Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет (страница 5)

Задание 29 #2774
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} 36^{x-\frac12}-7\cdot 6^{x-1}+1\geqslant 0\\ x\cdot \log_4(5-3x-x^2)\geqslant 0 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2014, основная волна)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство можно переписать в виде \[6^{2x-1}-7\cdot 6^{x-1}+1\geqslant 0\] Сделаем замену \(6^x=t>0\), тогда неравенство примет вид: \[\dfrac{t^2}6-\dfrac{7t}6+1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2-7t+6\geqslant 0\] Решим уравнение \(t^2-7t+6=0\). Его корнями будут \(t_1=1\) и \(t_2=6\). Следовательно, \(t^2-7t+6=(t-1)(t-6)\). Значит, неравенство примет вид \[(t-1)(t-6)\geqslant 0\] Решив его методом интервалов, получим \(t\in (-\infty;1]\cup[6;+\infty).\) Теперь сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &6^x\leqslant 1\\ &6^x\geqslant 6\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant 0\\ &x\geqslant 1\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0]\cup[1;+\infty).\]

2) Второе неравенство. Выпишем его ОДЗ: \[5-3x-x^2>0 \quad \Leftrightarrow\quad x^2+3x-5<0 \quad \Leftrightarrow\quad x\in\left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}2;\dfrac{-3+\sqrt{29}}2\right).\] Тогда на ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно \[x(4-1)(5-3x-x^2-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x(x^2+3x-4)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x(x-1)(x+4)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-4]\cup[0;1]\).
Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательное решение второго неравенства \(x\in \left(\dfrac{-3-\sqrt{29}}2;-4\right]\cup[0;1].\)

 

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим \(x\in \left(-\frac12(\sqrt{29}+3);-4\right]\cup\{0;1\}.\)

Ответ:

\(\left(-\frac12(\sqrt{29}+3);-4\right]\cup\{0;1\}\)

Задание 30 #2783
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_{5-x}\dfrac{x+4}{(x-5)^{10}}\geqslant -10\\[3ex] x^3+8x^2+\dfrac{50x^2+x-7}{x-7}\leqslant 1 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2013, основная волна)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 5-x>0\\ 5-x\ne 1\\ \dfrac{x+4}{(x-5)^{10}}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<5\\ x\ne 4\\ x\in (-4;5)\cup(5;+\infty) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;4)\cup(4;5)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{5-x}\dfrac{x+4}{(x-5)^{10}}+\log_{5-x}(5-x)^{10}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \log_{5-x}\dfrac{(x+4)(5-x)^{10}}{(x-5)^{10}}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{5-x}(x+4)\geqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(5-x-1)(x+4-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;4]\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in [-3;4).\]

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю \[\begin{aligned} &\dfrac{x^4+8x^3-7x^3-56x^2+50x^2+x-7-x+7}{x-7}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{x^2(x+3)(x-2)}{x-7}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-3]\cup\{0\}\cup[2;7).\end{aligned}\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in \{-3;0\}\cup[2;4).\)

Ответ:

\(\{-3;0\}\cup[2;4)\)

Задание 31 #2779
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_{3-x}\dfrac{x+4}{(x-3)^2}\geqslant -2\\[2ex] x^3+6x^2+\dfrac{21x^2+3x-12}{x-4}\leqslant 3 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2013, основная волна)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 3-x>0\\ 3-x\ne 1\\ \dfrac{x+4}{(x-3)^2}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<3\\ x\ne 2\\ x\in (-4;3)\cup(3;+\infty) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;2)\cup(2;3)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{3-x}(x+4)-\log_{3-x}(x-3)^2+2\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{3-x}(x+4)-\log_{3-x}(3-x)^2+2\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{3-x}(x+4)\geqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(3-x-1)(x+4-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in [-3;2]\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in [-3;2)\]

2) Второе неравенство равносильно: \[\dfrac{x^4+6x^3-4x^3-24x^2+21x^2+3x-12-3x+12}{x-4}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^4+2x^3-3x^2}{x-4}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^2(x+3)(x-1)}{x-4}\leqslant 0\] Решая его методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-3]\cup\{0\}\cup[1;4).\)

 

3) Пересечем решения обоих неравенств, получим \(x\in\{-3;0\}\cup \left[1;2\right)\).

