Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение показательных неравенств (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное неравенство: \[{\Large{a^{f(x)}\geqslant a^{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\geqslant g(x)}}\]

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\leqslant g(x)}}\]

\(\blacktriangleright\) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция \(h(x)\), то при выполненном ОДЗ \[\textbf{I.}{\large{(h(x))^{f(x)}> (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)> g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)< g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

\[\textbf{II.}{\large{(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\ &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения \(h(x)=1\) всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в \(1\), а \(1\geqslant 1\) – верное неравенство.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\large{b=a^{\log_ab}}}\) можно любое число \(b>0\) представить в виде степени необходимого нам числа \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 22
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{3^x-1}{3^x-3}\leqslant 1+\dfrac 1{3^x-2}\]

Добавить задание в избранное

Сделаем замену \(3^x=t\), тогда неравенство сведется к рациональному: \[\dfrac{t-1}{t-3}\leqslant 1+\dfrac 1{t-2}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)(t-2)-(t-3)(t-2)-(t-3)}{(t-3)(t-2)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t-1}{(t-3)(t-2)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in (-\infty;1]\cup(2;3)\] Сделаем обратную замену:
1) \(3^x\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad x\leqslant 0\)   2) \(2<3^x<3\quad\Leftrightarrow\quad \log_32<x<1\).
Таким образом, ответ: \[x\in (-\infty;0]\cup(\log_32;1)\]

Ответ:

\((-\infty;0]\cup(\log_32;1)\)

Задание 23
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{13-5\cdot 3^x}{9^x-12\cdot 3^x+27}\geqslant \dfrac12\]

Добавить задание в избранное

Сделаем замену \(3^x=t\), так как \(9^x=(3^x)^2=t^2\), то неравенство сведется к рациональному: \[\dfrac{13-5t}{t^2-12t+27}\geqslant \dfrac12\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{-t^2+2t-1}{2(t^2-12t+27)}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)^2}{t^2-12t+27}\leqslant 0\] Так как \(t^2-12t+27=(t-3)(t-9)\), то \[\dfrac{(t-1)^2}{(t-3)(t-9)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in \{1\}\cup(3;9)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^x=1\\[1ex] &3<3^x<9\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\[1ex] &1<x<2\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\(\{0\}\cup(1;2)\)

Задание 24
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac 2{7^x-7}\geqslant \dfrac5{7^x-4}\]

Добавить задание в избранное

Сделаем замену \(7^x=t\), тогда неравенство сведется к рациональному: \[\dfrac 2{t-7}\geqslant \dfrac 5{t-4}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t-4)-5(t-7)}{(t-7)(t-4)}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{-3t+27}{(t-7)(t-4)}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t-9}{(t-7)(t-4)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in (-\infty;4)\cup(7;9]\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &7^x<4\\[1ex] &7<7^x\leqslant 9 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x<\log_74\\[1ex] &1<x\leqslant \log_79 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((-\infty;\log_74)\cup(1;\log_79]\)

Задание 25
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac 1{5^x+31}\leqslant \dfrac4{5^{x+1}-1}\]

Добавить задание в избранное

Так как \(5^{x+1}=5^x\cdot 5^1=5\cdot 5^x\), то с помощью замены \(5^x=t\) неравенство можно свести к рациональному: \[\dfrac1{t+31}\leqslant \dfrac4{5t-1}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{5t-1-4(t+31)}{(t+31)(5t-1)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t-125}{(t+31)(5t-1)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in (-\infty;-31)\cup\left(\dfrac15; 125\right]\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &5^x<-31\\[1ex] &\dfrac15<5^x\leqslant 125 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\in \varnothing, \quad ({\small{\text{так как }}} 5^x>0 \ {\small{\text{при любом }}} x)\\[1ex] &-1<x\leqslant 3 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((-1;3]\)

Задание 26
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[2^x-6-\dfrac{9\cdot 2^x-37}{4^x-7\cdot 2^x+12}\leqslant \dfrac 1{2^x-4}\]

