Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{3x^4 + 6x^2 + 2}{2x^4 + 5x^2 + 1} \geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} 2x^4 + 5x^2 + 1 \neq 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(x^2 = t\geqslant 0\):

\[\begin{aligned} \dfrac{3t^2 + 6t + 2}{2t^2 + 5t + 1} \geqslant 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя:\[3t^2 + 6t + 2 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad t = -1 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}\] – оба корня отрицательные, следовательно, \(3t^2 + 6t + 2 > 0\) – при любом \(t\geqslant 0\).

Найдём нули знаменателя:\[2t^2 + 5t + 1 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad t = -\dfrac{\sqrt{25}}{4} \pm \dfrac{\sqrt{17}}{4}\] – оба корня отрицательные, следовательно, \(2t^2 + 5t + 1 > 0\) – при любом \(t\geqslant 0\).

Таким образом, и числитель и знаменатель дроби в левой части исходного неравенства положительны при любых \(x\in\mathbb{R}\), следовательно, ответ:\[x\in(-\infty; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; +\infty)\)

Задание 23
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{x^6 + x^3 - 2}{x^4 - x^2 + 1} \geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^4 - x^2 + 1 \neq 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя: \[x^6 + x^3 - 2 = 0\] Сделаем замену \(x^3 = t\): \[t^2 + t - 2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t = \dfrac{-1\pm 3}{2}\] тогда \[\left[ \begin{gathered} x^3 = -2\\ x^3 = 1 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = -\sqrt[3]{2}\\ x = 1 \end{gathered} \right.\]

При произвольном \(a\) \[x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2) = (x + a)((x - 0,5a)^2 + 0,75a^2),\] тогда при \(a\neq 0\) знак суммы \(x^3 + a^3\) совпадает со знаком \(x + a\).

 

Найдём нули знаменателя: \[x^4 - x^2 + 1 = 0\] Сделаем замену \(x^2 = t\geqslant 0\): \[t^2 - t + 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t - 0,5)^2 + 0,75 = 0,\] но \((t - 0,5)^2 + 0,75 > 0\), следовательно, знаменатель левой части исходного неравенства положителен при любых \(x\in\mathbb{R}\).

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} (x - 1)(x + \sqrt[3]{2})\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда ответ с учётом ОДЗ:\[x\in(-\infty; -\sqrt[3]{2}]\cup[1; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; -\sqrt[3]{2}]\cup[1; +\infty)\)

Задание 24
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{x^3 + 3x + 14}{x^2 - 5x + 7}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^2 - 5x + 7\neq 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя: \[x^3 + 3x + 14 = 0\] Можно угадать корень \(x = -2\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(x - x_0\), где \(x_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} x^3+0x^2+3x+14&&\negthickspace\underline{\qquad x+2 \qquad}\\ \underline{x^3+ 2x^2\,} \phantom{000000000}&&\negthickspace \ x^2 - 2x + 2\\[-3pt] -2x^2 + 3x\phantom{0000}&&\\ \underline{-2x^2 - 4x}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 7x +14 &&\\ \underline{7x +14}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Так как \[x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 > 0\,,\] то полное разложение числителя на множители: \[x^3 + 3x + 14 = (x + 2)(x^2 - 2x + 2)\]

Найдём нули знаменателя: \[x^2 - 5x + 7 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x - 2,5)^2 + 0,75 = 0,\] но \((x - 2,5)^2 + 0,75 > 0\), следовательно, знаменатель левой части исходного неравенства положителен при любом \(x\).

