Решите неравенство \[\dfrac{x^2-4x+4}{(x+1)^2}+\dfrac{x^2+6x+9}{(x-1)^2}\leqslant \dfrac{(2x^2+x+5)^2}{2(x^2-1)^2}\]
(Задача от подписчиков)
Неравенство можно переписать в виде: \[\dfrac{(x-2)^2}{(x+1)^2}+\dfrac{(x+3)^2}{(x-1)^2}\leqslant \dfrac{(2x^2+x+5)^2}{2(x^2-1)^2}\] Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю: \[\begin{aligned} &\dfrac{\Big((x-2)(x-1)\Big)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}+ \dfrac{\Big((x+3)(x+1)\Big)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\leqslant \dfrac{(2x^2+x+5)^2}{2(x^2-1)^2}\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2-3x+2)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}+ \dfrac{(x^2+4x+3)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\leqslant \dfrac{(2x^2+x+5)^2}{2(x+1)^2(x-1)^2} \end{aligned}\] Заметим, что \[(x^2-3x+2)+(x^2+4x+3)=2x^2+x+5\] Сделаем замену (для удобства): \(a=x^2-3x+2\), \(b=x^2+4x+3\), \(c=(x+1)(x-1)\). Тогда неравенство можно переписать в виде: \[\begin{aligned} &\dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\leqslant \dfrac{(a+b)^2}{2c^2} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{a^2}{c^2}+ \dfrac{b^2}{c^2}\leqslant \dfrac{a^2}{2c^2}+\dfrac{2ab}{2c^2}+\dfrac{b^2}{2c^2} \quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad \dfrac{a^2}{2c^2}-\dfrac{2ab}{2c^2}+\dfrac{b^2}{2c^2}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(a-b)^2}{2c^2}\leqslant 0 \ \Big|\cdot 2\quad\Leftrightarrow\quad \left(\dfrac{a-b}{c}\right)^2\leqslant 0 \end{aligned}\] Так как \(f^2\geqslant 0\) при любых \(f\), то данное неравенство равносильно \[\dfrac{a-b}{c}=0\] Сделаем обратную замену: \[\dfrac{x^2-3x+2-x^2-4x-3}{(x-1)(x+1)}=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=-\dfrac17\]
Ответ:
\(x\in \left\{-\frac17\right\}\)