Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет (страница 2)

Задание 8 #3282
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{8^{x+1}-40}{2\cdot 64^x-32}\leqslant 1\]

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Сделаем замену: \(8^x=t\). Тогда: \[\dfrac{8t-40}{2t^2-32}\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{4t-20}{t^2-16}-1\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-4t+4}{t^2-16}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-2)^2}{(t-4)(t+4)}\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получаем: \[t\in (-\infty;-4)\cup\{2\}\cup(4;+\infty)\] Следовательно:
\(\bullet\) \(8^x<-4\) — данное неравенство не имеет решений (так как \(8^x>0\) при всех \(x\))

\(\bullet\) \(8^x=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac13\)   \(\bullet\) \(8^x>4\quad\Rightarrow\quad x>\dfrac23\)

Ответ:

\(\left\{\frac13\right\}\cup \left(\frac23;+\infty\right)\)

Задание 9 #3213
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{2^x}{2^x-8}+\dfrac{2^x+8}{2^x-4} +\dfrac{66}{4^x-12\cdot 2^x+32}\leqslant 0\]

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Сделаем замену \(2^x=t\), тогда неравенство примет вид \[\begin{aligned} &\dfrac{t}{t-8}+\dfrac{t+8}{t-4}+\dfrac{66}{t^2-12t+32}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t(t-4)+(t^2-8^2)+66}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad \dfrac{2t^2-4t+2}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t-1)^2}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \end{aligned}\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t=1\\ &4<t<8 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^x=1\\ &4<2^x<8 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\ &2<x<3 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Тогда ответ: \[x\in \{0\}\cup(2;3)\]

Ответ:

\(\{0\}\cup(2;3)\)

Задание 10 #3261
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{\log_2(4x^2)+35}{\log^2_2x-36}\geqslant -1\]

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

ОДЗ логарифмов: \(x>0\). Сделаем замену \(\log_2x=t\). Тогда на ОДЗ \(\log_2(4x^2)=\log_24+\log_2x^2=2+2\log_2x=2+2t\). Тогда неравенство примет вид: \[\dfrac{2+2t+35}{t^2-36}\geqslant -1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2+2t+1}{(t-6)(t+6)}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t+1)^2}{(t-6)(t+6)}\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ \[t\in (-\infty;-6)\cup\{-1\}\cup(6;+\infty)\] Перейдем к старой переменной:   \(\bullet\) \(\log_2x<-6\quad\Rightarrow\quad x<2^{-6}\)   \(\bullet\) \(\log_2x=-1\quad\Rightarrow\quad x=2^{-1}\)   \(\bullet\) \(\log_2x>6\quad\Rightarrow\quad x>2^6\)   Окончательный ответ, учитывая ОДЗ: \[x\in \left(0;\dfrac1{64}\right)\cup\left\{\dfrac12\right\}\cup\left(64;+\infty\right)\]

Ответ:

\(\left(0;\frac1{64}\right)\cup\{\frac12\}\cup(64;+\infty)\)

Задание 11 #3212
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{\log_3(81x)}{\log_3x-4}+\dfrac{\log_3x-4}{\log_3(81x)}\geqslant \dfrac{24-\log_3(x^8)}{\log_3^2x-16}\]

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

ОДЗ неравенства: \(x>0\). Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену \(\log_3x=t\). Тогда на ОДЗ \(\log_3(81x)=\log_3(81)+\log_3x=4+t\), \(\log_3(x^8)=8\log_3x=8t\) и неравенство примет вид: \[\dfrac{4+t}{t-4}+\dfrac{t-4}{4+t}\geqslant \dfrac{24-8t}{t^2-16} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2t^2+8t+8}{(t-4)(t+4)}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t+2)^2}{(t-4)(t+4)}\geqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:



Таким образом, решением будут \[t\in (-\infty;-4)\cup\{-2\}\cup(4;+\infty)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_3x<-4\\ &\log_3x=-2\\ &\log_3x>4 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x<\dfrac1{81}\\[1ex] &x=\dfrac19\\[1ex] &x>81 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Учитывая ОДЗ \(x>0\), получаем окончательный ответ \[x\in\left(0;\frac1{81}\right)\cup\{\frac19\}\cup(81;+\infty)\]

Ответ:

\(\left(0;\frac1{81}\right)\cup\{\frac19\}\cup(81;+\infty)\)

Задание 12 #3225
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\left(9^x-2\cdot 3^x\right)^2-62\cdot \left(9^x-2\cdot 3^x\right)-63 \geqslant 0\]

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна, резерв)

ОДЗ неравенства: \(x\in\mathbb{R}\).