В итоге исходное неравенство равносильно \[\dfrac{(x + 2)(x^2 - 2x + 2)}{x^2 - 5x + 7}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x + 2\geqslant 0\,.\] Так как по ОДЗ подходят любые \(x\in\mathbb{R}\), то окончательный ответ: \(x\geqslant -2\,.\)

Ответ:

\([-2; +\infty)\)

Задание 25
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}{x^2 - 5} - \dfrac{5 - x^2}{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}\geqslant 2. \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 - 5\neq 0\\ x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8\neq 0 \end{cases}\] Подробнее рассмотрим левую часть второго неравенства из ОДЗ:

\[\begin{aligned} &x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) + (2x^2 + 8x + 8) =\\ &= x^2(x^2 + 4x + 4) + 2(x^2 + 4x + 4) = (x^2 + 2)(x^2 + 4x + 4) = (x^2 + 2)(x + 2)^2. \end{aligned}\]

Таким образом, ОДЗ: \[\begin{cases} x\neq \pm\sqrt{5}\\ x\neq -2\,. \end{cases}\] Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}{x^2 - 5} + \dfrac{x^2 - 5}{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}\geqslant 2. \end{aligned}\]

Обозначим \[\dfrac{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}{x^2 - 5} = y\] Тогда последнее неравенство на ОДЗ примет вид

\[\begin{aligned} y + \dfrac{1}{y}\geqslant 2.\qquad\qquad(\ast) \end{aligned}\]

Рассмотрим три случая:
1) \(y > 0\), тогда неравенство \((\ast)\) равносильно \[y^2 + 1\geqslant 2y\qquad\Leftrightarrow\qquad y^2 - 2y + 1\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 1)^2\geqslant 0,\] то есть все \(y > 0\) являются его решениями (так как \(z^2\geqslant 0\) – при любом \(z\)).
2) \(y = 0\), тогда левая часть неравенства \((\ast)\) не определена.
3) \(y < 0\), тогда неравенство \((\ast)\) равносильно \[y^2 + 1\leqslant 2y\qquad\Leftrightarrow\qquad y^2 - 2y + 1\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 1)^2\leqslant 0,\] но при \(y\neq 1\) выполнено \((y - 1)^2 > 0\), то есть среди \(y < 0\) решений нет.

 

Таким образом, на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}{x^2 - 5} > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{(x^2 + 2)(x + 2)^2}{x^2 - 5} > 0. \end{aligned}\]

Числитель последнего неравенства положителен на ОДЗ, тогда оно (а, значит, и исходное неравенство) на ОДЗ равносильно неравенству \[x^2 - 5 > 0,\] решениями которого будут \(x\in(-\infty; -\sqrt{5})\cup(\sqrt{5}; +\infty).\)
Пересечём его решения с ОДЗ: \[x\in(-\infty; -\sqrt{5})\cup(\sqrt{5}; +\infty).\]

Ответ:

\((-\infty; -\sqrt{5})\cup(\sqrt{5}; +\infty)\)

Задание 26
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\left(\dfrac{x^2}8+\dfrac{3x}4+\dfrac32+\dfrac1x\right)\cdot \left( 1-x-\dfrac{(x-2)^2(1-x)}{(x+2)^2}\right)>0\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Добавить задание в избранное

Приведем в каждой скобке дроби к общему знаменателю:   \(\dfrac{x^3+6x^2+12x+8}{8x}\cdot \dfrac{(1-x)(x+2)^2-(x-2)^2(1-x)}{(x+2)^2}>0 \quad \Rightarrow\)   \(\Rightarrow \quad \dfrac{(x+2)^3(1-x)((x+2)^2-(x-2)^2)}{8x(x+2)^2}>0\)  

По формуле разности квадратов можно преобразовать выражение \((x+2)^2-(x-2)^2=(x+2-(x-2))(x+2+x-2)=4\cdot 2x=8x\).
Тогда неравенство примет вид:

\[\dfrac{(x+2)^3(1-x)\cdot 8x}{8x(x+2)^2}>0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{(x+2)^3(x-1)x}{x(x+2)^2}<0\]

Решим данное неравенство методом интервалов (заметим, что в точке \(0\) знак меняться не будет, т.к. эта точка имеет четную кратность):


 

Таким образом, подходит \(x\in (-2;0)\cup(0;1]\).

