Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет (страница 3)

Задание 15 #1820
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 2\log_{(x^2 - 8x + 17)^2}(3x^2 + 5)\leqslant \log_{x^2 - 8x + 17}(2x^2 + 7x + 5) \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2016, основная волна)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} (x^2 - 8x + 17)^2 > 0\\ (x^2 - 8x + 17)^2 \neq 1\\ 3x^2 + 5 > 0\\ x^2 - 8x + 17 > 0\\ x^2 - 8x + 17 \neq 1\\ 2x^2 + 7x + 5 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in(-\infty; -2,5)\cup(-1; 4)\cup(4; +\infty) \end{aligned}\]

Заметим, что \[x^2 - 8x + 17 = (x - 4)^2 + 1\geqslant 1,\] причём на ОДЗ выполнено \((x - 4)^2 + 1 > 1\), тогда

\[\begin{aligned} &2\log_{(x^2 - 8x + 17)^2}(3x^2 + 5)\leqslant \log_{x^2 - 8x + 17}(2x^2 + 7x + 5)\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &\log_{x^2 - 8x + 17}(3x^2 + 5)\leqslant \log_{x^2 - 8x + 17}(2x^2 + 7x + 5)\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &3x^2 + 5\leqslant 2x^2 + 7x + 5\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 7x \leqslant 0, \end{aligned}\]

откуда \(x\in[0; 7]\)
пересечём ответ с ОДЗ: \[x\in[0; 4)\cup(4; 7]\] – итоговый ответ к задаче.

Ответ:

\([0; 4)\cup(4; 7]\)

Задание 16 #2830
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 8^x - 3\cdot 4^x + \dfrac{9\cdot 4^x - 288}{2^x - 9}\leqslant 32 \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2016, основная волна)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену \(2^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} t^3 - 3t^2 + \dfrac{9t^2 - 288}{t - 9}\leqslant 32 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} t\neq 9 \end{aligned}\]

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

\[\begin{aligned} \dfrac{t^4 - 12t^3 + 36t^2 - 32t}{t - 9}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t\cdot\dfrac{t^3 - 12t^2 + 36t - 32}{t - 9}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Разложим многочлен третьей степени в числителе левой части последнего неравенства на множители. Можно угадать его корень \(t = 2\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(t - t_0\), где \(t_0\) – корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} t^3-12t^2+36t-32&&\negthickspace\underline{\qquad t-2 \qquad}\\ \underline{t^3-\ \, 2t^2} \phantom{0000000000}&&\negthickspace \ t^2 - 10t + 16\\[-3pt] -10t^2 + 36t\,\phantom{0000}&&\\ \underline{-10t^2 + 20t\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 16t - 32\! &&\\ \underline{16t - 32\! }&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] тогда последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{t(t - 2)^2(t - 8)}{t - 9}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда \(t\in(-\infty; 0]\cup\{2\}\cup[8; 9)\)
с учётом ОДЗ и условия \(t > 0\): \(t\in\{2\}\cup[8; 9)\)
в исходных переменных: \[x\in\{1\}\cup[3; \log_2 9)\]

Ответ:

\(\{1\}\cup[3; \log_2 9)\)

Задание 17 #1822
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{25^x - 5^{x + 2} + 26}{5^x - 1} + \dfrac{25^x - 7\cdot 5^x + 1}{5^x - 7}\leqslant 2\cdot 5^x - 24 \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2016, основная волна)

Добавить задание в избранное

Сделаем замену \(5^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} \dfrac{t^2 - 25t + 26}{t - 1} + \dfrac{t^2 - 7t + 1}{t - 7}\leqslant 2t - 24 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} t\neq 1\\ t\neq 7 \end{cases} \end{aligned}\]

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

\[\begin{aligned} \dfrac{3t - 15}{(t - 1)(t - 7)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда \(t\in(-\infty; 1)\cup[5; 7)\)
с учётом ОДЗ и условия \(t > 0\): \(t\in(0; 1)\cup[5; 7)\)
в исходных переменных: \[x\in(-\infty; 0)\cup[1;\log_5 7).\]

Ответ:

\((-\infty; 0)\cup[1;\log_5 7)\)

Задание 18 #1817
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} (4x - 7)\cdot\log_{x^2 - 4x + 5}(3x - 5)\geqslant 0 \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2016, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^2 - 4x + 5 > 0\\ x^2 - 4x + 5 \neq 1\\ 3x - 5 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in\left(\dfrac{5}{3}; 2\right)\cup(2; +\infty) \end{aligned}\]

