Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 36
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{x+30}{x-x^2}+\dfrac1{x^2-3x+2}\geqslant \dfrac{2x^2-22x+2}{x^3-3x^2+2x}+ \dfrac{24}{x^3-2x^2}\]

Добавить задание в избранное

Разложим на множители \(x^2-3x+2\), для этого решив уравнение \[x^2-3x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=2\quad \text{и}\quad x_2=1.\] Следовательно, \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\). Тогда неравенство примет вид:   \(\dfrac{x+30}{x(1-x)}+\dfrac1{(x-1)(x-2)}\geqslant \dfrac{2x^2-22x+2}{x(x-1)(x-2)}+\dfrac{24}{x^2(x-2)} \quad \Rightarrow \)   \(\Rightarrow \quad \dfrac{(x+30)\cdot (-x)(x-2)}{x^2(x-1)(x-2)}+ \dfrac{1\cdot x^2}{x^2(x-1)(x-2)}-\dfrac{(2x^2-22x+2)\cdot x}{x^2(x-1)(x-2)}-\dfrac{24(x-1)}{x^2(x-1)(x-2)}\geqslant 0\quad \Rightarrow \)   \(\Rightarrow \quad \dfrac{-3x^3-5x^2+34x+24}{x^2(x-1)(x-2)}\geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{3x^3+5x^2-34x-24}{x^2(x-1)(x-2)}\leqslant 0\)  

Разложим на множители \(3x^3+5x^2-34x-24\). Для этого найдем корни уравнения \(3x^3+5x^2-34x-24=0\). Если уравнение имеет рациональный корень \(x=\frac pq\), то число \(p\) является делителем \(24\), а \(q\) – делителем \(3\). Таким образом, возможные варианты корней: \[\pm 1; \ \pm2; \ \pm3; \ \pm4; \ \pm6; \ \pm8; \ \pm12; \ \pm 24; \ \pm \dfrac13; \ \pm \dfrac23; \ \pm \dfrac43; \ \pm \dfrac83.\]

Перебором находим, что \(x=3\) является корнем уравнения. Выполним деление в столбик: \[\begin{array}{rr|l} 3x^3+5x^2-34x-24&&\negthickspace\underline{\qquad x-3 \qquad}\\ \underline{3x^3-9x^2} \phantom{0000000000}&&\negthickspace \quad 3x^2 + 14x + 8\\[-3pt] 14x^2 -34x\,\phantom{000}&&\\ \underline{14x^2 - 42x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 8x - 24&&\\ \underline{8x - 24}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, \(3x^3+5x^2-34x-24=(x-3)(3x^2 + 14x + 8)\). Решив квадратное уравнение \(3x^2 + 14x + 8=0\), находим еще два корня \(x=-\frac23\) и \(x=-4\).

 

Значит, \(3x^3+5x^2-34x-24=(x-3)\cdot 3\left(x+\frac23\right)(x+4)=(x-3)(3x+2)(x+4)\).

 

Таким образом, неравенство примет вид: \[\dfrac{(x-3)(3x+2)(x+4)}{x^2(x-1)(x-2)}\leqslant 0\]

Решим полученное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, решением будут \(x\in (-\infty;-4]\cup\left[-\frac23;0\right)\cup(0;1)\cup(2;3]\).

Ответ:

\((-\infty;-4]\cup\left[-\frac23;0\right)\cup(0;1)\cup(2;3]\)