Ответ:

\((-2;0)\cup(0;1]\)

Задание 27
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac1{x^2-4}+\dfrac4{2x^2+7x+6}\leqslant \dfrac1{2x+3}+\dfrac4{2x^3+3x^2-8x-12}\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Добавить задание в избранное

Разложим на множители выражения \(2x^2+7x+6 \ \) и \( \ 2x^3+3x^2-8x-12\).
Решим сначала уравнение \[2x^2+7x+6=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=-2\quad\text{и}\quad x_2=-\dfrac32.\] Тогда выражение можно переписать в виде \[2x^2+7x+6=2\left(x+\frac32\right)(x+2)=(2x+3)(x+2).\]

Решим уравнение \[2x^3+3x^2-8x-12=0\] Оно является кубическим. Т.к. остальные знаменатели содержат скобки \((x-2)\), \((x+2)\), \((2x+3)\), то попробуем найти корень этого уравнения среди чисел \(2, -2, -\frac32\). Для этого подставим каждое число в уравнение и проверим, обращается ли оно в верное тождество. \[\begin{aligned} &2\cdot2^3+3\cdot 2^2-8\cdot 2-12=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\\[2ex] &2\cdot (-2)^3+2\cdot (-2)^2-8\cdot (-2)-12=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\\[2ex] &2\cdot \left(-\frac32\right)^3+3\cdot \left(-\frac32\right)^2-8\cdot \left(-\frac32\right)-12=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0 \end{aligned}\]

Таким образом, каждое из чисел \(2, -2, -\frac32\) является корнем уравнения \(2x^3+3x^2-8x-12=0\). А т.к. это уравнение может иметь максимум 3 корня, то это и есть все его корни, то есть выражение \[2x^3+3x^2-8x-12=2(x-2)(x+2)\left(x+\frac32\right)=(x-2)(x+2)(2x+3).\]

Таким образом, неравенство принимает вид:   \(\dfrac1{(x+2)(x-2)}+\dfrac4{(x+2)(2x+3)}\leqslant \dfrac1{2x+3}+ \dfrac4{(x-2)(x+2)(2x+3)} \quad \Rightarrow\)   \(\Rightarrow \quad \dfrac{-x^2+6x-5}{(x-2)(x+2)(2x+3)}\leqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{(x-1)(x-5)}{(x-2)(x+2)(2x+3)}\geqslant 0\)  

Решим полученное неравенство методом интервалов:


 

Следовательно, решением неравенства будут \(x\in \left(-2;-\frac32\right)\cup\left[1;2\right)\cup[5;+\infty)\).

Ответ:

\(\left(-2;-\frac32\right)\cup\left[1;2\right)\cup[5;+\infty)\)

Задание 28
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{x^5 + 4x^3 - 5x}{x^3 + 5x - 42} \leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^3 + 5x - 42 \neq 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя: \[x^5 + 4x^3 - 5x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x(x^4 + 4x^2 - 5) = 0\] Решим уравнение \(x^4 + 4x^2 - 5 = 0\) при помощи замены \(x^2 = t\geqslant 0\): \[t^2 + 4t - 5 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t = -2 \pm 3,\] откуда \(x^2 = 1\), следовательно, \(x = \pm 1\).

 

Найдём нули знаменателя: \[x^3 + 5x - 42 = 0\] Можно угадать корень \(x = 3\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(x - x_0\), где \(x_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} x^3+0x^2+5x-42&&\negthickspace\underline{\qquad x-3 \qquad}\\ \underline{x^3 - 3x^2} \phantom{000000000}&&\negthickspace \ x^2 + 3x + 14\\[-3pt] 3x^2 + 5x\,\phantom{0000}&&\\ \underline{3x^2 - 9x\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 14x - 42 &&\\ \underline{14x - 42}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Так как \[x^2 + 3x + 14 = (x + 1,5)^2 + 11,75 > 0\,,\] то полное разложение знаменателя на множители: \[x^3 + 5x - 42 = (x - 3)(x^2 + 3x + 14)\]

По методу интервалов



откуда ответ с учётом ОДЗ:\[x\in[-1; 0]\cup[1; 3)\,.\]

Ответ:

\([-1; 0]\cup[1; 3)\)

1 .... 3 4 5 6