Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение показательных неравенств (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное неравенство: \[{\Large{a^{f(x)}\geqslant a^{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\geqslant g(x)}}\]

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\leqslant g(x)}}\]

\(\blacktriangleright\) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция \(h(x)\), то при выполненном ОДЗ \[\textbf{I.}{\large{(h(x))^{f(x)}> (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)> g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)< g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

\[\textbf{II.}{\large{(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\ &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения \(h(x)=1\) всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в \(1\), а \(1\geqslant 1\) – верное неравенство.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\large{b=a^{\log_ab}}}\) можно любое число \(b>0\) представить в виде степени необходимого нам числа \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 22
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 8^x + 3\cdot 4^x + 2^{x + 1} + 3\geqslant -6 - 2^x \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 8^x + 3\cdot 4^x + 3\cdot 2^x + 9\geqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(2^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} &t^3 + 3 t^2 + 3t + 9\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2(t + 3) + 3(t + 3)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (t^2 + 3)(t + 3)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t + 3\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad t \geqslant -3\,, \end{aligned}\]

что выполнено при всех \(t > 0\), следовательно, ответ: \[x\in\mathbb{R}\,.\]

Ответ:

\((-\infty; +\infty)\)

Задание 23
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \(\sqrt{4^x}\geqslant \sin 855^\circ\).

Добавить задание в избранное

Т.к. \(855^\circ=2\cdot 360^\circ +135^\circ\), то \(\sin 855^\circ=\sin 135^\circ=\dfrac1{\sqrt2}\).

Таким образом, неравенство сводится к \[\sqrt{4^x}\geqslant \dfrac1{\sqrt2}\quad \Leftrightarrow\quad 4^{\frac x2}\geqslant 2^{-\frac12} \quad\Leftrightarrow\quad 2^x\geqslant 2^{-\frac12} \quad\Leftrightarrow\quad x\geqslant -\dfrac 12\] (т.к. основание степени \(2>1\), то знак неравенства не меняется).

 

Следовательно, ответ: \(x\in\left[-\dfrac12;+\infty\right)\).

Ответ:

\(\left[-\frac12;+\infty\right)\)

Задание 24
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 8^x + 2^{x} - 2\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 2^{3x} + 2^{x} - 2\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = 2^x\), \(y > 0\). Полученное неравенство примет вид:

\[\begin{aligned} y^3 + y - 2\leqslant 0 \end{aligned}\]

Можно угадать корень левой части последнего неравенства: \(y = 1\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(y - y_0\), где \(y_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} y^3 + 0\cdot y^2+ y - 2 &&\negthickspace\underline{\qquad y-1 \qquad}\\ \underline{y^3-\ \ \ y^2}\phantom{0000000}&&\negthickspace \ y^2 + y + 2\\[-3pt] y^2 + y\,\phantom{000}&&\\ \underline{y^2 - y\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 2y - 2 &&\\ \underline{2y - 2}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} (y - 1)(y^2 + y + 2)\leqslant 0 \end{aligned}\]

Так как у уравнения \(y^2 + y + 2 = 0\) дискриминант отрицательный, то выражение \(y^2 + y + 2\) всюду имеет один и тот же знак. Так как при \(y = 1\) выражение \(y^2 + y + 2\) положительно, то оно положительно при всех \(y\).

Таким образом, последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} (y - 1)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad y\leqslant 1 \end{aligned}\]

Тогда исходное неравенство равносильно неравенству \[2^x\leqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x\leqslant 2^0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 0\,.\]

Ответ:

\((-\infty; 0]\)

Задание 25
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[12^x+6^{x+1}+144\geqslant 16\cdot 3^x+9\cdot 4^x+27\cdot 2^{x+1}\]

