Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет (страница 5)

Задание 29
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_{4-x}(16-x^2)\leqslant 1\\[3ex] 2x+1-\dfrac{21x+39}{x^2+x-2}\geqslant -\dfrac1{x+2} \end{cases}\]

(ЕГЭ 2013, основная волна)

Добавить задание в избранное

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 4-x>0\\ 4-x\ne 1\\ 16-x^2>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;3)\cup(3;4).\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{4-x}(16-x^2)-\log_{4-x}(4-x)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{4-x}\dfrac{(4-x)(4+x)}{4-x}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{4-x}(4+x)\leqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(4-x-1)(x+4-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-3]\cup[3;+\infty)\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in (-4;-3]\cup(3;4).\]

2) Второе неравенство: \[\dfrac{2x^3+x^2+2x^2+x-4x-2-21x-39+x-1}{(x+2)(x-1)}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2x^3+3x^2-23x-42}{(x+2)(x-1)}\geqslant 0\] Подбором находим, что \(x=-2\) является корнем многочлена \(2x^3+3x^2-23x-42\). Выполнив деление в столбик \(2x^3+3x^2-23x-42\) на \(x+2\), получим: \(2x^3+3x^2-23x-42=(x+2)(2x^2-x-21)=(x+2)(x+3)(2x-7)\).

 

Следовательно, неравенство равносильно \[\dfrac{(x+2)(x+3)(2x-7)}{(x+2)(x-1)}\geqslant 0,\] решая которое методом интервалов, получим ответ \(x\in [-3;-2)\cup(-2;1)\cup[3,5;+\infty).\)

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in \{-3\}\cup[3,5;4).\)

Ответ:

\(\{-3\}\cup[3,5;4)\)

Задание 30
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_{4-x}\dfrac{(x-4)^8}{x+5}\geqslant 8\\[3ex] \dfrac{x^2-3x-5}{x-4}+\dfrac{x^2-6x+3}{x-6}\leqslant 2x+1 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2013, основная волна)

Добавить задание в избранное

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 4-x>0\\ 4-x\ne 1\\ \dfrac{(x-4)^8}{x+5}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<4\\ x\ne 3\\ x\in (-5;4)\cup(4;+\infty) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-5;3)\cup(3;4)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{4-x}(x-4)^8-\log_{4-x}(x+5)-8\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{4-x}(4-x)^8-\log_{4-x}(x+5)-8\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{4-x}(x+5)\leqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(4-x-1)(x+5-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-4]\cup[3;+\infty)\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in (-5;-4]\cup(3;4).\]

2) Второе неравенство: \[\begin{aligned} &\dfrac{x^3-3x^2-5x-6x^2+18x+30+x^3-6x^2+3x-4x^2+24x-12-2x^3+20x^2-48x-x^2+10x-24}{(x-4)(x-6)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{2x-6}{(x-4)(x-6)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;3]\cup(4;6).\end{aligned}\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in (-5;-4].\)

Ответ:

\((-5;-4]\)

Задание 31
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_{2-x}\dfrac{-1-x}{x-2}\leqslant -1\\[3ex] \dfrac{x^2-8x+6}{x-1}+\dfrac{8x-37}{x-5}\leqslant x+1 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2013, основная волна)

Добавить задание в избранное

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 2-x>0\\ 2-x\ne 1\\ \dfrac{-1-x}{x-2}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<2\\ x\ne 1\\ x\in (-1;2) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-1;1)\cup(1;2)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{2-x}\dfrac{-1-x}{x-2}+\log_{2-x}(2-x)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{2-x}\dfrac{(-1-x)(2-x)}{x-2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{2-x}(x+1)\leqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(2-x-1)(x+1-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0]\cup[1;+\infty)\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in (-1;0]\cup(1;2).\]

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю \[\begin{aligned} &\dfrac{x^3-8x^2+6x-5x^2+40x-30+8x^2-37x-8x+37-x^3+5x^2+x-5}{(x-1)(x-5)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{2x+2}{(x-1)(x-5)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-1]\cup(1;5).\end{aligned}\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in (1;2).\)

Ответ:

\((1;2)\)

Задание 32
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{2\log_{5}(x^2-5x)}{\log_{5}x^2}\leqslant 1. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x^2 > 0\\ x^2 - 5x > 0\\ \log_{5}x^2\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -1)\cup(-1; 0)\cup(5; +\infty).\]

Преобразуем по формуле \(\dfrac{\log_ab}{\log_ac} = \log_cb\), верной на ОДЗ:

\[\begin{aligned} &2\log_{x^2}(x^2-5x)\leqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{x^2}(x^2-5x)^2 - \log_{x^2}x^2\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{x^2}\dfrac{(x^2-5x)^2}{x^2}\leqslant 0. \end{aligned}\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(x^2 - 1)\left(\dfrac{(x^2-5x)^2}{x^2} - 1\right)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2-5x)^2 - x^2}{x^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 5x - x)(x^2 - 5x + x)}{x^2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{(x^2 - 6x)(x^2 - 4x)}{x^2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot\dfrac{x(x - 6)(x - 4)}{x}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in(-\infty; -1]\cup[1; 4]\cup[6; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in (-\infty; -1)\cup[6; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in (-\infty; -1)\cup[6; +\infty).\]

Ответ:

\((-\infty; -1)\cup[6; +\infty)\)