Ответ:

\(\{-3;0\}\cup \left[1;2\right)\)

Задание 32 #2780
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_{4-x}(16-x^2)\leqslant 1\\[3ex] 2x+1-\dfrac{21x+39}{x^2+x-2}\geqslant -\dfrac1{x+2} \end{cases}\]

(ЕГЭ 2013, основная волна)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 4-x>0\\ 4-x\ne 1\\ 16-x^2>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-4;3)\cup(3;4).\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{4-x}(16-x^2)-\log_{4-x}(4-x)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{4-x}\dfrac{(4-x)(4+x)}{4-x}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{4-x}(4+x)\leqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(4-x-1)(x+4-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-3]\cup[3;+\infty)\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in (-4;-3]\cup(3;4).\]

2) Второе неравенство: \[\dfrac{2x^3+x^2+2x^2+x-4x-2-21x-39+x-1}{(x+2)(x-1)}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2x^3+3x^2-23x-42}{(x+2)(x-1)}\geqslant 0\] Подбором находим, что \(x=-2\) является корнем многочлена \(2x^3+3x^2-23x-42\). Выполнив деление в столбик \(2x^3+3x^2-23x-42\) на \(x+2\), получим: \(2x^3+3x^2-23x-42=(x+2)(2x^2-x-21)=(x+2)(x+3)(2x-7)\).

 

Следовательно, неравенство равносильно \[\dfrac{(x+2)(x+3)(2x-7)}{(x+2)(x-1)}\geqslant 0,\] решая которое методом интервалов, получим ответ \(x\in [-3;-2)\cup(-2;1)\cup[3,5;+\infty).\)

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in \{-3\}\cup[3,5;4).\)

Ответ:

\(\{-3\}\cup[3,5;4)\)

Задание 33 #2781
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_{4-x}\dfrac{(x-4)^8}{x+5}\geqslant 8\\[3ex] \dfrac{x^2-3x-5}{x-4}+\dfrac{x^2-6x+3}{x-6}\leqslant 2x+1 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2013, основная волна)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 4-x>0\\ 4-x\ne 1\\ \dfrac{(x-4)^8}{x+5}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<4\\ x\ne 3\\ x\in (-5;4)\cup(4;+\infty) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-5;3)\cup(3;4)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{4-x}(x-4)^8-\log_{4-x}(x+5)-8\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{4-x}(4-x)^8-\log_{4-x}(x+5)-8\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{4-x}(x+5)\leqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(4-x-1)(x+5-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-4]\cup[3;+\infty)\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in (-5;-4]\cup(3;4).\]

2) Второе неравенство: \[\begin{aligned} &\dfrac{x^3-3x^2-5x-6x^2+18x+30+x^3-6x^2+3x-4x^2+24x-12-2x^3+20x^2-48x-x^2+10x-24}{(x-4)(x-6)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{2x-6}{(x-4)(x-6)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;3]\cup(4;6).\end{aligned}\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in (-5;-4].\)

Ответ:

\((-5;-4]\)

Задание 34 #2782
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите систему \[\begin{cases} \log_{2-x}\dfrac{-1-x}{x-2}\leqslant -1\\[3ex] \dfrac{x^2-8x+6}{x-1}+\dfrac{8x-37}{x-5}\leqslant x+1 \end{cases}\]

(ЕГЭ 2013, основная волна)

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

 

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} 2-x>0\\ 2-x\ne 1\\ \dfrac{-1-x}{x-2}>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x<2\\ x\ne 1\\ x\in (-1;2) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-1;1)\cup(1;2)\] На ОДЗ данное неравенство равносильно: \[\log_{2-x}\dfrac{-1-x}{x-2}+\log_{2-x}(2-x)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{2-x}\dfrac{(-1-x)(2-x)}{x-2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{2-x}(x+1)\leqslant 0\] Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно: \[(2-x-1)(x+1-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0]\cup[1;+\infty)\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: \[x\in (-1;0]\cup(1;2).\]

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю \[\begin{aligned} &\dfrac{x^3-8x^2+6x-5x^2+40x-30+8x^2-37x-8x+37-x^3+5x^2+x-5}{(x-1)(x-5)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[3ex] \Leftrightarrow\quad & \dfrac{2x+2}{(x-1)(x-5)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-1]\cup(1;5).\end{aligned}\]

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ \(x\in (1;2).\)

Ответ:

\((1;2)\)

Задание 35 #1636
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{\sqrt{2x^2-7x+6}}\left(\dfrac{x}{3}\right)>0. \end{aligned}\]

(ЕГЭ 2011)

ОДЗ:

\[\begin{cases} 2x^2-7x+6 \geqslant 0\\ \sqrt{2x^2-7x+6} > 0\\ \sqrt{2x^2-7x+6} \neq 1\\ \dfrac{x}{3} > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (0; 1)\cup(1; 1,5)\cup(2; 2,5)\cup(2,5; +\infty).\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно: \[(\sqrt{2x^2-7x+6} - 1)\left(\dfrac{x}{3} - 1\right) > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sqrt{2x^2-7x+6} - 1)(x - 3) > 0.\] По методу интервалов:



откуда \(x \in(1; 1,5]\cup[2; 2,5)\cup(3; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in(1; 1,5)\cup(2; 2,5)\cup(3; +\infty)\).
Окончательный ответ \[x \in(1; 1,5)\cup(2; 2,5)\cup(3; +\infty).\]

Ответ:

\((1; 1,5)\cup(2; 2,5)\cup(3; +\infty)\)