Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические неравенства с числовым основанием (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Стандартное логарифмическое неравенство \[{\Large{\log_a{f(x)}\geqslant \log_a{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases} f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(f(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.

 

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases}f(x)\leqslant g(x)\\f(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(g(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\Large{b=\log_a{a^b}}}\) можно любое число \(b\) представить в виде логарифма по необходимому нам основанию \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 15
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_4 (x - 2)^{2016}\geqslant \log_{2}\sqrt{x} + \log_{0,0625} (x - 2)^{-4032} \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:\[\begin{cases} (x - 2)^{2016} > 0\\ \sqrt{x} > 0\\ (x - 2)^{-4032} > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in(0; 2)\cup(2; +\infty).\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_4 (x - 2)^{2016}\geqslant \log_{4^{0,5}}x^{0,5} + \log_{4^{-2}} (x - 2)^{-4032}\quad \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_4 (x - 2)^{2016}\geqslant \log_4 x +\log_4 (x - 2)^{2016}\ \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad 0 \geqslant \log_4 x\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_4 1 \geqslant \log_4 x\qquad\Leftrightarrow\qquad 1 \geqslant x\,. \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ ответ:\[x\in(0; 1].\]

Ответ:

\((0; 1]\)

Задание 16
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{x^2}{25}+\log_{x-2}{(x-2)^2}\geqslant \log_x{(3x^2)}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2>0 \\ x^2\ne 1\\ x-2>0\\ x-2\ne 1\\ (x-2)^2>0\\ 3x^2>0\\ x>0\\ x\ne 1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ne 0\\ x\ne \pm 1\\ x>2\\ x\ne 3\\ x\ne 2\\ x>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x\in (2;3)\cup(3;+\infty).\]

Решим неравенство на ОДЗ. Т.к. из ОДЗ следует, что \(x>2\), то \[\begin{aligned} &1) \log_{x^2}{25}=\log_{|x|}5=\log_x5\\ &2) \log_{x-2}{(x-2)^2}=2\\ &3) \log_x{(3x^2)}=\log_x{3}+\log_x{x^2}=\log_x3+2 \end{aligned}\]

Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно \[\log_x5+2\geqslant 2+\log_x3 \quad \Leftrightarrow \quad \log_x5\geqslant \log_x3 \quad \Leftrightarrow \quad \log_x{\dfrac53}\geqslant 0\] Т.к. \(\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\), то полученное неравенство равносильно \[\dfrac1{\log_{\frac53}x}\geqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad \log_{\frac53}x>0 \quad \Leftrightarrow x>1.\] Пересекая ответ с ОДЗ, получим \(x\in (2;3)\cup(3;+\infty)\).

 

Заметим, что на ОДЗ логарифм может быть равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен 1, и больше нуля, когда основание и аргумент лежат по одну сторону от 1. Следовательно, \(\log_x{\dfrac53}\) не может быть равен 0, а больше нуля он тогда и только тогда, когда основание \(x\) больше 1. То есть неравенство \(\log_x{\dfrac53}\geqslant 0\) равносильно \(x>1\).

Ответ:

\((2;3)\cup(3;+\infty)\)

Задание 17
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_2\left(2\log_4x^4\right)>\log_8^{-1}\log_4\log_2 256^2\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x^4>0\\ 2\log_4x^4>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ne 0\\x^4>1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)(x+1)>0 \quad \Leftrightarrow \quad x\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty).\]

Решим неравенство на ОДЗ. Преобразуем правую часть: \[\log_8^{-1}\log_4\log_2 256^2=\left(\log_8\log_4\log_2{2^{16}}\right)^{-1}= \left(\log_8\log_4{16}\right)^{-1}=\left(\log_82\right)^{-1}= \left(\frac13\right)^{-1}=3.\]

Таким образом, неравенство равносильно \[\log_2\left(2\log_4x^4\right)>3 \quad \Leftrightarrow \quad \log_2\left(2\log_4x^4\right)>\log_28\] Т.к. основание логарифма больше единицы (\(2>1\)), то неравенство на ОДЗ равносильно \[2\log_4x^4>8 \quad \Leftrightarrow \quad \log_4x^4>4 \quad \Leftrightarrow \quad \log_4x^4>\log_44^4\] Т.к. основание логарифма больше единицы (\(4>1\)), то неравенство на ОДЗ равносильно \[x^4>4^4 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2+4^2)(x-4)(x+4)>0 \quad \Leftrightarrow \quad x\in (-\infty;-4)\cup(4;+\infty).\] Пересекая ответ с ОДЗ, получаем \(x\in (-\infty;-4)\cup(4;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;-4)\cup(4;+\infty)\)

Задание 18
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{1-\sin2\sqrt{2}}\left(2^{x^2+1}-3\right)\leqslant 0\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2^{x^2+1}-3>0\). Решим на ОДЗ.

