Математика ЕГЭ Профиль
Русский язык ЕГЭ

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические неравенства с числовым основанием (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Стандартное логарифмическое неравенство \[{\Large{\log_a{f(x)}\geqslant \log_a{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases} f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(f(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.

 

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases}f(x)\leqslant g(x)\\f(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(g(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\Large{b=\log_a{a^b}}}\) можно любое число \(b\) представить в виде логарифма по необходимому нам основанию \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 22 #2527
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\log_{1-\sin2\sqrt{2}}\left(2^{x^2+1}-3\right)\leqslant 0\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(2^{x^2+1}-3>0\). Решим на ОДЗ.

 

Заметим, что \(0<\sin2\sqrt{2}<1\).
Т.к. \(\frac{\pi}2\) чуть больше \(1,57\), \(\pi\) чуть меньше \(3,15\), то число \(2\sqrt2\sim 2,8\) и находится во второй четверти, в которой синус положителен.
Из того, что \(0<\sin2\sqrt{2}<1\), следует, что \[0<1-\sin2\sqrt{2}<1\].

 

Следовательно, неравенство равносильно

\[\log_{1-\sin2\sqrt{2}}\left(2^{x^2+1}-3\right)\leqslant \log_{1-\sin2\sqrt{2}}1 \quad \Rightarrow\]

вспоминая ОДЗ, получаем:

 

\(\Rightarrow \quad \begin{cases} 2^{x^2+1}-3\geqslant 1\\ 2^{x^2+1}-3>0\end{cases} \quad \Rightarrow \quad 2^{x^2+1}-3\geqslant 1 \quad \Rightarrow \quad 2^{x^2+1}\geqslant 4 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad x^2+1\geqslant 2 \quad \Rightarrow \quad (x-1)(x+1)\geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad x\in (-\infty;-1]\cup[1;+\infty).\)

 

Ответ:

\((-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\)

Задание 23 #1581
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_2 (xe^\pi) + 2016 > \log_2 (x\pi^e) + 2016 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:\[\begin{cases} xe^{\pi} > 0\\ x\pi^e > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 0.\]

При \(x > 0\):
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} xe^\pi > x\pi^e, \end{aligned}\]

что при \(x > 0\) равносильно неравенству \[e^\pi > \pi^e.\] Так как \(e^\pi > 0\) и \(\pi^e > 0\), то последнее неравенство равносильно неравенству \[\ln(e^\pi) > \ln(\pi^e)\qquad\Leftrightarrow\qquad \pi\ln e > e\ln\pi \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\ln e}{e} > \dfrac{\ln \pi}{\pi},\] то есть осталось сравнить значение функции \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) в точках \(e\) и \(\pi\). \[f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x}\cdot x - 1\cdot\ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}.\]

При \(x > e\): \(f'(x) < 0\), следовательно, на \((e; +\infty)\) функция \(f(x)\) убывает (при этом \(x = e\) – точка локального максимума функции \(f\)), следовательно, \[f(e) > f(\pi)\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{\ln e}{e} > \dfrac{\ln\pi}{\pi}\qquad\Rightarrow\qquad e^\pi > \pi^e,\] то есть исходное неравенство (с учётом ОДЗ) выполнено при \[x > 0.\]

Ответ:

\((0; +\infty)\)

Задание 24 #1579
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_4^3 (x^2 + x + 0,5) + 3\log_4 (x^2 + x + 0,5)^{\pi} + 4e > 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^2 + x + 0,5 > 0 \end{aligned}\]

На ОДЗ:

\[\begin{aligned} 3\log_4 (x^2 + x + 0,5)^{\pi} = 3\pi\cdot \log_4 (x^2 + x + 0,5) \end{aligned}\]

Сделаем замену \(\log_4 (x^2 + x + 0,5) = t\):

\[\begin{aligned} t^3 + 3\pi t + 4e > 0 \end{aligned}\]

Рассмотрим, какие значения может принимать \(t\) \[t = \log_4 (x^2 + x + 0,5) = \log_4\bigl((x + 0,5)^2 + 0,25\bigr)\geqslant\log_4 0,25 = -1\]

Покажем, что при всех \(t\geqslant -1\) неравенство \[t^3 + 3\pi t + 4e > 0\] выполнено.
Обозначим \(f(t) = t^3 + 3\pi t + 4e\), тогда \[f'(t) = 3t^2 + 3\pi > 0,\] следовательно, \(f(t)\) – всюду возрастает, тогда при \(t\geqslant -1\) выполнено \[f(t)\geqslant f(-1) = -1 - 3\pi + 4e > - 1 - 3\cdot 3,15 + 4\cdot 2,7 = 0,35 > 0\]

Таким образом, исходное неравенство выполнено при \[x\in(-\infty; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; +\infty)\)

Задание 25 #2406
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Число \(a\in(1; +\infty)\) такое, что решением неравенства

\[\begin{aligned} \log_a x^2\leqslant 1 \end{aligned}\]

является множество \([-2; 0)\cup (0; 2]\). Найдите \(a\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\neq 0\).

На ОДЗ при \(a > 1\) исходное неравенство равносильно неравенству \[\log_a x^2\leqslant \log_a a\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2\leqslant a \qquad\Leftrightarrow\qquad x\in[-\sqrt{a}; \sqrt{a}]\,.\] С учётом ОДЗ ответ станет \(x\in[-\sqrt{a}; 0)\cup (0; \sqrt{a}]\). Таким образом, \(a = 4\).

Ответ:

\(4\)

Задание 26 #1582
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Может ли множество решений неравенства вида

\[\begin{aligned} \log_2 f(x)\leqslant \log_2 g(x) \end{aligned}\]

совпадать с \[(0; 1)\cup(2; 3)\cup(4; 5)\cup ...\] при некоторых функциях \(f(x)\) и \(g(x)\), таких что у них совпадает область определения и на области определения всюду \(f(x) > 0\), \(g(x) > 0\)?

Добавить задание в избранное

ОДЗ:\[\begin{cases} f(x) > 0\\ g(x) > 0\\ \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} f(x)\leqslant g(x)\,. \end{aligned}\]

Таким образом, достаточно положить \(g(x) = f(x) + 1\), а \(f(x)\) выбрать так, чтобы \(f(x) > 0\) выполнялось на \((0; 1)\cup(2; 3)\cup(4; 5)\cup ...\).

Например, определим \(f(x)\) как функцию, область определения которой \((0; 1)\cup(2; 3)\cup(4; 5)\cup ...\) и на области определения \[f(x) = 1\] – при такой \(f(x)\) множество решений неравенства \[\log_2 f(x)\leqslant \log_2 \bigl(f(x) + 1\bigr)\] совпадает с требуемым в условии.

Ответ:

Да