Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{x^3 - 3\pi x^2 + 3\pi^2 x - \pi^3}{x^3 + 2ex^2 + 3x + 6e} > 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^3 + 2ex^2 + 3x + 6e\neq 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя: \[x^3 - 3\pi x^2 + 3\pi^2 x - \pi^3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x - \pi)^3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \pi\]

Найдём нули знаменателя:

\[\begin{aligned} &x^3 + 2ex^2 + 3x + 6e = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2(x + 2e) + 3(x + 2e) = 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (x^2 + 3)(x + 2e) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -2e\,. \end{aligned}\]

Так как при любом \(x\in\mathbb{R}\) выполнено \(x^2 + 3 > 0\), то исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - \pi)^3}{x + 2e} > 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



таким образом, с учётом ОДЗ ответ: \[x\in(-\infty; -2e)\cup(\pi; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; -2e)\cup(\pi; +\infty)\)

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{1}{(x-\sqrt{2})^2} + 3x^2 -2\sqrt{2}x + 2 + 2\bigl(-2x(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} + 1)^2\bigr)\leqslant 2. \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[x\neq \sqrt{2}.\] Преобразуем исходное неравенство:

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{(x-\sqrt{2})^2} + 3x^2 -2\sqrt{2}x + 2 + 2\bigl(-2x(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} + 1)^2\bigr)\leqslant 2\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad&\dfrac{1}{(x-\sqrt{2})^2} + (x^2 -2\sqrt{2}x + 2) + 2\bigl(x^2 - 2x(\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} + 1)^2\bigr)\leqslant 2\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad&\dfrac{1}{(x-\sqrt{2})^2} + (x - \sqrt{2})^2 + 2\bigl(x - (\sqrt{2} + 1)\bigr)^2\leqslant 2. \end{aligned}\]

Покажем, что при любом \(x\neq \sqrt{2}\) выполнено \[\dfrac{1}{(x - \sqrt{2})^2} + (x - \sqrt{2})^2\geqslant 2,\] причём равенство достигается только при \(x = \pm 1 + \sqrt{2}\):

 

при \(x\neq \sqrt{2}\):

\[\begin{aligned} &\dfrac{1}{(x - \sqrt{2})^2} + (x - \sqrt{2})^2\geqslant 2 \qquad\Leftrightarrow\qquad 1 + (x - \sqrt{2})^4 - 2(x - \sqrt{2})^2\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \bigl((x - \sqrt{2})^2\bigr)^2 - 2\cdot(x - \sqrt{2})^2 + 1\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad ((x - \sqrt{2})^2 - 1)^2\geqslant 0, \end{aligned}\]

что верно при всех допустимых \(x\). Равенство имеет место только при \((x - \sqrt{2})^2 = 1\) (это легко проверить аналогичным способом).

 

Таким образом, при всех \(x\neq \sqrt{2}\) выполнено \[\dfrac{1}{(x - \sqrt{2})^2} + (x - \sqrt{2})^2\geqslant 2,\] причём равенство достигается только при \((x - \sqrt{2})^2 = 1\), то есть при \(x = \pm 1 + \sqrt{2}\).

Так как при любом \(x\) выполнено \(2\bigl(x - (\sqrt{2} + 1)\bigr)^2\geqslant 0\), то с учётом доказанного утверждения неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{1}{(x-\sqrt{2})^2} + (x - \sqrt{2})^2 + 2\bigl(x - (\sqrt{2} + 1)\bigr)^2\leqslant 2 \end{aligned}\]

может выполняться только при \(x = \pm 1 + \sqrt{2}\).
При \(x = 1\) имеем:

\[\begin{aligned} \dfrac{1}{1} + 1 + 0\leqslant 2 \end{aligned}\]

– верно.
При \(x = -1\) имеем:

\[\begin{aligned} \dfrac{1}{1} + 1 + 8\leqslant 2 \end{aligned}\]

– неверно.