 

Заметим, что \(0<\sin2\sqrt{2}<1\).
Т.к. \(\frac{\pi}2\) чуть больше \(1,57\), \(\pi\) чуть меньше \(3,15\), то число \(2\sqrt2\sim 2,8\) и находится во второй четверти, в которой синус положителен.
Из того, что \(0<\sin2\sqrt{2}<1\), следует, что \[0<1-\sin2\sqrt{2}<1\].

 

Следовательно, неравенство равносильно

\[\log_{1-\sin2\sqrt{2}}\left(2^{x^2+1}-3\right)\leqslant \log_{1-\sin2\sqrt{2}}1 \quad \Rightarrow\]

вспоминая ОДЗ, получаем:

 

\(\Rightarrow \quad \begin{cases} 2^{x^2+1}-3\geqslant 1\\ 2^{x^2+1}-3>0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 2^{x^2+1}-3\geqslant 1 \quad \Rightarrow \quad 2^{x^2+1}\geqslant 4 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad x^2+1\geqslant 2 \quad \Rightarrow \quad (x-1)(x+1)\geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad x\in (-\infty;-1]\cup[1;+\infty).\)

 

Ответ:

\((-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\)

Задание 19
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_2 (xe^\pi) + 2016 > \log_2 (x\pi^e) + 2016 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:\[\begin{cases} xe^{\pi} > 0\\ x\pi^e > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 0.\]

При \(x > 0\):
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} xe^\pi > x\pi^e, \end{aligned}\]

что при \(x > 0\) равносильно неравенству \[e^\pi > \pi^e.\] Так как \(e^\pi > 0\) и \(\pi^e > 0\), то последнее неравенство равносильно неравенству \[\ln(e^\pi) > \ln(\pi^e)\qquad\Leftrightarrow\qquad \pi\ln e > e\ln\pi \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\ln e}{e} > \dfrac{\ln \pi}{\pi},\] то есть осталось сравнить значение функции \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) в точках \(e\) и \(\pi\). \[f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\cdot x - 1\cdot\ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}.\]

При \(x > e\): \(f'(x) < 0\), следовательно, на \((e; +\infty)\) функция \(f(x)\) убывает (при этом \(x = e\) – точка локального максимума функции \(f\)), следовательно, \[f(e) > f(\pi)\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{\ln e}{e} > \dfrac{\ln\pi}{\pi}\qquad\Rightarrow\qquad e^\pi > \pi^e,\] то есть исходное неравенство (с учётом ОДЗ) выполнено при \[x > 0.\]

Ответ:

\((0; +\infty)\)

Задание 20
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_4^3 (x^2 + x + 0,5) + 3\log_4 (x^2 + x + 0,5)^{\pi} + 4e > 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^2 + x + 0,5 > 0 \end{aligned}\]

На ОДЗ:

\[\begin{aligned} 3\log_4 (x^2 + x + 0,5)^{\pi} = 3\pi\cdot \log_4 (x^2 + x + 0,5) \end{aligned}\]

Сделаем замену \(\log_4 (x^2 + x + 0,5) = t\):

\[\begin{aligned} t^3 + 3\pi t + 4e > 0 \end{aligned}\]

Рассмотрим, какие значения может принимать \(t\) \[t = \log_4 (x^2 + x + 0,5) = \log_4\bigl((x + 0,5)^2 + 0,25\bigr)\geqslant\log_4 0,25 = -1\]

Покажем, что при всех \(t\geqslant -1\) неравенство \[t^3 + 3\pi t + 4e > 0\] выполнено.
Обозначим \(f(t) = t^3 + 3\pi t + 4e\), тогда \[f'(t) = 3t^2 + 3\pi > 0,\] следовательно, \(f(t)\) – всюду возрастает, тогда при \(t\geqslant -1\) выполнено \[f(t)\geqslant f(-1) = -1 - 3\pi + 4e > - 1 - 3\cdot 3,15 + 4\cdot 2,7 = 0,35 > 0\]

Таким образом, исходное неравенство выполнено при \[x\in(-\infty; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; +\infty)\)

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Число \(a\in(1; +\infty)\) такое, что решением неравенства

\[\begin{aligned} \log_a x^2\leqslant 1 \end{aligned}\]

является множество \([-2; 0)\cup (0; 2]\). Найдите \(a\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\neq 0\).

На ОДЗ при \(a > 1\) исходное неравенство равносильно неравенству \[\log_a x^2\leqslant \log_a a\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2\leqslant a \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in[-\sqrt{a}; \sqrt{a}]\,.\] С учётом ОДЗ ответ станет \(x\in[-\sqrt{a}; 0)\cup (0; \sqrt{a}]\). Таким образом, \(a = 4\).

Ответ:

\(4\)

1 2 3 4