Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение показательных неравенств (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное неравенство: \[{\Large{a^{f(x)}\geqslant a^{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\geqslant g(x)}}\]

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\leqslant g(x)}}\]

\(\blacktriangleright\) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция \(h(x)\), то при выполненном ОДЗ \[\textbf{I.}{\large{(h(x))^{f(x)}> (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)> g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)< g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

\[\textbf{II.}{\large{(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\ &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения \(h(x)=1\) всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в \(1\), а \(1\geqslant 1\) – верное неравенство.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\large{b=a^{\log_ab}}}\) можно любое число \(b>0\) представить в виде степени необходимого нам числа \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 8
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} (2^x - 1)(3^x + 1)\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

Найдём нули левой части:

\[\begin{aligned} (2^x - 1)(3^x + 1) = 0 \end{aligned}\]

так как при любом \(x\) выполнено \(3^x > 0\), то левая часть равна \(0\) при \[2^x = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x = 2^0 \qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0.\] Таким образом, по методу интервалов:



откуда \(x\in[0; +\infty).\)

Ответ:

\([0; +\infty)\)

Задание 9
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[6^{\frac{x^2}x}>(0,5)^x\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\ne 0\).

 

Запишем число \(0,5\) как степень с основанием \(6\): \[0,5=6^{\log_6{0,5}}.\] Тогда неравенство примет вид \[6^{\frac{x^2}x}>6^{x\log_6{0,5}}\]Т.к. основание больше единицы (\(6>1\)), то неравенство равносильно \[{\frac{x^2}x}>x\log_6{0,5} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>x\log_6{0,5}\\ x\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x(1-\log_6{0,5})>0\\ x\ne 0 \end{cases}\]Т.к. основание и аргумент логарифма \(\log_6{0,5}\) лежат по разные стороны от \(1\), то он отрицателен, то есть \(\log_6{0,5}<0\). Следовательно, \(1-\log_6{0,5}>0\), следовательно, \(x(1-\log_6{0,5})>0\quad\Leftrightarrow\quad x>0\) и решением системы будут \(x\in (0;+\infty)\).

Ответ:

\((0;+\infty)\)

Задание 10
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 3\cdot 121^x - 4\cdot 11^x\geqslant -1 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 3\cdot (11^x)^2 - 4\cdot 11^x + 1\geqslant 0. \end{aligned}\]

Сделаем замену \(11^x = y\), тогда полученное неравенство примет вид

\[\begin{aligned} 3y^2 - 4y + 1\geqslant 0. \end{aligned}\]

Таким образом, по методу интервалов:



откуда \[\left[ \begin{gathered} y\leqslant \dfrac{1}{3}\\ y\geqslant 1 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} 11^x\leqslant \dfrac{1}{3}\\ 11^x\geqslant 1 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} 11^x\leqslant 11^{\log_{11}\frac{1}{3}}\\ 11^x\geqslant 11^0 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x\leqslant \log_{11}\dfrac{1}{3}\\ x\geqslant 0 \end{gathered} \right.\] Таким образом, \(x\in\left(-\infty; \log_{11}\dfrac{1}{3}\right]\cup[0; +\infty)\).

Ответ:

\(\left(-\infty; \log_{11}\dfrac{1}{3}\right]\cup[0; +\infty)\)

Задание 11
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 5^x - 14\geqslant 2 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 5^x\geqslant 16\qquad\Leftrightarrow\qquad 5^x\geqslant 5^{\log_5 16}\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant \log_5 16. \end{aligned}\]

Ответ:

\([\log_5 16; +\infty)\)

Задание 12
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[8^{x+2}<\dfrac{3^{-x}}9\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Преобразуем правую часть: \(\dfrac{3^{-x}}9=3^{-x}\cdot 3^{-2}=3^{-x-2}\).

 

Тогда неравенство равносильно \[8^{x+2}<3^{-x-2}\] Умножим обе части неравенства на положительное выражение \(3^{x+2}\): \[8^{x+2}\cdot 3^{x+2}<3^{-x-2}\cdot 3^{x+2} \quad \Leftrightarrow \quad (8\cdot 3)^{x+2}<3^0 \quad \Leftrightarrow \quad 24^{x+2}<24^0\]Т.к. основание больше единицы (\(24>1\)), то неравенство равносильно \[x+2<0 \quad \Leftrightarrow \quad x\in (-\infty;-2)\]

Ответ:

\((-\infty;-2)\)

Задание 13
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[(2-\sqrt3)^{x^2-x}>7-4\sqrt3\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Заметим, что \((2-\sqrt3)^2=2^2-2\cdot 2\sqrt3+(\sqrt3)^2=7-4\sqrt3\). Следовательно, неравенство равносильно \[(2-\sqrt3)^{x^2-x}> (2-\sqrt3)^2\] Т.к. основание меньше единицы (\(2-\sqrt3<1\)), то неравенство равносильно \[x^2-x<2 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-x-2<0 \quad \Leftrightarrow \quad (x+1)(x-2)<0\] Решая данное неравенство методом интервалов:



получим \(x\in(-1;2)\).

Ответ:

\((-1;2)\)

Задание 14
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[(2+\sqrt3)^{x^2-7}\leqslant 7+4\sqrt3\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Заметим, что \((2+\sqrt3)^2=2^2+2\cdot 2\sqrt3+(\sqrt3)^2=7+4\sqrt3\). Следовательно, неравенство равносильно \[(2+\sqrt3)^{x^2-7}\leqslant (2+\sqrt3)^2\] Т.к. основание больше единицы (\(2+\sqrt3>1\)), то неравенство равносильно \[x^2-7\leqslant 2 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-9\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-3)(x+3)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов:



получим \(x\in[-3;3]\).

Ответ:

\([-3;3]\)

1 2 3 .... 5