В итоге, ответ: \[x = 1 + \sqrt{2}.\]

Ответ:

\(1 + \sqrt{2}\)

Задание 31
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В неравенстве

\[\begin{aligned} \dfrac{(-x - A)(x - B)}{(x + C)(x^2 + D)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

расставьте вместо \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) числа \(-1\), \(1\), \(0\), \(2\) так, чтобы ответом полученного неравенства служило множество \((-\infty; -2)\cup\{-1\}\). Приведите хотя бы один способ расстановки.

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x\neq -C\\ x^2 + D\neq 0 \end{cases} \end{aligned}\]

Умножая исходное неравенство на \(-1\), получим равносильное неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x + A)(x - B)}{(x + C)(x^2 + D)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Покажем, что, например, подходит неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x + 1)(x - (-1))}{(x + 2)(x^2 + 0)}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{(x + 1)^2}{x^2(x + 2)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = -1\]

2) Найдём нули знаменателя: \[x^2(x + 2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = -2\\ x = 0 \end{gathered} \right.\]

По методу интервалов:



откуда и получаем требуемый ответ \[x\in(-\infty; -2)\cup\{-1\}\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\(A = 1,\, B = -1,\, C = 2,\, D = 0\)

Задание 32
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В неравенстве

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)\cdot f(x)}{(x + 1)(x^2 - e)} > 0 \end{aligned}\]

вставьте вместо \(f(x)\) функцию, определённую на \(\mathbb{R}\) такую, чтобы ответом полученного неравенства служило множество \((-\infty; -2)\). Приведите хотя бы один пример такой \(f(x)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x\neq -1\\ x^2 - e\neq 0 \end{cases} \end{aligned}\]

Покажем, что в качестве искомой функции подходит \(f(x) = -(x - 1)(x + 1)(x^2 - e)(x + 2)\):

исходное неравенство примет вид

\[\begin{aligned} -\dfrac{(x - 1)(x - 1)(x + 1)(x^2 - e)(x + 2)}{(x + 1)(x^2 - e)} > 0\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{(x - 1)^2(x + 1)(x^2 - e)(x + 2)}{(x + 1)(x^2 - e)} < 0 \end{aligned}\]

Последнее неравенство на ОДЗ равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)^2(x + 2)}{1} < 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x - 1)^2(x + 2) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 1,\qquad\qquad x = -2\]

2) Знаменатель нигде не обращается в \(0\).

По методу интервалов:



откуда \(x\in(-\infty; -2)\,.\) Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим требуемое: \[x\in(-\infty; -2)\,.\]

Ответ:

\(f(x) = -(x - 1)(x + 1)(x^2 - e)(x + 2)\)

Задание 33
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 2)(x - 2^2)\cdot...\cdot(x - 2^{2016})}{(x - 4)(x - 4^2)\cdot ...\cdot (x - 4^{1008})}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 4\neq 0\\ x - 4^2\neq 0\\ \dots\\ x - 4^{1008}\neq 0 \end{cases}\] Так как \(2^{2k} = 4^k\), то на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} (x - 2)(x - 2^3)(x - 2^5)\cdot...\cdot(x - 2^{2015})\leqslant 0 \label{Res} \end{aligned}\]

Заметим, что количество скобок, участвующих в произведении – чётно (в произведении участвуют скобки вида \((x - 2^{2n - 1})\), где \(n\) пробегает всевозможные натуральные значения от \(1\) до \(1008\), то есть, скобок \(1008\)).

 

Решим последнее неравенство на ОДЗ методом интервалов. Для этого найдём нули левой части.

\[\begin{aligned} (x - 2)(x - 2^3)\cdot...\cdot(x - 2^{2015}) = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули левой части: \[x = 2,\qquad x = 2^3,\qquad ..,\qquad x = 2^{2015}.\]

По методу интервалов:



Здесь знаки чередуются.

