Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Логарифмические неравенства с числовым основанием (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Стандартное логарифмическое неравенство \[{\Large{\log_a{f(x)}\geqslant \log_a{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases} f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(f(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.

 

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases}f(x)\leqslant g(x)\\f(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(g(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\Large{b=\log_a{a^b}}}\) можно любое число \(b\) представить в виде логарифма по необходимому нам основанию \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Может ли множество решений неравенства вида

\[\begin{aligned} \log_2 f(x)\leqslant \log_2 g(x) \end{aligned}\]

совпадать с \[(0; 1)\cup(2; 3)\cup(4; 5)\cup ...\] при некоторых функциях \(f(x)\) и \(g(x)\), таких что у них совпадает область определения и на области определения всюду \(f(x) > 0\), \(g(x) > 0\)?

Добавить задание в избранное

ОДЗ:\[\begin{cases} f(x) > 0\\ g(x) > 0\\ \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} f(x)\leqslant g(x)\,. \end{aligned}\]

Таким образом, достаточно положить \(g(x) = f(x) + 1\), а \(f(x)\) выбрать так, чтобы \(f(x) > 0\) выполнялось на \((0; 1)\cup(2; 3)\cup(4; 5)\cup ...\).

Например, определим \(f(x)\) как функцию, область определения которой \((0; 1)\cup(2; 3)\cup(4; 5)\cup ...\) и на области определения \[f(x) = 1\] – при такой \(f(x)\) множество решений неравенства \[\log_2 f(x)\leqslant \log_2 \bigl(f(x) + 1\bigr)\] совпадает с требуемым в условии.

Ответ:

Да