Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 15 #2784
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{3x+5}{x^3-1}+\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{3-2x}{x^2-1}>0\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 29.04.2019 в 12:00

Задание 16 #2497
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{x-2}{4-3x^2}\leqslant \dfrac{x-2}{x^2-12}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 29.04.2019 в 12:00

Задание 17 #1549
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x^2 + 2x + 2)(25 - 10x + x^2)}{(x - 5)(17x^2 + 16)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 5\neq 0\\ 17x^2 + 16\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\neq 5.\] Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x^2 + 2x + 2)(25 - 10x + x^2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \bigl((x + 1)^2 + 1\bigr)(5 - x)^2 = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 5,\] так как при любом \(x\) выполнено \((x + 1)^2 + 1\geqslant 1 > 0\).

2) Нули знаменателя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 5)(17x^2 + 16) = 0 \end{aligned}\]

Так как при любом \(x\) выполнено \(x^2\geqslant 0\), то при любом \(x\) выполнено \(17x^2 + 16 > 0\), тогда нули знаменателя: \[x = 5.\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in (-\infty; 5).\)
В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\((-\infty; 5)\)

Задание 18 #2485
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x+1)(x+2)(x+3)}>1\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 29.04.2019 в 12:00

Задание 19 #2496
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac3{6x^2-x-12}\leqslant\dfrac{25x-47}{10x-15}-\dfrac3{3x+4}\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 29.04.2019 в 12:00

Задание 20 #3768
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\left(2x-3-\dfrac 5x\right)\cdot \left(\dfrac {14}{x+1}+2+(\sqrt{-1-2x})^2\right)\geqslant 0\]

(Задача от подписчиков)

Так как выражение \(\sqrt a\) имеет смысл тогда и только тогда, когда \(a\geqslant0\), то неравенство равносильно системе: \[\begin{cases} \left(2x-3-\dfrac 5x\right)\cdot \left(\dfrac {14}{x+1}+2-1-2x\right)\geqslant 0\\[2ex] -1-2x\geqslant 0\end{cases}\] Рассмотрим первое неравенство системы. Приведем слагаемые в каждой скобке к общему знаменателю: \[\dfrac{2x^2-3x-5}{x}\cdot \dfrac{14+2(x+1)+(-1-2x)(x+1)}{x+1}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x+1)(2x-5)}{x}\cdot \dfrac{(x+3)(2x-5)}{x+1}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов. Нулями числителя и знаменателя являются \(x=-3; x=-1; x=0; x=\frac52\), причем в точках \(x=\frac52\) и \(x=-1\) знак меняться не будет, так как это корни кратности 2:
Следовательно, решением первого неравенства будут \(x\in [-3;-1)\cup(-1;0)\cup\left\{\frac52\right\}\). Пересекая это решение с решением второго неравенства системы (\(x\leqslant -\frac12\)), получаем окончательный ответ \[x\in [-3;-1)\cup\left(-1;-\frac12\right]\]

Ответ:

\([-3;-1)\cup\left(-1;-\frac12\right]\)

Задание 21 #1547
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 5)(x^2 - 15)}{(x - 7)(x^2 + 2\pi)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 7\neq 0\\ x^2 + 2\pi\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\neq 7.\] Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 5)(x^2 - 15) = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 5,\qquad\qquad x = \pm\sqrt{15}\]

2) Нули знаменателя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 7)(x^2 + 2\pi) = 0 \end{aligned}\]

Так как при любом \(x\) выполнено \(x^2\geqslant 0\), то при любом \(x\) выполнено \(x^2 + 2\pi \geqslant 2\pi > 0\), тогда нули знаменателя: \[x = 7.\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in (-\infty; -\sqrt{15}]\cup [\sqrt{15}; 5]\cup (7; +\infty).\)
В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\((-\infty; -\sqrt{15}]\cup [\sqrt{15}; 5]\cup (7; +\infty)\)