Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение неравенств прошлых лет (страница 7)

Задание 43 #1637
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{3-x}(x^2-10x+25)\leqslant 2\log_{3-x}(4x-x^2+5)-2. \end{aligned}\]

(репетиционный ЕГЭ 2011)

ОДЗ:

\[\begin{cases} x^2 - 10x + 25 > 0\\ 4x - x^2 + 5 > 0\\ 3 - x > 0\\ 3 - x \neq 1 \end{cases}\qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-1; 2)\cup(2; 3).\]

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{2}\cdot\log_{3-x}(x^2-10x+25) - \log_{3-x}(4x-x^2+5)+\log_{3-x}(3-x)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{2}\cdot\log_{3-x}(x-5)^2 - \log_{3-x}(4x-x^2+5)+\log_{3-x}(3-x)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{3-x}\dfrac{|x-5|\cdot(3-x)}{4x-x^2+5}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(3 - x - 1)\left(\dfrac{|x-5|\cdot(3-x)}{4x-x^2+5} - 1\right)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &(2- x)\dfrac{|x-5|\cdot(3-x) - (4x-x^2+5)}{4x-x^2+5}\leqslant 0. \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ \(x - 5 < 0\), то \[(2- x)\dfrac{(5-x)\cdot(3-x) - (4x-x^2+5)}{4x-x^2+5}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (2- x)\dfrac{2x^2 - 12x + 10}{4x-x^2+5}\leqslant 0.\] По методу интервалов:



откуда \(x \in(-\infty; -1)\cup[1; 2]\cup(5; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in [1; 2)\).
Окончательный ответ \[x \in [1; 2).\]

Ответ:

\([1; 2)\)

Задание 44 #1626
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 1-\dfrac{1}{2}\log_{\sqrt{3}}\dfrac{x+5}{x+3}\geqslant\log_{9}(x+1)^2. \end{aligned}\]

(репетиционный ЕГЭ 2011)

ОДЗ:

\[\begin{cases} x + 3 \neq 0\\ \dfrac{x+5}{x+3} > 0\\ (x+1)^2 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in (-\infty; -5)\cup(-3; -1)\cup(-1; +\infty)\]

\[\begin{aligned} &\log_33-\log_{3}\dfrac{x+5}{x+3}\geqslant\dfrac{1}{2}\log_{3}(x+1)^2\quad\Leftrightarrow\quad \log_{3}\dfrac{3(x+3)}{x+5}\geqslant\dfrac{1}{2}\log_{3}(x+1)^2\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_{3}\dfrac{9(x+3)^2}{(x+5)^2}\geqslant\log_{3}(x+1)^2\quad\Leftrightarrow\quad \log_{3}\dfrac{9(x+3)^2}{(x+5)^2(x+1)^2}\geqslant 0. \end{aligned}\]

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(3 - 1)\left(\dfrac{9(x+3)^2}{(x+5)^2(x+1)^2} - 1\right)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{9(x+3)^2 - (x+5)^2(x+1)^2}{(x+5)^2(x+1)^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(3x+9 - (x+5)(x+1))(3x+9 + (x+5)(x+1))}{(x+5)^2(x+1)^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(-x^2 - 3x + 4)(x^2 + 9x + 14)}{(x+5)^2(x+1)^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2 + 3x - 4)(x^2 + 9x + 14)}{(x+5)^2(x+1)^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x + 4)(x - 1)(x + 7)(x + 2)}{(x+5)^2(x+1)^2}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in[-7; -5)\cup(-5; -4]\cup[-2; -1)\cup(-1; 1]\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in [-7; -5)\cup[-2; -1)\cup(-1; 1]\).
Окончательный ответ \[x \in [-7; -5)\cup[-2; -1)\cup(-1; 1].\]

Ответ:

\([-7; -5)\cup[-2; -1)\cup(-1; 1]\)