15. Решение неравенств
\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное неравенство: \[{\Large{a^{f(x)}\geqslant a^{g(x)}}}\] где \(a>0,\
a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\
>,\ <\))
Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\geqslant g(x)}}\]
Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\leqslant g(x)}}\]
\(\blacktriangleright\) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция \(h(x)\), то при выполненном ОДЗ \[\textbf{I.}{\large{(h(x))^{f(x)}> (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)> g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)< g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]
\[\textbf{II.}{\large{(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\ &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]
Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения \(h(x)=1\) всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в \(1\), а \(1\geqslant 1\) – верное неравенство.
\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\large{b=a^{\log_ab}}}\) можно любое число \(b>0\) представить в виде степени необходимого нам числа \(a>0,\ a\ne 1\).
Решите неравенство
\[\begin{aligned} 3^{2x} - 3^x\geqslant 0 \end{aligned}\]
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
Исходное неравенство равносильно неравенству \[3^{2x}\geqslant 3^x\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x\geqslant x\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 0\,.\]
Ответ:
\([0; +\infty)\)
Решите неравенство
\[\begin{aligned} (2^x - 1)(3^x + 1)\geqslant 0 \end{aligned}\]
Найдём нули левой части:
\[\begin{aligned} (2^x - 1)(3^x + 1) = 0 \end{aligned}\]
так как при любом \(x\) выполнено \(3^x > 0\), то левая часть равна \(0\) при \[2^x = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x = 2^0 \qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0.\] Таким образом, по методу интервалов:
откуда \(x\in[0; +\infty).\)
Ответ:
\([0; +\infty)\)
Решите неравенство \[6^{\frac{x^2}x}>(0,5)^x\]
ОДЗ: \(x\ne 0\).
Запишем число \(0,5\) как степень с основанием \(6\): \[0,5=6^{\log_6{0,5}}.\] Тогда неравенство примет вид \[6^{\frac{x^2}x}>6^{x\log_6{0,5}}\]Т.к. основание больше единицы (\(6>1\)), то неравенство равносильно \[{\frac{x^2}x}>x\log_6{0,5} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>x\log_6{0,5}\\ x\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x(1-\log_6{0,5})>0\\ x\ne 0 \end{cases}\]Т.к. основание и аргумент логарифма \(\log_6{0,5}\) лежат по разные стороны от \(1\), то он отрицателен, то есть \(\log_6{0,5}<0\). Следовательно, \(1-\log_6{0,5}>0\), следовательно, \(x(1-\log_6{0,5})>0\quad\Leftrightarrow\quad x>0\) и решением системы будут \(x\in (0;+\infty)\).
Ответ:
\((0;+\infty)\)
Решите неравенство
\[\begin{aligned} 3\cdot 121^x - 4\cdot 11^x\geqslant -1 \end{aligned}\]
Исходное неравенство равносильно неравенству
\[\begin{aligned} 3\cdot (11^x)^2 - 4\cdot 11^x + 1\geqslant 0. \end{aligned}\]
Сделаем замену \(11^x = y\), тогда полученное неравенство примет вид
\[\begin{aligned} 3y^2 - 4y + 1\geqslant 0. \end{aligned}\]
Таким образом, по методу интервалов:
откуда \[\left[
\begin{gathered}
y\leqslant \dfrac{1}{3}\\
y\geqslant 1
\end{gathered}
\right.
\qquad\Leftrightarrow\qquad
\left[
\begin{gathered}
11^x\leqslant \dfrac{1}{3}\\
11^x\geqslant 1
\end{gathered}
\right.
\qquad\Leftrightarrow\qquad
\left[
\begin{gathered}
11^x\leqslant 11^{\log_{11}\frac{1}{3}}\\
11^x\geqslant 11^0
\end{gathered}
\right.
\qquad\Leftrightarrow\qquad
\left[
\begin{gathered}
x\leqslant \log_{11}\dfrac{1}{3}\\
x\geqslant 0
\end{gathered}
\right.\] Таким образом, \(x\in\left(-\infty; \log_{11}\dfrac{1}{3}\right]\cup[0; +\infty)\).
Ответ:
\(\left(-\infty; \log_{11}\dfrac{1}{3}\right]\cup[0; +\infty)\)
Решите неравенство
\[\begin{aligned} 5^x - 14\geqslant 2 \end{aligned}\]
Исходное неравенство равносильно неравенству
\[\begin{aligned} 5^x\geqslant 16\qquad\Leftrightarrow\qquad 5^x\geqslant 5^{\log_5 16}\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant \log_5 16. \end{aligned}\]
Ответ:
\([\log_5 16; +\infty)\)
Решите неравенство \[8^{x+2}<\dfrac{3^{-x}}9\]
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
Преобразуем правую часть: \(\dfrac{3^{-x}}9=3^{-x}\cdot 3^{-2}=3^{-x-2}\).
Тогда неравенство равносильно \[8^{x+2}<3^{-x-2}\] Умножим обе части неравенства на положительное выражение \(3^{x+2}\): \[8^{x+2}\cdot 3^{x+2}<3^{-x-2}\cdot 3^{x+2} \quad \Leftrightarrow \quad (8\cdot 3)^{x+2}<3^0 \quad \Leftrightarrow \quad 24^{x+2}<24^0\]Т.к. основание больше единицы (\(24>1\)), то неравенство равносильно \[x+2<0 \quad \Leftrightarrow \quad x\in (-\infty;-2)\]
Ответ:
\((-\infty;-2)\)
Решите неравенство \[(2-\sqrt3)^{x^2-x}>7-4\sqrt3\]
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
Заметим, что \((2-\sqrt3)^2=2^2-2\cdot 2\sqrt3+(\sqrt3)^2=7-4\sqrt3\). Следовательно, неравенство равносильно \[(2-\sqrt3)^{x^2-x}> (2-\sqrt3)^2\] Т.к. основание меньше единицы (\(2-\sqrt3<1\)), то неравенство равносильно \[x^2-x<2 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-x-2<0
\quad \Leftrightarrow \quad (x+1)(x-2)<0\] Решая данное неравенство методом интервалов:
получим \(x\in(-1;2)\).
Ответ:
\((-1;2)\)