При \(x > 2^{2016}\) выражение  положительно, тогда при учёте чётности количества скобок и того, что кратность каждого корня в произведении равна \(1\), получаем, что при \(x < 2\) выражение  также положительно, откуда \[x\in [2; 2^2)\cup(2^2; 2^3]\cup[2^5; 2^6)\cup(2^6; 2^7]\cup ...\cup [2^{2013}; 2^{2014})\cup(2^{2014}; 2^{2015}].\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\([2; 2^2)\cup(2^2; 2^3]\cup[2^5; 2^6)\cup(2^6; 2^7]\cup ...\cup [2^{2013}; 2^{2014})\cup(2^{2014}; 2^{2015}]\)

Задание 34
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{x^2-4x+4}{(x+1)^2}+\dfrac{x^2+6x+9}{(x-1)^2}\leqslant \dfrac{(2x^2+x+5)^2}{2(x^2-1)^2}\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Неравенство можно переписать в виде: \[\dfrac{(x-2)^2}{(x+1)^2}+\dfrac{(x+3)^2}{(x-1)^2}\leqslant \dfrac{(2x^2+x+5)^2}{2(x^2-1)^2}\] Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю: \[\begin{aligned} &\dfrac{\Big((x-2)(x-1)\Big)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}+ \dfrac{\Big((x+3)(x+1)\Big)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\leqslant \dfrac{(2x^2+x+5)^2}{2(x^2-1)^2}\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2-3x+2)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}+ \dfrac{(x^2+4x+3)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\leqslant \dfrac{(2x^2+x+5)^2}{2(x+1)^2(x-1)^2} \end{aligned}\] Заметим, что \[(x^2-3x+2)+(x^2+4x+3)=2x^2+x+5\] Сделаем замену (для удобства): \(a=x^2-3x+2\), \(b=x^2+4x+3\), \(c=(x+1)(x-1)\). Тогда неравенство можно переписать в виде: \[\begin{aligned} &\dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\leqslant \dfrac{(a+b)^2}{2c^2} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{a^2}{c^2}+ \dfrac{b^2}{c^2}\leqslant \dfrac{a^2}{2c^2}+\dfrac{2ab}{2c^2}+\dfrac{b^2}{2c^2} \quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad \dfrac{a^2}{2c^2}-\dfrac{2ab}{2c^2}+\dfrac{b^2}{2c^2}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(a-b)^2}{2c^2}\leqslant 0 \ \Big|\cdot 2\quad\Leftrightarrow\quad \left(\dfrac{a-b}{c}\right)^2\leqslant 0 \end{aligned}\] Так как \(f^2\geqslant 0\) при любых \(f\), то данное неравенство равносильно \[\dfrac{a-b}{c}=0\] Сделаем обратную замену: \[\dfrac{x^2-3x+2-x^2-4x-3}{(x-1)(x+1)}=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=-\dfrac17\]

Ответ:

\(x\in \left\{-\frac17\right\}\)

Задание 35
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Придумайте определённые на \(\mathbb{R}\) функции \(f_1(x), g_1(x), f_2(x), g_2(x)\) такие, что решением неравенства \[\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}\geqslant \dfrac{f_2(x)}{g_2(x)}\] будет множество \((-1; 1)\cup\{2\}\).

Добавить задание в избранное

В качестве ответа подходит неравенство \[\dfrac{-(x - 2)^2}{x^2 - 1}\geqslant 0.\] Оно равносильно неравенству \[\dfrac{(x - 2)^2}{x^2 - 1}\leqslant 0.\] Убедиться в том, что последнее неравенство подходит, можно при помощи метода интервалов:



тогда \(x\in(-1; 1)\cup\{2\}\).

Ответ:

Например, \(f_1(x) = -(x - 2)^2,\qquad g_1(x) = x^2 - 1,\qquad f_2(x) = 0,\qquad g_2(x) = 1\)

1 .... 4 5 6