Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет (страница 3)

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{25^x - 5^{x + 2} + 26}{5^x - 1} + \dfrac{25^x - 7\cdot 5^x + 1}{5^x - 7}\leqslant 2\cdot 5^x - 24 \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2016, основная волна)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену \(5^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} \dfrac{t^2 - 25t + 26}{t - 1} + \dfrac{t^2 - 7t + 1}{t - 7}\leqslant 2t - 24 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} t\neq 1\\ t\neq 7 \end{cases} \end{aligned}\]

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

\[\begin{aligned} \dfrac{3t - 15}{(t - 1)(t - 7)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда \(t\in(-\infty; 1)\cup[5; 7)\)
с учётом ОДЗ и условия \(t > 0\): \(t\in(0; 1)\cup[5; 7)\)
в исходных переменных: \[x\in(-\infty; 0)\cup[1;\log_5 7).\]

Ответ:

\((-\infty; 0)\cup[1;\log_5 7)\)

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} (4x - 7)\cdot\log_{x^2 - 4x + 5}(3x - 5)\geqslant 0 \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2016, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^2 - 4x + 5 > 0\\ x^2 - 4x + 5 \neq 1\\ 3x - 5 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in\left(\dfrac{5}{3}; 2\right)\cup(2; +\infty) \end{aligned}\]

По методу рационализации на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &(4x - 7)(x^2 - 4x + 5 - 1)(3x - 5 - 1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\quad & (4x - 7)(x^2 - 4x + 4)(3x - 6)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (4x - 7)(x - 2)^3\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда с учётом ОДЗ: \[x\in \left(\dfrac{5}{3}; \dfrac{7}{4}\right]\cup(2; +\infty)\,.\]

Ответ:

\(\left(\dfrac{5}{3}; \dfrac{7}{4}\right]\cup(2; +\infty)\)

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{5\lg^2x-1}{\lg^2x-1}\geqslant 1. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2015, резервный день)

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[x > 0.\] Сделаем замену \(y = \lg x\), тогда \[\dfrac{5y^2-1}{y^2-1}\geqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{5y^2-1 - (y^2 - 1)}{y^2-1}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{4y^2}{y^2-1}\geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; -1)\cup\{0\}\cup(1; +\infty)\).
\(\lg x \in (-\infty; -1)\cup\{0\}\cup(1; +\infty)\), что можно представить в виде
\[\lg x < -1\qquad\text{или}\qquad\lg x = 0\qquad\text{или}\qquad\lg x > 1.\]

Решим первое неравенство: \[\lg x < -1.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[x < 0,1.\]

Решим второе уравнение: \[\lg x = 0.\] Это уравнение на ОДЗ равносильно: \[x = 1.\]

Решим третье неравенство: \[\lg x > 1.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно:
\[x > 10.\] Объединенное решение двух неравенств и уравнения: \(x\in(-\infty; 0,1)\cup\{1\}\cup(10; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in (0; 0,1)\cup\{1\}\cup(10; +\infty).\]

Ответ:

\((0; 0,1)\cup\{1\}\cup(10; +\infty)\)

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log^2_{5}(25 - x^2) - 3\log_{5}(25 - x^2) + 2\geqslant 0. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2015)

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[25 - x^2 > 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in (-5; 5).\] Сделаем замену \(y = \log_5(25 - x^2)\), тогда \[y^2 -3y + 2\geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)\).
\(\log_5(25 - x^2) \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)\), что можно представить в виде
\(\log_5(25 - x^2) \leqslant 1\) или \(\log_5(25 - x^2)\geqslant 2\).

Решим первое из этих неравенств: \[\log_5(25 - x^2) \leqslant 1.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[25 - x^2 \leqslant 5\quad\Leftrightarrow\quad x^2 \geqslant 20\quad\Leftrightarrow\quad x\in(-\infty; -2\sqrt{5}]\cup[2\sqrt{5}; +\infty).\]

Решим второе из этих неравенств: \[\log_5(25 - x^2) \geqslant 2.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[25 - x^2 \geqslant 25\quad\Leftrightarrow\quad x^2 \leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x = 0.\]

Объединенное решение двух неравенств: \(x\in(-\infty; -2\sqrt{5}]\cup\{0\}\cup[2\sqrt{5}; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in(-5; -2\sqrt{5}]\cup\{0\}\cup[2\sqrt{5}; 5).\]

Ответ:

\(x\in(-5; -2\sqrt{5}]\cup\{0\}\cup[2\sqrt{5}; 5)\)

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{4}^2(64 - x^2) - 5\log_{4}(64 - x^2) + 6 \geqslant 0. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2015)

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[64 - x^2 > 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in (-8; 8).\] Сделаем замену \(y = \log_4(64 - x^2)\), тогда \[y^2 -5y + 6\geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)\).
\(\log_4(64 - x^2) \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)\), что можно представить в виде
\(\log_4(64 - x^2) \leqslant 2\) или \(\log_4(64 - x^2)\geqslant 3\).

