Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 8 #2414
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(-x + 1)(x - 5)}{(x - 1)(x + 5)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} (x - 1)(x + 5)\neq 0 \end{aligned}\]

Умножая исходное неравенство на \(-1\), получим равносильное неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)(x - 5)}{(x - 1)(x + 5)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x - 1)(x - 5) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 1,\qquad\qquad x = 5\]

2) Найдём нули знаменателя: \[(x - 1)(x + 5) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = 1\\ x = -5 \end{gathered} \right.\]

По методу интервалов:



откуда \[x\in(-5; 1)\cup(1; 5]\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\((-5; 1)\cup(1; 5]\)

Задание 9 #2415
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x + 3)(x^2 - 5)}{(2x - 3)(2x^2 - 5)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 29.04.2019 в 12:00

Задание 10 #2483
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac x{x-3}+\dfrac{x-5}x<\dfrac{2x}{3-x}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 29.04.2019 в 12:00

Задание 11 #1621
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)(x^2 - 4)(2x - 8)}{(x - 7)(x + 2)(-x^2 - 16)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 7\neq 0\\ x + 2\neq 0\\ -x^2 - 16\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x \neq 7\\ x \neq -2. \end{cases}\] Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 1)(x^2 - 4)(2x - 8) = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 1,\qquad\qquad x = \pm 2,\qquad\qquad x = 4.\]

2) Нули знаменателя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 7)(x + 2)(-x^2 - 16) = 0 \end{aligned}\]

Так как при любом \(x\) выполнено \(x^2\geqslant 0\), то при любом \(x\) выполнено \(-x^2 - 16 \leqslant -16 < 0\), тогда нули знаменателя: \[x = 7,\qquad\qquad x = -2.\]

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)(x - 2)(x + 2)(2x - 8)}{(x - 7)(x + 2)(-x^2 - 16)}\geqslant 0\ \Leftrightarrow\ \dfrac{(x - 1)(x - 2)(x + 2)(2x - 8)}{(x - 7)(x + 2)(x^2 + 16)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in [1;2]\cup [4; 7).\)
В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\([1;2]\cup [4; 7)\)

Задание 12 #2752
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{2x+3}{x^2+2x}-\dfrac{1-14x}{x^2-2x}+\dfrac{54}{(2-x)^2}\leqslant0\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 29.04.2019 в 12:00

Задание 13 #2484
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{x^2-6-x}{x^2-4}+\dfrac{2x-3}{2-x}+\dfrac{x^2}x\leqslant 0\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 29.04.2019 в 12:00

Задание 14 #2486
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство: \[\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x-2}\geqslant \dfrac1{x+1}-\dfrac1{x+2}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 29.04.2019 в 12:00