Решите неравенство \[1+\dfrac 4{\log_5x-2}+\dfrac 3{\left(\log_5x\right)^2-\log_55x^4+5}\geqslant 0\]
ОДЗ логарифмов: \(x>0\).
На ОДЗ верно: \(\log_55x^4=\log_55+\log_5x^4=1+4\log_5|x|=1+4\log_5x\).
Сделаем замену \(\log_5x=t\), тогда неравенство примет вид \[1+\dfrac 4{t-2}+\dfrac 3{t^2-(1+4t)+5}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad
\dfrac{t^2-1}{(t-2)^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad
\dfrac{(t-1)(t+1)}{(t-2)^2}\geqslant 0\] Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, возвращаясь к старой переменной, можем записать: \[\begin{cases}
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_5x\leqslant -1\\
&\log_5x\geqslant 1\end{aligned}\end{gathered}\right. \\
\log_5x\ne 2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&x\leqslant \dfrac15\\[2ex]
&x\geqslant 5
\end{aligned}\end{gathered}\right. \\
x\ne 25\end{cases}\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ \(x>0\), получаем окончательный ответ
\(x\in\left(0;\frac15\right]\cup[5;25)\cup(25;+\infty) \)
Ответ:
\(\left(0;\frac15\right]\cup[5;25)\cup(25;+\infty)\)