Решите систему неравенств \[\begin{cases} \log_{4-x}(x+4)\cdot \log_{x+5}(6-x)\leqslant 0\\ 25^{x^2-2x+10}-0,2^{2x^2-4x-80}\leqslant 0 \end{cases}\]
(ЕГЭ 2014, основная волна)
Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.
1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ: \[\begin{cases} 4-x>0\\ 4-x\ne 1\\ x+4>0\\ x+5>0\\ x+5\ne 1\\ 6-x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;3)\cup(3;4).\]
На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно \[(4-x-1)(x+4-1)(x+5-1)(6-x-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-3)(x+3)(x+4)(x-5)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in [-4;-3]\cup[3;5].\)
Пересечем с ОДЗ и получим \(x\in (-4;-3]\cup(3;4)\).
2) Второе неравенство. Заметим, что \(0,2=\frac15=5^{-1}\). Тогда неравенство можно переписать как \[5^{2x^2-4x+20}-\left(5^{-1}\right)^{2x^2-4x-80}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad 5^{2x^2-4x+20}\leqslant 5^{-2x^2+4x+80}\] Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно \[2x^2-4x+20\leqslant -2x^2+4x+80\quad\Leftrightarrow\quad x^2-2x-15\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+3)(x-5)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;5]\]
3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: \(x\in \{-3\}\cup(3;4).\)
Ответ:
\(\{-3\}\cup(3;4)\)