Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 8 #2414
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(-x + 1)(x - 5)}{(x - 1)(x + 5)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 21.01.2020 в 09:00

Задание 9 #2415
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x + 3)(x^2 - 5)}{(2x - 3)(2x^2 - 5)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 21.01.2020 в 09:00

Задание 10 #2483
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac x{x-3}+\dfrac{x-5}x<\dfrac{2x}{3-x}\]

Перенесем слагаемые в одну сторону и приведем все дроби к общему знаменателю:

 

\(\dfrac x{x-3}+\dfrac{x-5}x-\dfrac{2x}{3-x}<0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac x{x-3}+\dfrac{x-5}x+\dfrac{2x}{x-3}<0 \quad \Rightarrow\)  

\(\dfrac{x\cdot x+(x-5)(x-3)+2x\cdot x}{(x-3)x}<0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{4x^2-8x+15}{x(x-3)}<0\)

 

Попробуем разложить числитель \(4x^2-8x+15\) на множители. Для этого решим уравнение \(4x^2-8x+15=0\). Т.к. дискриминант данного уравнения меньше нуля, то оно не имеет корней, следовательно, не разлагается на множители.
Таким образом, данный квадратичный трехчлен принимает значения строго одного знака: либо всегда положителен, либо отрицателен. Для того, чтобы найти этот знак, подставим любое число вместо \(x\), например, \(x=0\), и получим \(15>0\). Следовательно, для любого \(x\) выражение \(4x^2-8x+15>0\).

 

Т.к. мы имеем право делить неравенство на любое строго положительное выражение, то можно разделить правую и левую часть неравенства на \(4x^2-8x+15\), и тогда неравенство примет вид:

\[\dfrac1{x(x-3)}<0\]

Решим данное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, неравенству удовлетворяют \(x\in (0;3)\).

Ответ:

\((0;3)\)

Задание 11 #1621
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)(x^2 - 4)(2x - 8)}{(x - 7)(x + 2)(-x^2 - 16)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 21.01.2020 в 09:00

Задание 12 #2752
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{2x+3}{x^2+2x}-\dfrac{1-14x}{x^2-2x}+\dfrac{54}{(2-x)^2}\leqslant0\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 21.01.2020 в 09:00

Задание 13 #2484
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{x^2-6-x}{x^2-4}+\dfrac{2x-3}{2-x}+\dfrac{x^2}x\leqslant 0\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 21.01.2020 в 09:00

Задание 14 #2486
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство: \[\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x-2}\geqslant \dfrac1{x+1}-\dfrac1{x+2}\]

Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем:

 

\(\left(\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1}\right)-\left(\dfrac1{x-2}-\dfrac1{x+2}\right) \geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x+1-(x-1)}{(x-1)(x+1)}- \dfrac{x+2-(x-2)}{(x-2)(x+2)}\geqslant 0 \quad \Rightarrow\)  

\(\Rightarrow \quad \dfrac2{(x-1)(x+1)}-\dfrac{4}{(x-2)(x+2)}\geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac1{(x-1)(x+1)}-\dfrac2{(x-2)(x+2)}\geqslant 0\)  

Т.к. по формулам сокращенного умножения \((x-1)(x+1)=x^2-1\), \((x-2)(x+2)=x^2-4\), то:

 

\(\dfrac{x^2-4}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}-\dfrac{2(x^2-1)}{(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)} \geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x^2+2}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}\leqslant 0\)  

Заметим, что выражение \(x^2+2\) всегда \(\geqslant 2\), то есть положительно, значит, можно разделить неравенство на это выражение и получится:

\[\dfrac1{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}\leqslant 0\]

Решим данное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, подходят \(x\in (-2;-1)\cup(1;2)\).

Ответ:

\((-2;-1)\cup(1;2)\)