Решите неравенство \[\log_{\sqrt[6]4}\left(\log_{\frac15}(x+3)\right)\geqslant 3\]
(Задача от подписчиков)
Обозначим \(\log_{\frac15}(x+3)=t\). Тогда неравенство примет вид (\(\sqrt[6]4=4^{\frac16}\)): \[\log_{\sqrt[6]4}t\geqslant 3 \quad\Leftrightarrow\quad 6\log_4t\geqslant 3\quad\Leftrightarrow\quad \log_4t\geqslant \dfrac12\] Так как основание логарифма \(4>1\), то данное неравенство равносильно: \[\begin{cases} t>0\\ t\geqslant4^{\frac12}\end{cases}\quad\Leftrightarrow \quad t\geqslant 2\]
Таким образом, получаем \[\log_{\frac15}(x+3)\geqslant 2\] Так как основание логарифма \(\frac15<1\), то неравенство равносильно: \[\begin{cases} x+3>0\\[1ex] x+3\leqslant \left(\frac15\right)^2\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad -3<x\leqslant -\dfrac{74}{25}\]
Ответ:
\(\left(-3;-\frac{74}{25}\right]\)