Решите неравенство
\[\begin{aligned} \dfrac{(-x + 1)(x - 5)}{(x - 1)(x + 5)}\geqslant 0 \end{aligned}\]
ОДЗ:
\[\begin{aligned} (x - 1)(x + 5)\neq 0 \end{aligned}\]
Умножая исходное неравенство на \(-1\), получим равносильное неравенство
\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)(x - 5)}{(x - 1)(x + 5)}\leqslant 0 \end{aligned}\]
Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.
1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x - 1)(x - 5) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 1,\qquad\qquad x = 5\]
2) Найдём нули знаменателя: \[(x - 1)(x + 5) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = 1\\ x = -5 \end{gathered} \right.\]
По методу интервалов:
откуда \[x\in(-5; 1)\cup(1; 5]\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).
Ответ:
\((-5; 1)\cup(1; 5]\)