Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические неравенства с числовым основанием (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Стандартное логарифмическое неравенство \[{\Large{\log_a{f(x)}\geqslant \log_a{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases} f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(f(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.

 

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases}f(x)\leqslant g(x)\\f(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(g(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\Large{b=\log_a{a^b}}}\) можно любое число \(b\) представить в виде логарифма по необходимому нам основанию \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 8
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{\sqrt[6]4}\left(\log_{\frac15}(x+3)\right)\geqslant 3\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Обозначим \(\log_{\frac15}(x+3)=t\). Тогда неравенство примет вид (\(\sqrt[6]4=4^{\frac16}\)): \[\log_{\sqrt[6]4}t\geqslant 3 \quad\Leftrightarrow\quad 6\log_4t\geqslant 3\quad\Leftrightarrow\quad \log_4t\geqslant \dfrac12\] Так как основание логарифма \(4>1\), то данное неравенство равносильно: \[\begin{cases} t>0\\ t\geqslant4^{\frac12}\end{cases}\quad\Leftrightarrow \quad t\geqslant 2\]

Таким образом, получаем \[\log_{\frac15}(x+3)\geqslant 2\] Так как основание логарифма \(\frac15<1\), то неравенство равносильно: \[\begin{cases} x+3>0\\[1ex] x+3\leqslant \left(\frac15\right)^2\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad -3<x\leqslant -\dfrac{74}{25}\]

Ответ:

\(\left(-3;-\frac{74}{25}\right]\)

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_3 (x + 1) \leqslant \log_3 x + \log_9 (x + 2)^2 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:\[\begin{cases} x + 1 > 0\\ x > 0\\ (x + 2)^{2} > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 0.\]

При \(x > 0\):
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_3 (x + 1) \leqslant \log_3 x + \log_{3^2} (x + 2)^2\quad\Leftrightarrow\quad \log_3 (x + 1) \leqslant \log_3 x + \log_3 |x + 2|\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_3 \dfrac{(x + 1)}{x\cdot (x + 2)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x + 1)}{x\cdot (x + 2)} \leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x + 1) - x\cdot (x + 2)}{x\cdot (x + 2)} \leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad\dfrac{-x^2 - x + 1}{x\cdot (x + 2)} \leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{x^2 + x - 1}{x\cdot (x + 2)} \geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов на ОДЗ:



Таким образом, ответ:\[x\in\left[\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}; +\infty\right).\]

Ответ:

\(\left[0,5(\sqrt{5} - 1); +\infty\right)\)

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_4^2 (x^2 + 2x) - 10\log_4 (4x^2 + 8x) > -26 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^2 + 2x > 0\\ 4x^2 + 8x > 0 \end{cases} \end{aligned}\]

На ОДЗ: \[\log_4 (4x^2 + 8x) = \log_4 \bigl(4\cdot(x^2 + 2x)\bigr) = 1 + \log_4 (x^2 + 2x)\]

Сделаем замену \(\log_4 (x^2 + 2x) = t\):

\[\begin{aligned} t^2 - 10 t - 10 > -26\quad\Leftrightarrow\quad t^2 - 10 t + 16 > 0\quad\Leftrightarrow\quad (t - 2)(t - 8) > 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(t\in(-\infty; 2)\cup(8; +\infty)\), тогда
\(\log_4 (x^2 + 2x)\in (-\infty; 2)\cup(8; +\infty)\), следовательно, с учётом ОДЗ

\[\begin{aligned} \left[ \begin{gathered} 0 < x^2 + 2x < 16\\ 4^8 < x^2 + 2x \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

Аналогично по методу интервалов находим, что
решение неравенства \(x^2 + 2x > 0\) (совпадающего с ОДЗ) имеет вид: \(x\in(-\infty; -2)\cup(0; +\infty)\)
решение неравенства \(x^2 + 2x < 16\) имеет вид: \(x\in(-1 - \sqrt{17}; -1 + \sqrt{17})\)
их пересечение: \[x\in(-1 - \sqrt{17}; -2)\cup (0; -1 + \sqrt{17})\] решение неравенства \(x^2 + 2x > 4^8\) имеет вид: \[x\in(-\infty; -1-\sqrt{1 + 4^8})\cup(-1 + \sqrt{1 + 4^8}; +\infty)\] решение полученной совокупности неравенств с учётом ОДЗ:\[x\in (-\infty; -1-\sqrt{1 + 4^8})\cup (-1 - \sqrt{17}; -2)\cup (0; -1 + \sqrt{17})\cup(-1 + \sqrt{1 + 4^8}; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; -1-\sqrt{1 + 4^8})\cup (-1 - \sqrt{17}; -2)\cup (0; -1 + \sqrt{17})\cup(-1 + \sqrt{1 + 4^8}; +\infty)\)

