Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{3x+5}{x^3-1}+\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{3-2x}{x^2-1}>0\]

Добавить задание в избранное

По формуле разности кубов \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\), по формуле разности квадратов \(x^2-1=(x-1)(x+1)\). Преобразуем неравенство:

 

\(\dfrac{3x+5}{(x-1)(x^2+x+1)}+\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{3-2x}{(x-1)(x+1)}>0 \quad \Rightarrow\)  

\(\Rightarrow \quad \dfrac{(3x+5)(x+1)+(2x+1)(x-1)(x+1)+(3-2x)(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)}>0 \quad \Rightarrow \)  

\(\Rightarrow\quad \dfrac{(3x^2+8x+5)+(2x^3+x^2-2x-1)+(3x^2+3x+3-2x^3-2x^2-2x)}{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)}>0 \quad \Rightarrow \)  

\(\Rightarrow \quad \dfrac{5x^2+7x+7}{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)}>0\)  

Попробуем разложить на множители выражения \(5x^2+7x+7\) и \(x^2+x+1\), для этого решим уравнения \(5x^2+7x+7=0\) и \(x^2+x+1=0\). Дискриминанты обоих уравнений отрицательны, следовательно, корней данные уравнения не имеют. Значит, каждый из данных квадратичных трехчленов всегда принимает значения одного знака: либо положителен, либо отрицателен. Подставив любое число вместо \(x\), например, \(x=0\), в каждый трехчлен, видим, что они оба положительны. Значит, можно разделить правую и левую части неравенства на оба этих положительных выражения:

\[\dfrac1{(x-1)(x+1)}>0\]

Решим полученное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, нам подходят \(x\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\)

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{x-2}{4-3x^2}\leqslant \dfrac{x-2}{x^2-12}\]

Добавить задание в избранное

Перенесем слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:   \(\dfrac{(x-2)(x^2-12)-(x-2)(4-3x^2)}{(4-3x^2)(x^2-12)}\leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{(x-2)(4x^2-16)}{(3x^2-4)(x^2-12)}\geqslant 0 \quad \Rightarrow \)   \(\Rightarrow\quad \dfrac{(x-2)\cdot 4(x-2)(x+2)}{(\sqrt3x-2)(\sqrt3x+2)(x-2\sqrt3)(x+2\sqrt3)}\geqslant 0\)  

Решим полученное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, решением неравенства будут \(x\in (-2\sqrt3;-2]\cup\left(-\frac2{\sqrt3};\frac2{\sqrt3}\right) \cup\{2\}\cup(2\sqrt3;+\infty)\).

Ответ:

\((-2\sqrt3;-2]\cup\left(-\frac2{\sqrt3};\frac2{\sqrt3}\right) \cup\{2\}\cup(2\sqrt3;+\infty)\)

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x^2 + 2x + 2)(25 - 10x + x^2)}{(x - 5)(17x^2 + 16)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 5\neq 0\\ 17x^2 + 16\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\neq 5.\] Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x^2 + 2x + 2)(25 - 10x + x^2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \bigl((x + 1)^2 + 1\bigr)(5 - x)^2 = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 5,\] так как при любом \(x\) выполнено \((x + 1)^2 + 1\geqslant 1 > 0\).

2) Нули знаменателя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 5)(17x^2 + 16) = 0 \end{aligned}\]

Так как при любом \(x\) выполнено \(x^2\geqslant 0\), то при любом \(x\) выполнено \(17x^2 + 16 > 0\), тогда нули знаменателя: \[x = 5.\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in (-\infty; 5).\)
В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\((-\infty; 5)\)

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x+1)(x+2)(x+3)}>1\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Добавить задание в избранное

Перенесем \(1\) в левую часть и приведем слагаемые к общему знаменателю:

 

\(\dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(x+1)(x+2)(x+3)}-1>0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)-(x+1)(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)}>0 \quad \Rightarrow\)  

\(\dfrac{(x^3-3x^2+2x-3x^2+9x-6)-(x^3+3x^2+2x+3x^2+9x+6)}{(x+1)(x+2)(x+3)}>0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{-12(x^2+1)}{(x+1)(x+2)(x+3)}>0\)  

Заметим, что выражение \(x^2+1\) всегда \(\geqslant 1\), то есть всегда положительно, значит, можно разделить обе части неравенства на это выражение:

\[\dfrac{-12}{(x+1)(x+2)(x+3)}>0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac1{(x+1)(x+2)(x+3)}<0\]

Решим неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, нам подходят \(x\in (-\infty;-3)\cup(-2;-1)\).

