Решите неравенство
\[\begin{aligned} \log_{x^2}^2 3 - 2,75\log_{|x|} 3 + 7,5625 \leqslant 0 \end{aligned}\]
ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 > 0\\ x^2\neq 1\\ |x|\neq 1 \end{cases}\]
На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству
\[\begin{aligned} 0,25\log_{|x|}^2 3 - 2,75\log_{|x|} 3 + 7,5625 \leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{|x|}^2 3 - 11\log_{|x|} 3 + 30,25 \leqslant 0 \end{aligned}\]
Сделаем замену \(\log_{|x|} 3 = t\):
\[\begin{aligned} t^2 -11t + 30,25 \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad(t - 5,5)^2 \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t = 5,5, \end{aligned}\]
откуда на ОДЗ \[\log_{|x|} 3 = 5,5 = \log_{|x|}|x|^{5,5}\qquad\Leftrightarrow\qquad 3 = |x|^{\frac{11}{2}}\qquad\Leftrightarrow\qquad 3^{\frac{2}{11}} = |x|,\] откуда \[x = \pm 3^{\frac{2}{11}}\]– подходят по ОДЗ.
Ответ:
\(3^{\frac{2}{11}}, -3^{\frac{2}{11}}\)