Решим первое из этих неравенств: \[\log_4(64 - x^2) \leqslant 2.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[64 - x^2 \leqslant 16\quad\Leftrightarrow\quad x^2 \geqslant 48\quad\Leftrightarrow\quad x\in(-\infty; -4\sqrt{3}]\cup[4\sqrt{3}; +\infty)\]

Решим второе из этих неравенств: \[\log_4(64 - x^2) \geqslant 3.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[64 - x^2 \geqslant 64\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\] Объединенное решение двух неравенств: \(x\in(-\infty; -4\sqrt{3}]\cup\{0\}\cup[4\sqrt{3}; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in(-8; -4\sqrt{3}]\cup\{0\}\cup[4\sqrt{3}; 8).\]

Ответ:

\(x\in(-8; -4\sqrt{3}]\cup\{0\}\cup[4\sqrt{3}; 8)\)

Задание 20
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log^2_{2}(4+3x-x^2)+7\log_{0,5}(4+3x-x^2)+10>0. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2015)

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[4 + 3x - x^2 > 0.\] При помощи метода интервалов находим, что ОДЗ: \[x\in (-1; 4).\] По свойству логарифма \[\log^2_{2}(4+3x-x^2)-7\log_{2}(4+3x-x^2)+10>0.\] Сделаем замену \(y = \log_{2}(4+3x-x^2)\), тогда \[y^2 -7y + 10 > 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty)\).
\(\log_{2}(4+3x-x^2) \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty)\), что можно представить в виде
\(\log_{2}(4+3x-x^2) < 2\) или \(\log_{2}(4+3x-x^2) > 5\).

Решим первое из этих неравенств: \[\log_{2}(4+3x-x^2) < 2.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[4+3x-x^2 < 4\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 3x > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\in(-\infty; 0)\cup(3; +\infty).\]

Решим второе из этих неравенств: \[\log_{2}(4+3x-x^2) > 5\ \,\Leftrightarrow\ \, 4+3x-x^2 > 32\ \,\Leftrightarrow\ \, x^2 - 3x + 28 < 0\ \,\Leftrightarrow\ \, x \in \varnothing.\] Объединенное решение двух неравенств: \(x\in(-\infty; 0)\cup(3; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in(-1; 0)\cup(3; 4).\]

Ответ:

\(x\in(-1; 0)\cup(3; 4)\)

Задание 21
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_3\left(\dfrac{x^2}4-\dfrac{16}{x^2}\right)\leqslant 1\\[2ex] \dfrac{2x^2+x-28}{(x-6)^2+(x-5)^3-1}\leqslant 0 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2014, вторая волна, резервный день)

Добавить задание в избранное

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{aligned} &\dfrac{x^2}4-\dfrac{16}{x^2}>0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^4-64}{4x^2}>0 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &\dfrac{(x-2\sqrt2)(x+2\sqrt2)(x^2+8)}{x^2}>0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)\end{aligned}\]

На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\begin{aligned} &\dfrac{x^2}4-\dfrac{16}{x^2}\leqslant 3\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^4-12x^2-64}{4x^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2+4)(x^2-16)}{4x^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{(x^2+4)(x-4)(x+4)}{4x^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-4;0)\cup(0;4] \end{aligned}\]

Пересекая полученное решение с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \(x\in [-4;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;4].\)

 

2) Второе неравенство.
По формуле разности кубов \((x-5)^3-1=(x-5-1)((x-5)^2+x-5+1)=(x-6)(x^2-9x+21)\). Следовательно, знаменатель можно разложить на множители \((x-6)^2+(x-6)(x^2-9x+21)=(x-6)(x^2-8x+15)=(x-6)(x-3)(x-5)\).

 

Тогда все неравенство, разложив и числитель на множители, можно переписать в виде \[\dfrac{(2x-7)(x+4)}{(x-6)(x-3)(x-5)}\leqslant 0\] Решив полученное неравенство методом интервалов, получим \[x\in (-\infty;-4]\cup\left(3;\frac72\right]\cup(5;6).\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим \(x\in \{-4\}\cup\left(3;\frac72\right]\)

Ответ:

\(\{-4\}\cup\left(3;\frac72\right]\)

1 2 3 4 .... 6