Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические неравенства с числовым основанием (страница 3)

\(\blacktriangleright\) Стандартное логарифмическое неравенство \[{\Large{\log_a{f(x)}\geqslant \log_a{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases} f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(f(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.

 

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases}f(x)\leqslant g(x)\\f(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(g(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\Large{b=\log_a{a^b}}}\) можно любое число \(b\) представить в виде логарифма по необходимому нам основанию \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 15 #3915
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[1+\dfrac 4{\log_5x-2}+\dfrac 3{\left(\log_5x\right)^2-\log_55x^4+5}\geqslant 0\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ логарифмов: \(x>0\).
На ОДЗ верно: \(\log_55x^4=\log_55+\log_5x^4=1+4\log_5|x|=1+4\log_5x\).
Сделаем замену \(\log_5x=t\), тогда неравенство примет вид \[1+\dfrac 4{t-2}+\dfrac 3{t^2-(1+4t)+5}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-1}{(t-2)^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)(t+1)}{(t-2)^2}\geqslant 0\] Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, возвращаясь к старой переменной, можем записать: \[\begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_5x\leqslant -1\\ &\log_5x\geqslant 1\end{aligned}\end{gathered}\right. \\ \log_5x\ne 2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant \dfrac15\\[2ex] &x\geqslant 5 \end{aligned}\end{gathered}\right. \\ x\ne 25\end{cases}\] Пересекая полученный ответ с ОДЗ \(x>0\), получаем окончательный ответ
\(x\in\left(0;\frac15\right]\cup[5;25)\cup(25;+\infty) \)

Ответ:

\(\left(0;\frac15\right]\cup[5;25)\cup(25;+\infty)\)

Задание 16 #1573
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_5 (x + 11)^2\geqslant 2\log_{\sqrt{5}}\sqrt{x} + \log_{625} (x + 11)^8 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:\[\begin{cases} (x + 11)^2 > 0\\ \sqrt{x} > 0\\ (x + 11)^8 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 0.\]

При \(x > 0\):
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_5 (x + 11)^2\geqslant 2\log_{5^{0,5}}x^{0,5} + \log_{5^4} (x + 11)^8\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_5 (x + 11)^2\geqslant 2\log_5 x + \log_5 (x + 11)^2\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad 0\geqslant 2\log_5 x \qquad\Leftrightarrow\qquad 0\geqslant \log_5 x \qquad\Leftrightarrow\qquad \log_5 1\geqslant \log_5 x \qquad\Leftrightarrow\qquad 1\geqslant x\,. \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ ответ:\[x\in(0; 1].\]

Ответ:

\((0; 1]\)

Задание 17 #2930
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{4}^3 x - 3 + 0,25\log_{4}^2x^2 - 4\log_4 x\geqslant 1 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x > 0\).

Исходное неравенство равносильно

\[\begin{aligned} \log_{4}^3 x + 0,25\cdot (2\log_{4}|x|)^2 - 4\log_4 x - 4\geqslant 0 \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ выполнено \(|x| = x\), то последнее неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \log_{4}^3 x + \log_{4}^2 x - 4\log_4 x - 4\geqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(t = \log_4 x\):

\[\begin{aligned} t^3 + t^2 - 4t - 4\geqslant 0 \end{aligned}\]

В левой части последнего неравенства сгруппируем слагаемые (первое со вторым, третье с четвёртым):

\[\begin{aligned} t^2(t + 1) - 4(t + 1)\geqslant 0\ \Leftrightarrow\ (t^2 - 4)(t + 1)\geqslant 0\ \Leftrightarrow\ (t - 2)(t + 2)(t + 1)\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:

откуда \(t\in[-2; -1]\cup [2; +\infty)\).

Тогда \[\left[ \begin{gathered} -2 \leqslant \log_4 x\leqslant -1\\ \log_4 x\geqslant 2 \end{gathered} \right. \ \Leftrightarrow\ \left[ \begin{gathered} \log_4\dfrac{1}{16} \leqslant \log_4 x\leqslant \log_4\dfrac{1}{4}\\ \log_4 x\geqslant \log_4 16 \end{gathered} \right. \ \Leftrightarrow\ \left[ \begin{gathered} \dfrac{1}{16} \leqslant x\leqslant \dfrac{1}{4}\\ x\geqslant 16 \end{gathered} \right.\]

С учётом ОДЗ ответ: \(x\in\left[\dfrac{1}{16}; \dfrac{1}{4}\right]\cup [16; +\infty)\).

Ответ:

\(\left[\dfrac{1}{16}; \dfrac{1}{4}\right]\cup [16; +\infty)\)

Задание 18 #3906
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{64x}4\cdot \left(\log_{0,5}8x\right)^2\leqslant 3\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ неравенства: \(64x>0, 64x\ne 1, 8x>0\), то есть \(x\in \left(0;\frac1{64}\right)\cup\left(\frac1{64};+\infty\right)\).  

