Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 36
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{x^2-4x+4}{(x+1)^2}+\dfrac{x^2+6x+9}{(x-1)^2}\leqslant \dfrac{(2x^2+x+5)^2}{2(x^2-1)^2}\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Неравенство можно переписать в виде: \[\dfrac{(x-2)^2}{(x+1)^2}+\dfrac{(x+3)^2}{(x-1)^2}\leqslant \dfrac{(2x^2+x+5)^2}{2(x^2-1)^2}\] Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю: \[\begin{aligned} &\dfrac{\Big((x-2)(x-1)\Big)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}+ \dfrac{\Big((x+3)(x+1)\Big)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\leqslant \dfrac{(2x^2+x+5)^2}{2(x^2-1)^2}\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x^2-3x+2)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}+ \dfrac{(x^2+4x+3)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\leqslant \dfrac{(2x^2+x+5)^2}{2(x+1)^2(x-1)^2} \end{aligned}\] Заметим, что \[(x^2-3x+2)+(x^2+4x+3)=2x^2+x+5\] Сделаем замену (для удобства): \(a=x^2-3x+2\), \(b=x^2+4x+3\), \(c=(x+1)(x-1)\). Тогда неравенство можно переписать в виде: \[\begin{aligned} &\dfrac{a^2}{c^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\leqslant \dfrac{(a+b)^2}{2c^2} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{a^2}{c^2}+ \dfrac{b^2}{c^2}\leqslant \dfrac{a^2}{2c^2}+\dfrac{2ab}{2c^2}+\dfrac{b^2}{2c^2} \quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad \dfrac{a^2}{2c^2}-\dfrac{2ab}{2c^2}+\dfrac{b^2}{2c^2}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(a-b)^2}{2c^2}\leqslant 0 \ \Big|\cdot 2\quad\Leftrightarrow\quad \left(\dfrac{a-b}{c}\right)^2\leqslant 0 \end{aligned}\] Так как \(f^2\geqslant 0\) при любых \(f\), то данное неравенство равносильно \[\dfrac{a-b}{c}=0\] Сделаем обратную замену: \[\dfrac{x^2-3x+2-x^2-4x-3}{(x-1)(x+1)}=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=-\dfrac17\]

Ответ:

\(x\in \left\{-\frac17\right\}\)

Задание 37
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Придумайте определённые на \(\mathbb{R}\) функции \(f_1(x), g_1(x), f_2(x), g_2(x)\) такие, что решением неравенства \[\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}\geqslant \dfrac{f_2(x)}{g_2(x)}\] будет множество \((-1; 1)\cup\{2\}\).

Добавить задание в избранное

В качестве ответа подходит неравенство \[\dfrac{-(x - 2)^2}{x^2 - 1}\geqslant 0.\] Оно равносильно неравенству \[\dfrac{(x - 2)^2}{x^2 - 1}\leqslant 0.\] Убедиться в том, что последнее неравенство подходит, можно при помощи метода интервалов:



тогда \(x\in(-1; 1)\cup\{2\}\).

Ответ:

Например, \(f_1(x) = -(x - 2)^2,\qquad g_1(x) = x^2 - 1,\qquad f_2(x) = 0,\qquad g_2(x) = 1\)

Задание 38
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{x+30}{x-x^2}+\dfrac1{x^2-3x+2}\geqslant \dfrac{2x^2-22x+2}{x^3-3x^2+2x}+ \dfrac{24}{x^3-2x^2}\]

Добавить задание в избранное

Разложим на множители \(x^2-3x+2\), для этого решив уравнение \[x^2-3x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=2\quad \text{и}\quad x_2=1.\] Следовательно, \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\). Тогда неравенство примет вид:   \(\dfrac{x+30}{x(1-x)}+\dfrac1{(x-1)(x-2)}\geqslant \dfrac{2x^2-22x+2}{x(x-1)(x-2)}+\dfrac{24}{x^2(x-2)} \quad \Rightarrow \)   \(\Rightarrow \quad \dfrac{(x+30)\cdot (-x)(x-2)}{x^2(x-1)(x-2)}+ \dfrac{1\cdot x^2}{x^2(x-1)(x-2)}-\dfrac{(2x^2-22x+2)\cdot x}{x^2(x-1)(x-2)}-\dfrac{24(x-1)}{x^2(x-1)(x-2)}\geqslant 0\quad \Rightarrow \)   \(\Rightarrow \quad \dfrac{-3x^3-5x^2+34x+24}{x^2(x-1)(x-2)}\geqslant 0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{3x^3+5x^2-34x-24}{x^2(x-1)(x-2)}\leqslant 0\)  

Разложим на множители \(3x^3+5x^2-34x-24\). Для этого найдем корни уравнения \(3x^3+5x^2-34x-24=0\). Если уравнение имеет рациональный корень \(x=\frac pq\), то число \(p\) является делителем \(24\), а \(q\) – делителем \(3\). Таким образом, возможные варианты корней: \[\pm 1; \ \pm2; \ \pm3; \ \pm4; \ \pm6; \ \pm8; \ \pm12; \ \pm 24; \ \pm \dfrac13; \ \pm \dfrac23; \ \pm \dfrac43; \ \pm \dfrac83.\]

Перебором находим, что \(x=3\) является корнем уравнения. Выполним деление в столбик: \[\begin{array}{rr|l} 3x^3+5x^2-34x-24&&\negthickspace\underline{\qquad x-3 \qquad}\\ \underline{3x^3-9x^2} \phantom{0000000000}&&\negthickspace \quad 3x^2 + 14x + 8\\[-3pt] 14x^2 -34x\,\phantom{000}&&\\ \underline{14x^2 - 42x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 8x - 24&&\\ \underline{8x - 24}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, \(3x^3+5x^2-34x-24=(x-3)(3x^2 + 14x + 8)\). Решив квадратное уравнение \(3x^2 + 14x + 8=0\), находим еще два корня \(x=-\frac23\) и \(x=-4\).

 

Значит, \(3x^3+5x^2-34x-24=(x-3)\cdot 3\left(x+\frac23\right)(x+4)=(x-3)(3x+2)(x+4)\).

 

Таким образом, неравенство примет вид: \[\dfrac{(x-3)(3x+2)(x+4)}{x^2(x-1)(x-2)}\leqslant 0\]

Решим полученное неравенство методом интервалов:


 

Таким образом, решением будут \(x\in (-\infty;-4]\cup\left[-\frac23;0\right)\cup(0;1)\cup(2;3]\).

Ответ:

\((-\infty;-4]\cup\left[-\frac23;0\right)\cup(0;1)\cup(2;3]\)