\): \(t\in(0; 3]\cup(6; 9)\)
в исходных переменных: \[x\in(-\infty; 1]\cup(\log_3 6; 2).\]

Ответ:

\((-\infty; 1]\cup(\log_3 6; 2)\)

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 2\log_{(x^2 - 8x + 17)^2}(3x^2 + 5)\leqslant \log_{x^2 - 8x + 17}(2x^2 + 7x + 5) \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2016, основная волна)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} (x^2 - 8x + 17)^2 > 0\\ (x^2 - 8x + 17)^2 \neq 1\\ 3x^2 + 5 > 0\\ x^2 - 8x + 17 > 0\\ x^2 - 8x + 17 \neq 1\\ 2x^2 + 7x + 5 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in(-\infty; -2,5)\cup(-1; 4)\cup(4; +\infty) \end{aligned}\]

Заметим, что \[x^2 - 8x + 17 = (x - 4)^2 + 1\geqslant 1,\] причём на ОДЗ выполнено \((x - 4)^2 + 1 > 1\), тогда

\[\begin{aligned} &2\log_{(x^2 - 8x + 17)^2}(3x^2 + 5)\leqslant \log_{x^2 - 8x + 17}(2x^2 + 7x + 5)\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &\log_{x^2 - 8x + 17}(3x^2 + 5)\leqslant \log_{x^2 - 8x + 17}(2x^2 + 7x + 5)\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &3x^2 + 5\leqslant 2x^2 + 7x + 5\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 7x \leqslant 0, \end{aligned}\]

откуда \(x\in[0; 7]\)
пересечём ответ с ОДЗ: \[x\in[0; 4)\cup(4; 7]\] – итоговый ответ к задаче.

Ответ:

\([0; 4)\cup(4; 7]\)

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 8^x - 3\cdot 4^x + \dfrac{9\cdot 4^x - 288}{2^x - 9}\leqslant 32 \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2016, основная волна)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену \(2^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} t^3 - 3t^2 + \dfrac{9t^2 - 288}{t - 9}\leqslant 32 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} t\neq 9 \end{aligned}\]

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

\[\begin{aligned} \dfrac{t^4 - 12t^3 + 36t^2 - 32t}{t - 9}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t\cdot\dfrac{t^3 - 12t^2 + 36t - 32}{t - 9}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Разложим многочлен третьей степени в числителе левой части последнего неравенства на множители. Можно угадать его корень \(t = 2\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(t - t_0\), где \(t_0\) – корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} t^3-12t^2+36t-32&&\negthickspace\underline{\qquad t-2 \qquad}\\ \underline{t^3-\ \, 2t^2} \phantom{0000000000}&&\negthickspace \ t^2 - 10t + 16\\[-3pt] -10t^2 + 36t\,\phantom{0000}&&\\ \underline{-10t^2 + 20t\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 16t - 32\! &&\\ \underline{16t - 32\! }&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] тогда последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{t(t - 2)^2(t - 8)}{t - 9}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда \(t\in(-\infty; 0]\cup\{2\}\cup[8; 9)\)
с учётом ОДЗ и условия \(t > 0\): \(t\in\{2\}\cup[8; 9)\)
в исходных переменных: \[x\in\{1\}\cup[3; \log_2 9)\]

Ответ:

\(\{1\}\cup[3; \log_2 9)\)

1 2 3 .... 6