Решим неравенство на ОДЗ.
Первый логарифм преобразуется в \[\log_{64x}4=\dfrac1{\log_464x}=\dfrac1{\frac12\left(\log_264+\log_2x\right)}= \dfrac1{3+\frac12\log_2x}\] Второй логарифм преобразуется: \[\log_{0,5}8x=-(\log_28+\log_2x)=-3-\log_2x\] Сделаем замену: \(\log_2x=t\). Тогда неравенство примет вид: \[\dfrac1{3+\frac12t}\cdot \left(-3-t\right)^2\leqslant 3\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t+3)^2-3(t+6)}{t+6}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t(2t+9)}{t+6}\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получаем: \[t\in (-\infty;-6)\cup\left[-\frac92; 0\right]\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} & \log_2x<-6\\[1ex] & -\dfrac92\leqslant \log_2x\leqslant 0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & x<2^{-6}\\[2ex] & 2^{-\frac92}\leqslant x\leqslant 2^0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} & x<\dfrac1{64}\\[2ex] & \dfrac1{16\sqrt2}\leqslant x\leqslant 1 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получаем: \[x\in \left(0; \dfrac1{64}\right)\cup\left[\dfrac1{16\sqrt2}; 1\right]\]

Ответ:

\(x\in \left(0; \frac1{64}\right)\cup\left[\frac1{16\sqrt2}; 1\right]\)

Задание 19 #1576
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_4 (x - 2)^{2016}\geqslant \log_{2}\sqrt{x} + \log_{0,0625} (x - 2)^{-4032} \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:\[\begin{cases} (x - 2)^{2016} > 0\\ \sqrt{x} > 0\\ (x - 2)^{-4032} > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in(0; 2)\cup(2; +\infty).\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_4 (x - 2)^{2016}\geqslant \log_{4^{0,5}}x^{0,5} + \log_{4^{-2}} (x - 2)^{-4032}\quad \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_4 (x - 2)^{2016}\geqslant \log_4 x +\log_4 (x - 2)^{2016}\ \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad 0 \geqslant \log_4 x\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_4 1 \geqslant \log_4 x\qquad\Leftrightarrow\qquad 1 \geqslant x\,. \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ ответ:\[x\in(0; 1].\]

Ответ:

\((0; 1]\)

Задание 20 #2526
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{x^2}{25}+\log_{x-2}{(x-2)^2}\geqslant \log_x{(3x^2)}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2>0 \\ x^2\ne 1\\ x-2>0\\ x-2\ne 1\\ (x-2)^2>0\\ 3x^2>0\\ x>0\\ x\ne 1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ne 0\\ x\ne \pm 1\\ x>2\\ x\ne 3\\ x\ne 2\\ x>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x\in (2;3)\cup(3;+\infty).\]

Решим неравенство на ОДЗ. Т.к. из ОДЗ следует, что \(x>2\), то \[\begin{aligned} &1) \log_{x^2}{25}=\log_{|x|}5=\log_x5\\ &2) \log_{x-2}{(x-2)^2}=2\\ &3) \log_x{(3x^2)}=\log_x{3}+\log_x{x^2}=\log_x3+2 \end{aligned}\]

Следовательно, неравенство на ОДЗ равносильно \[\log_x5+2\geqslant 2+\log_x3 \quad \Leftrightarrow \quad \log_x5\geqslant \log_x3 \quad \Leftrightarrow \quad \log_x{\dfrac53}\geqslant 0\] Т.к. \(\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\), то полученное неравенство равносильно \[\dfrac1{\log_{\frac53}x}\geqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad \log_{\frac53}x>0 \quad \Leftrightarrow x>1.\] Пересекая ответ с ОДЗ, получим \(x\in (2;3)\cup(3;+\infty)\).

 

Заметим, что на ОДЗ логарифм может быть равен нулю тогда и только тогда, когда его аргумент равен 1, и больше нуля, когда основание и аргумент лежат по одну сторону от 1. Следовательно, \(\log_x{\dfrac53}\) не может быть равен 0, а больше нуля он тогда и только тогда, когда основание \(x\) больше 1. То есть неравенство \(\log_x{\dfrac53}\geqslant 0\) равносильно \(x>1\).

Ответ:

\((2;3)\cup(3;+\infty)\)

Задание 21 #2528
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_2\left(2\log_4x^4\right)>\log_8^{-1}\log_4\log_2 256^2\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x^4>0\\ 2\log_4x^4>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x\ne 0\\x^4>1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)(x+1)>0 \quad \Leftrightarrow \quad x\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty).\]

Решим неравенство на ОДЗ. Преобразуем правую часть: \[\log_8^{-1}\log_4\log_2 256^2=\left(\log_8\log_4\log_2{2^{16}}\right)^{-1}= \left(\log_8\log_4{16}\right)^{-1}=\left(\log_82\right)^{-1}= \left(\frac13\right)^{-1}=3.\]

Таким образом, неравенство равносильно \[\log_2\left(2\log_4x^4\right)>3 \quad \Leftrightarrow \quad \log_2\left(2\log_4x^4\right)>\log_28\] Т.к. основание логарифма больше единицы (\(2>1\)), то неравенство на ОДЗ равносильно \[2\log_4x^4>8 \quad \Leftrightarrow \quad \log_4x^4>4 \quad \Leftrightarrow \quad \log_4x^4>\log_44^4\] Т.к. основание логарифма больше единицы (\(4>1\)), то неравенство на ОДЗ равносильно \[x^4>4^4 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2+4^2)(x-4)(x+4)>0 \quad \Leftrightarrow \quad x\in (-\infty;-4)\cup(4;+\infty).\] Пересекая ответ с ОДЗ, получаем \(x\in (-\infty;-4)\cup(4;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;-4)\cup(4;+\infty)\)

1 2 3 4