Задание 33
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{\sqrt{2x^2-7x+6}}\left(\dfrac{x}{3}\right)>0. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} 2x^2-7x+6 \geqslant 0\\ \sqrt{2x^2-7x+6} > 0\\ \sqrt{2x^2-7x+6} \neq 1\\ \dfrac{x}{3} > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (0; 1)\cup(1; 1,5)\cup(2; 2,5)\cup(2,5; +\infty).\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно: \[(\sqrt{2x^2-7x+6} - 1)\left(\dfrac{x}{3} - 1\right) > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sqrt{2x^2-7x+6} - 1)(x - 3) > 0.\] По методу интервалов:



откуда \(x \in(1; 1,5]\cup[2; 2,5)\cup(3; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in(1; 1,5)\cup(2; 2,5)\cup(3; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in(1; 1,5)\cup(2; 2,5)\cup(3; +\infty).\]

Ответ:

\((1; 1,5)\cup(2; 2,5)\cup(3; +\infty)\)

Задание 34
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}2x^{-1}\cdot\log_{x}2x^2}{\log_{2x}x\cdot\log_{2x^{-2}}x}<40. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} x > 0\\ x \neq 1\\ 2x^{-1} > 0\\ 2x^2 > 0\\ 2x > 0\\ 2x \neq 1\\ 2x^{-2} > 0\\ 2x^{-2} \neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (0; 0,5)\cup(0,5; 1)\cup(1; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty).\]

По формуле \(\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}\) преобразуем знаменатель, а затем каждый логарифм по формулам произведения/частного в аргументе, верным на ОДЗ:

\[\begin{aligned} &(\log_x2 - \log_xx)\cdot(\log_x2 + \log_xx^2)\cdot(\log_x2+\log_xx)\cdot(\log_x2-\log_xx^2) < 40\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (\log_x2 - 1)\cdot(\log_x2 + 2)\cdot(\log_x2+1)\cdot(\log_x2-2) < 40. \end{aligned}\]

Сделаем замену \(t = \log_x2\):

\[\begin{aligned} &(t - 1)(t + 1)(t + 2)(t - 2) < 40\quad\Leftrightarrow\quad (t^2 - 1)(t^2 - 4) < 40\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad t^4 - 5t^2 + 4 < 40\quad\Leftrightarrow\quad t^4 - 5t^2 - 36 < 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = t^2, y \geqslant 0\):

\[\begin{aligned} &y^2 - 5y - 36 < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y + 4)(y - 9) < 0 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &(t^2 + 4)(t^2 - 9) < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t^2 + 4)(t - 3)(t + 3) < 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(t \in(-3; 3)\). \[-3 < \log_x 2 < 3\]

1) \(x > 1\), тогда

\[\begin{aligned} &-3 < \log_x 2 < 3\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_x 2 < 3\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_x 2 < \log_x x^3\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad 2 < x^3\qquad\Leftrightarrow\qquad x > \sqrt[3]2, \end{aligned}\]

откуда при учёте \(x > 1\): \[x \in(\sqrt[3]{2}; +\infty).\]

2) \(0 < x < 1\), тогда

\[\begin{aligned} &-3 < \log_x 2 < 3\qquad\Leftrightarrow\qquad -3 < \log_x 2\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_x x^{-3} < \log_x 2\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad x^{-3} > 2\qquad\Leftrightarrow\qquad x^{-1} > \sqrt[3]{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad x < \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}, \end{aligned}\]

откуда при учёте \(0 < x < 1\): \[x \in\left(0; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right).\] Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in(0; 0,5)\cup\left(0,5; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup(\sqrt[3]{2}; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in (0; 0,5)\cup\left(0,5; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup(\sqrt[3]{2}; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty).\]

Ответ:

\((0; 0,5)\cup\left(0,5; \dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup(\sqrt[3]{2}; \sqrt{2})\cup(\sqrt{2}; +\infty)\)

Задание 35
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{\frac{1}{9}}(7-6x)\cdot\log_{2-x}\dfrac{1}{3}\geqslant 1. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{cases} 7 - 6x > 0\\ 2-x > 0\\ 2-x \neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; 1)\cup\left(1; \dfrac{7}{6}\right).\]

\[\dfrac{\frac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}}(7-6x)}{\log_{\frac{1}{3}}(2-x)}\geqslant 1.\] Воспользуемся формулой \(\dfrac{\log_ab}{\log_ac} = \log_cb\), верной на ОДЗ:

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\log_{2-x}(7-6x)-\log_{2-x}(2-x)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &\log_{2-x}(7-6x)-2\log_{2-x}(2-x)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &\log_{2-x}(7-6x)-\log_{2-x}(2-x)^2\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{2-x}\dfrac{7-6x}{(2-x)^2}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно: \[(2 - x - 1)\left(\dfrac{7-6x}{(2-x)^2} - 1\right)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (1 - x)\cdot\dfrac{3 - 2x - x^2}{(2-x)^2}\geqslant 0.\] По методу интервалов:



откуда \(x \in[-3; 2)\cup(2; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in [-3; 1)\cup\left(1; \dfrac{7}{6}\right)\).
Окончательный ответ \[x \in [-3; 1)\cup\left(1; \dfrac{7}{6}\right).\]

Ответ:

\([-3; 1)\cup\left(1; \dfrac{7}{6}\right)\)

1 .... 4 5 6