Добавить задание в избранное

Так как \(4^x=(2^x)^2\), то с помощью замены \(2^x=t\) данное неравенство можно свести к рациональному: \[t-6-\dfrac{9t-37}{t^2-7t+12}\leqslant \dfrac 1{t-4}\quad\Leftrightarrow\quad t-6\leqslant \dfrac{(t-3)+(9t-37)}{(t-3)(t-4)}\quad\Leftrightarrow\quad t-6\leqslant \dfrac{10(t-4)}{(t-3)(t-4)}\] (так как \(t^2-7t+12=(t-3)(t-4)\))
Данное неравенство можно преобразовать к виду: \[\dfrac{(t-6)(t-3)(t-4)-10(t-4)}{(t-3)(t-4)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-4)(t^2-9t+8)}{(t-3)(t-4)}\leqslant0\] Так как \(t^2-9t+8=(t-1)(t-8)\), то неравенство равносильно: \[\dfrac{(t-4)(t-1)(t-8)}{(t-3)(t-4)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in (-\infty;1]\cup(3;4)\cup(4;8]\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^x\leqslant 1\\[1ex] &3<2^x<4\\[1ex] &4<2^x\leqslant 8 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant 0\\[1ex] &\log_23<x<2\\[1ex] &2<x\leqslant 3 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((-\infty;0]\cup(\log_23;2)\cup(2;3]\)

Задание 27
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{4^x-2^{x+3}+7}{4^x-5\cdot 2^x+4}\leqslant \dfrac{2^x-9}{2^x-4}+\dfrac 1{2^x-6}\]

Добавить задание в избранное

Так как \(4^x=(2^x)^2\), \(2^{x+3}=2^x\cdot 2^3\), то заменой \(2^x=t\) неравенство сведется к рациональному: \[\dfrac {t^2-8t+7}{t^2-5t+4}\leqslant \dfrac{t-9}{t-4}+\dfrac1{t-6}\] \(t^2-5t+4=(t-1)(t-4)\), следовательно: \[\dfrac{t^2-8t+7-(t-9)(t-1)}{(t-1)(t-4)}\leqslant \dfrac1{t-6} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t-1)}{(t-1)(t-4)}\leqslant \dfrac 1{t-6} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \dfrac 2{t-4}\leqslant \dfrac 1{t-6}\\[2ex] t-1\ne 0\end{cases}\] Рассмотрим первое неравенство системы: \[\dfrac 2{t-4}\leqslant \dfrac 1{t-6}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t-8}{(t-4)(t-6)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \(t\in (-\infty;4)\cup(6;8]\).
Так как \(t-1\ne 0\), то есть \(t\ne 1\), то \[t\in (-\infty;1)\cup(1;4)\cup(6;8]\] Вернемся к прежней переменной: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^x< 1\\[1ex] &1<2^x<4\\[1ex] &6<2^x\leqslant 8 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x< 0\\[1ex] &0<x<2\\[1ex] &\log_26<x\leqslant 3 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((-\infty;0)\cup(0;2)\cup(\log_26;3]\)

Задание 28
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{9^x-2\cdot 3^{x+1}+4}{3^x-5}+\dfrac{2\cdot 3^{x+1}-51}{3^x-9}\leqslant 3^x+5\]

Добавить задание в избранное

Так как \(9^x=(3^x)^2\) и \(3^{x+1}=3\cdot 3^x\), то неравенство после замены \(t=3^x\) примет вид рационального неравенства: \[\dfrac{t^2-6t+4}{t-5}+\dfrac{6t-51}{t-9}\leqslant t+5\quad\Leftrightarrow \quad \dfrac{(t^2-6t+4)(t-9)+(6t-51)(t-5)-(t+5)(t-5)(t-9)}{(t-5)(t-9)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2t-6}{(t-5)(t-9)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \(t\in (-\infty;3]\cup(5;9)\).
Вернемся к прежней переменной: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^x\leqslant 3\\[1ex] &5<3^x<9 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\leqslant 1\\[1ex] &\log_35<x<2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\((-\infty;1]\cup(\log_35;2)\)

1 .... 3 4 5 .... 7