Решите неравенство \[\dfrac{3x+5}{x^3-1}+\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{3-2x}{x^2-1}>0\]
По формуле разности кубов \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\), по формуле разности квадратов \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Преобразуем неравенство:
\(\dfrac{3x+5}{(x-1)(x^2+x+1)}+\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{3-2x}{(x-1)(x+1)}>0 \quad \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \quad \dfrac{(3x+5)(x+1)+(2x+1)(x-1)(x+1)+(3-2x)(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)}>0 \quad \Rightarrow \)
\(\Rightarrow\quad \dfrac{(3x^2+8x+5)+(2x^3+x^2-2x-1)+(3x^2+3x+3-2x^3-2x^2-2x)}{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)}>0 \quad \Rightarrow \)
\(\Rightarrow \quad \dfrac{5x^2+7x+7}{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)}>0\)
Попробуем разложить на множители выражения \(5x^2+7x+7\) и \(x^2+x+1\), для этого решим уравнения \(5x^2+7x+7=0\) и \(x^2+x+1=0\). Дискриминанты обоих уравнений отрицательны, следовательно, корней данные уравнения не имеют. Значит, каждый из данных квадратичных трехчленов всегда принимает значения одного знака: либо положителен, либо отрицателен. Подставив любое число вместо \(x\), например, \(x=0\), в каждый трехчлен, видим, что они оба положительны. Значит, можно разделить правую и левую части неравенства на оба этих положительных выражения:
\[\dfrac1{(x-1)(x+1)}>0\]
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, нам подходят \(x\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\).
Ответ:
\((-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\)