По методу рационализации на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &(4x - 7)(x^2 - 4x + 5 - 1)(3x - 5 - 1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\quad & (4x - 7)(x^2 - 4x + 4)(3x - 6)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (4x - 7)(x - 2)^3\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда с учётом ОДЗ: \[x\in \left(\dfrac{5}{3}; \dfrac{7}{4}\right]\cup(2; +\infty)\,.\]

Ответ:

\(\left(\dfrac{5}{3}; \dfrac{7}{4}\right]\cup(2; +\infty)\)

Задание 19 #1630
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{5\lg^2x-1}{\lg^2x-1}\geqslant 1. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2015, резервный день)

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[x > 0.\] Сделаем замену \(y = \lg x\), тогда \[\dfrac{5y^2-1}{y^2-1}\geqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{5y^2-1 - (y^2 - 1)}{y^2-1}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{4y^2}{y^2-1}\geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; -1)\cup\{0\}\cup(1; +\infty)\).
\(\lg x \in (-\infty; -1)\cup\{0\}\cup(1; +\infty)\), что можно представить в виде
\[\lg x < -1\qquad\text{или}\qquad\lg x = 0\qquad\text{или}\qquad\lg x > 1.\]

Решим первое неравенство: \[\lg x < -1.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[x < 0,1.\]

Решим второе уравнение: \[\lg x = 0.\] Это уравнение на ОДЗ равносильно: \[x = 1.\]

Решим третье неравенство: \[\lg x > 1.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно:
\[x > 10.\] Объединенное решение двух неравенств и уравнения: \(x\in(-\infty; 0,1)\cup\{1\}\cup(10; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in (0; 0,1)\cup\{1\}\cup(10; +\infty).\]

Ответ:

\((0; 0,1)\cup\{1\}\cup(10; +\infty)\)

Задание 20 #1628
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log^2_{5}(25 - x^2) - 3\log_{5}(25 - x^2) + 2\geqslant 0. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2015)

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[25 - x^2 > 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in (-5; 5).\] Сделаем замену \(y = \log_5(25 - x^2)\), тогда \[y^2 -3y + 2\geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)\).
\(\log_5(25 - x^2) \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)\), что можно представить в виде
\(\log_5(25 - x^2) \leqslant 1\) или \(\log_5(25 - x^2)\geqslant 2\).

Решим первое из этих неравенств: \[\log_5(25 - x^2) \leqslant 1.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[25 - x^2 \leqslant 5\quad\Leftrightarrow\quad x^2 \geqslant 20\quad\Leftrightarrow\quad x\in(-\infty; -2\sqrt{5}]\cup[2\sqrt{5}; +\infty).\]

Решим второе из этих неравенств: \[\log_5(25 - x^2) \geqslant 2.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[25 - x^2 \geqslant 25\quad\Leftrightarrow\quad x^2 \leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x = 0.\]

Объединенное решение двух неравенств: \(x\in(-\infty; -2\sqrt{5}]\cup\{0\}\cup[2\sqrt{5}; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in(-5; -2\sqrt{5}]\cup\{0\}\cup[2\sqrt{5}; 5).\]

Ответ:

\(x\in(-5; -2\sqrt{5}]\cup\{0\}\cup[2\sqrt{5}; 5)\)

Задание 21 #1629
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{4}^2(64 - x^2) - 5\log_{4}(64 - x^2) + 6 \geqslant 0. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2015)

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[64 - x^2 > 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in (-8; 8).\] Сделаем замену \(y = \log_4(64 - x^2)\), тогда \[y^2 -5y + 6\geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов:



откуда \(y \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)\).
\(\log_4(64 - x^2) \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)\), что можно представить в виде
\(\log_4(64 - x^2) \leqslant 2\) или \(\log_4(64 - x^2)\geqslant 3\).

Решим первое из этих неравенств: \[\log_4(64 - x^2) \leqslant 2.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[64 - x^2 \leqslant 16\quad\Leftrightarrow\quad x^2 \geqslant 48\quad\Leftrightarrow\quad x\in(-\infty; -4\sqrt{3}]\cup[4\sqrt{3}; +\infty)\]

Решим второе из этих неравенств: \[\log_4(64 - x^2) \geqslant 3.\] Это неравенство на ОДЗ равносильно: \[64 - x^2 \geqslant 64\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\] Объединенное решение двух неравенств: \(x\in(-\infty; -4\sqrt{3}]\cup\{0\}\cup[4\sqrt{3}; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x\in(-8; -4\sqrt{3}]\cup\{0\}\cup[4\sqrt{3}; 8).\]

Ответ:

\(x\in(-8; -4\sqrt{3}]\cup\{0\}\cup[4\sqrt{3}; 8)\)

1 2 3 4 .... 7