Ответ:

\((-\infty;-3)\cup(-2;-1)\)

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac3{6x^2-x-12}\leqslant\dfrac{25x-47}{10x-15}-\dfrac3{3x+4}\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Добавить задание в избранное

Разложим на множители \(6x^2-x-12\), для этого решим уравнение \[6x^2-x-12=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=-\dfrac43 \quad \text{и}\quad x_2=\dfrac32.\]

Значит, выражение можно записать в виде: \(6\left(x+\frac43\right)\left(x-\frac32\right)=(3x+4)(2x-3)\).

 

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:   \(\dfrac3{(3x+4)(2x-3)}-\dfrac{25x-47}{5(2x-3)}+\dfrac3{3x+4}\leqslant0 \quad \Rightarrow \)   \(\Rightarrow\quad \dfrac{15-(25x-47)(3x+4)+15(2x-3)}{5(3x+4)(2x-3)}\leqslant0 \quad \Rightarrow \)   \(\Rightarrow \quad \dfrac{-75x^2+71x+158}{5(3x+4)(2x-3)}\leqslant0\)  

Разложим на множители \(-75x^2+71x+158\), для этого решим уравнение

\[-75x^2+71x+158=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=-\dfrac{79}{75} \quad \text{и} \quad x_2=2.\]

Следовательно, выражение можно переписать в виде \(-75\left(x+\frac{79}{75}\right)(x-2)=-(75x+79)(x-2)\). Тогда неравенство примет вид \[\dfrac{-(75x+79)(x-2)}{5(3x+4)(2x-3)}\leqslant0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{(75x+79)(x-2)}{(3x+4)(2x-3)}\geqslant 0\]

Решим полученное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, решением неравенства являются \(x\in \left(-\infty;-\frac43\right)\cup\left[-\frac{79}{75};\frac32\right) \cup[2;+\infty)\).

Ответ:

\(\left(-\infty;-\frac43\right)\cup \left[-\frac{79}{75};\frac32\right)\cup[2;+\infty)\)

Задание 20
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\left(2x-3-\dfrac 5x\right)\cdot \left(\dfrac {14}{x+1}+2+(\sqrt{-1-2x})^2\right)\geqslant 0\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Так как выражение \(\sqrt a\) имеет смысл тогда и только тогда, когда \(a\geqslant0\), то неравенство равносильно системе: \[\begin{cases} \left(2x-3-\dfrac 5x\right)\cdot \left(\dfrac {14}{x+1}+2-1-2x\right)\geqslant 0\\[2ex] -1-2x\geqslant 0\end{cases}\] Рассмотрим первое неравенство системы. Приведем слагаемые в каждой скобке к общему знаменателю: \[\dfrac{2x^2-3x-5}{x}\cdot \dfrac{14+2(x+1)+(-1-2x)(x+1)}{x+1}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x+1)(2x-5)}{x}\cdot \dfrac{(x+3)(2x-5)}{x+1}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов. Нулями числителя и знаменателя являются \(x=-3; x=-1; x=0; x=\frac52\), причем в точках \(x=\frac52\) и \(x=-1\) знак меняться не будет, так как это корни кратности 2:
Следовательно, решением первого неравенства будут \(x\in [-3;-1)\cup(-1;0)\cup\left\{\frac52\right\}\). Пересекая это решение с решением второго неравенства системы (\(x\leqslant -\frac12\)), получаем окончательный ответ \[x\in [-3;-1)\cup\left(-1;-\frac12\right]\]

Ответ:

\([-3;-1)\cup\left(-1;-\frac12\right]\)

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 5)(x^2 - 15)}{(x - 7)(x^2 + 2\pi)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 7\neq 0\\ x^2 + 2\pi\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\neq 7.\] Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 5)(x^2 - 15) = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 5,\qquad\qquad x = \pm\sqrt{15}\]

2) Нули знаменателя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 7)(x^2 + 2\pi) = 0 \end{aligned}\]

Так как при любом \(x\) выполнено \(x^2\geqslant 0\), то при любом \(x\) выполнено \(x^2 + 2\pi \geqslant 2\pi > 0\), тогда нули знаменателя: \[x = 7.\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in (-\infty; -\sqrt{15}]\cup [\sqrt{15}; 5]\cup (7; +\infty).\)
В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\((-\infty; -\sqrt{15}]\cup [\sqrt{15}; 5]\cup (7; +\infty)\)

1 2 3 4 .... 6