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{\frac1{\sqrt[4]{18}}}{(x^2+3x-\sqrt2x)}>-2\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[x^2+3x-\sqrt2x>0 \quad \Leftrightarrow \quad x(x+3-\sqrt2)>0 \quad \Leftrightarrow \quad x\in (-\infty;\sqrt2-3)\cup(0;+\infty).\]

Решим данное неравенство на ОДЗ. Оно равносильно неравенству \[\log_{\frac1{\sqrt[4]{18}}}{(x^2+3x-\sqrt2x)}> \log_{\frac1{\sqrt[4]{18}}}{\left(\frac1{\sqrt[4]{18}}\right)^{-2}} \quad \Leftrightarrow \quad \log_{\frac1{\sqrt[4]{18}}}{(x^2+3x-\sqrt2x)}> \log_{\frac1{\sqrt[4]{18}}}{3\sqrt2}\] Т.к. основание логарифмов меньше единицы (\(\frac1{\sqrt[4]{18}}<1\)), то неравенство равносильно \[x^2+3x-\sqrt2x<3\sqrt2 \quad \Leftrightarrow \quad x^2+(3-\sqrt2)x-3\sqrt2<0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-\sqrt2)(x+3)<0 \quad \Leftrightarrow \quad x\in (-3;\sqrt2).\]

Пересечем решение с ОДЗ. Учитывая, что \(\sqrt2-3>-3\), \(0<\sqrt2\), получаем окончательный ответ: \(x\in (-3;\sqrt2-3)\cup(0;\sqrt2)\).

Ответ:

\((-3;\sqrt2-3)\cup(0;\sqrt2)\)

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_2^2 (x^2 - 2x + 5) - \log_2 (x^2 - 2x + 5)^3 + 2\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^2 - 2x + 5 > 0 \end{aligned}\]

На ОДЗ:

\[\begin{aligned} \log_2 (x^2 - 2x + 5)^3 = 3\log_2 (x^2 - 2x + 5) \end{aligned}\]

Сделаем замену \(\log_2 (x^2 - 2x + 5) = t\):

\[\begin{aligned} t^2 - 3t + 2\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t - 1)(t - 2) \leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(t\in[1; 2]\), тогда
\[\log_2 (x^2 - 2x + 5)\in [1; 2]\]

Заметим, что \(x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4\geqslant 4\), следовательно, \[\log_2 (x^2 - 2x + 5)\geqslant \log_2 4 = 2,\] таким образом, подходят только те \(x\), при которых \[\log_2 (x^2 - 2x + 5) = \log_2 4,\] то есть \(x = 1\).

Ответ:

\(1\)

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{7}{2}\ln \dfrac{1}{t^2} + \ln^2 t < -10 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} t > 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(\ln t = y\) с учётом того, что на ОДЗ \(\ln\dfrac{1}{t^2} = -2\ln t\):

\[\begin{aligned} y^2 - 7y + 10 < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 2)(y - 5) < 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(y\in(2; 5)\), тогда
\(\ln t\in (2; 5)\), следовательно, с учётом ОДЗ \[t\in(e^2; e^5)\,.\]

Ответ:

\((e^2; e^5)\)

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_5 (x + 11)^2\geqslant 2\log_{\sqrt{5}}\sqrt{x} + \log_{625} (x + 11)^8 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:\[\begin{cases} (x + 11)^2 > 0\\ \sqrt{x} > 0\\ (x + 11)^8 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 0.\]

При \(x > 0\):
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_5 (x + 11)^2\geqslant 2\log_{5^{0,5}}x^{0,5} + \log_{5^4} (x + 11)^8\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_5 (x + 11)^2\geqslant 2\log_5 x + \log_5 (x + 11)^2\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad 0\geqslant 2\log_5 x \qquad\Leftrightarrow\qquad 0\geqslant \log_5 x \qquad\Leftrightarrow\qquad \log_5 1\geqslant \log_5 x \qquad\Leftrightarrow\qquad 1\geqslant x\,. \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ ответ:\[x\in(0; 1].\]

Ответ:

\((0; 1]\)

1 2 3 4