 

Сделаем замену: \(9^x-2\cdot 3^x=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-62t-63\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t+1)(t-63)\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t\leqslant -1\\ &t\geqslant 63 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Пусть \(3^x=z\), тогда \(t=z^2-2z\), следовательно, имеем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &z^2-2z\leqslant -1\\ &z^2-2z\geqslant 63 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(z-1)^2\leqslant 0\\ &(z-9)(z+7)\geqslant 0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &z=1\\ &z\geqslant 9\\ &z\leqslant -7 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^x=1\\ &3^x\geqslant 9\\ &3^x\leqslant -7 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\ &x\geqslant 2\\ &x\in \varnothing \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Тогда итоговый ответ: \[x\in \{0\}\cup [2;+\infty)\]

Ответ:

\(\{0\}\cup[2;+\infty)\)

Задание 13 #2970
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_2^2{(25-x^2)}-7\log_2{(25-x^2)}+12\geqslant 0\]

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна)

Сделаем замену: \(\log_2{(25-x^2)}=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-7t+12\geqslant 0\] Корнями уравнения \(t^2-7t+12=0\) являются числа \(3\) и \(4\). Следовательно, неравенство равносильно \[(t-3)(t-4)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t\leqslant 3\\ &t\geqslant 4 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Сделаем обратную замену.
Неравенство \[\log_2{(25-x^2)}\leqslant 3 \quad\Leftrightarrow\quad \log_2{(25-x^2)}\leqslant \log_28 \quad\Leftrightarrow\quad 0<25-x^2\leqslant 8\] Решением неравенства \(25-x^2>0\) является \(x\in (-5;5)\). Решением неравенства \(25-x^2\leqslant 8\) является \(x\in (-\infty;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};+\infty)\). Пересекая эти решения, получим \(x\in (-5;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};5)\).

 

Неравенство \[\log_2{(25-x^2)} \geqslant 4\quad\Leftrightarrow\quad \log_2{(25-x^2)}\geqslant \log_2{16} \quad\Leftrightarrow\quad 25-x^2\geqslant 16 \quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;3]\]

Таким образом, решением исходного неравенства является объединение решений \(x\in (-5;-\sqrt{17}]\cup[\sqrt{17};5)\) и \(x\in [-3;3]\), то есть \[x\in (-5;-\sqrt{17}]\cup[-3;3]\cup[\sqrt{17};5).\]

Ответ:

\((-5;-\sqrt{17}]\cup[-3;3]\cup[\sqrt{17};5)\)

Задание 14 #1818
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 2^x + \dfrac{2^{x + 2}}{2^x - 4} + \dfrac{4^x + 7\cdot 2^x + 20}{4^x - 3\cdot 2^{x + 2} + 32}\leqslant 1 \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2016, резервный день)

Сделаем замену \(2^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} t + \dfrac{4t}{t - 4} + \dfrac{t^2 + 7t + 20}{t^2 - 12t + 32}\leqslant 1 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} t - 4\neq 0\\ t^2 - 12t + 32\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} t\neq 4\\ t\neq 8 \end{cases} \end{aligned}\]

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

\[\begin{aligned} \dfrac{t^3 - 8t^2 + 19t - 12}{t^2 - 12t + 32}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Разложим числитель левой части последнего неравенства на множители. Можно угадать его корень \(t = 1\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(t - t_0\), где \(t_0\) – корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} t^3-8t^2+19t-12&&\negthickspace\underline{\qquad t-1 \qquad}\\ \underline{t^3-\ \, t^2\,} \phantom{000000000}&&\negthickspace \quad t^2 - 7t + 12\\[-3pt] -7t^2 + 19t\phantom{0000}&&\\ \underline{-7t^2 +\ 7t}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 12t - 12\! &&\\ \underline{12t - 12\! }&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] тогда последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{(t - 1)(t - 3)(t - 4)}{(t - 4)(t - 8)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда \(t\in (-\infty; 1]\cup [3; 4)\cup(4; 8)\)
с учётом ОДЗ и условия \(t > 0\): \(t\in (0; 1]\cup [3; 4)\cup(4; 8)\)
в исходных переменных: \[x\in(-\infty; 0]\cup[\log_2 3 ; 2)\cup(2; 3).\]

Ответ:

\((-\infty; 0]\cup[\log_2 3 ; 2)\cup(2; 3)\)