Добавить задание в избранное

Перенесем все слагаемые в одну часть: \[\begin{aligned} & 12^x+6^{x+1}+144-16\cdot 3^x-9\cdot 4^x-27\cdot 2^{x+1}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (12^x-9\cdot 4^x)+(6^{x+1}-27\cdot 2^{x+1})+(144-16\cdot 3^x)\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad 4^x(3^x-9)+2^{x+1}(3^{x+1}-27)+16(9-3^x)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (3^x-9)(4^x+3\cdot 2^{x+1}-16)\geqslant 0 \end{aligned}\] Рассмотрим выражение \(4^x+3\cdot 2^{x+1}-16=(2^x)^2+6\cdot 2^x-16=(2^x-2)(2^x+8)\). Тогда неравенство примет вид: \[(2^x-2)(2^x+8)(3^x-9)\geqslant 0\] Заметим, что выражение \(2^x+8>0\) при всех \(x\). Следовательно, можно разделить обе части неравенства на него. Тогда по методу рационализации неравенство равносильно: \[(2-1)(x-1)(3-1)(x-2)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x-1)(x-2)\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;1]\cup[2;+\infty).\]

Ответ:

\((-\infty;1]\cup[2;+\infty)\)

Задание 26
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[2^{x+1}\cdot 5^{3-4x}<\dfrac1{10^{4x}}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Т.к. \(\dfrac1{10^{4x}}=10^{-4x}=(2\cdot 5)^{-4x}=2^{-4x}\cdot 5^{-4x}\), то неравенство равносильно: \[2^x\cdot 2\cdot 5^3\cdot 5^{-4x}<2^{-4x}\cdot 5^{-4x} \quad \Leftrightarrow \quad 5^{-4x}\cdot \left(250\cdot 2^x-2^{-4x}\right)<0\] Т.к. по определению \(5^{-4x}>\) при всех \(x\) из ОДЗ, то неравенство равносильно \[250\cdot 2^x-2^{-4x}<0\] Умножим обе части неравенства на положительное выражение \(2^{4x}\) и получим \[250\cdot 2^x\cdot 2^{4x}-2^{-4x}\cdot 2^{4x}<0 \quad \Leftrightarrow \quad 250\cdot 2^{5x}<1 \quad \Leftrightarrow \quad 2^{5x}<250^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{5x}<2^{\log_2{250^{-1}}}\]Т.к. основание больше единицы (\(2>1\)), то неравенство равносильно \[5x<\log_2{250^{-1}} \quad \Leftrightarrow \quad x<-\dfrac{1+3\log_25}5\]

Таким образом, ответ \(x\in \left(-\infty;-\frac{1+3\log_25}5\right)\).

Ответ:

\(\left(-\infty;-\frac{1+3\log_25}5\right)\)

Задание 27
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(3^x + 1)(5^x - 1)}{(2017^x + \pi)(22^x - 4)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

Так как \(3^x + 1 > 0\) и \(2017^x + \pi > 0\), то исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{5^x - 1}{22^x - 4}\geqslant 0, \end{aligned}\]

тогда ОДЗ исходного неравенства: \[22^x - 4\neq 0.\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in(-\infty; 0]\cup(\log_{22}4; +\infty)\).

Ответ:

\((-\infty; 0]\cup(\log_{22}4; +\infty)\)

Задание 28
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 125^x + 7\cdot 25^x + 12\cdot 5^x + \log_5 15625\leqslant 25^x + 5^x \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Так как \(\log_5 15625 = \log_5 5^6 = 6\), то исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 125^x + 6\cdot 25^x + 11\cdot 5^x + 6\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(5^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} t^3 + 6t^2 + 11t + 6\leqslant 0 \end{aligned}\]

Можно угадать корень левой части последнего неравенства: \(t = -1\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(t - t_0\), где \(t_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} t^3+6t^2+11t+6&&\negthickspace\underline{\qquad t+1 \qquad}\\ \underline{t^3+\ t^2} \phantom{000000000}&&\negthickspace \ t^2 + 5t + 6\\[-3pt] 5t^2 + 11t\,\phantom{000}&&\\ \underline{5t^2 + 5t\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 6t + 6 &&\\ \underline{6t + 6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} (t + 1)(t^2 + 5t + 6)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t + 1)(t + 2)(t + 3)\leqslant 0, \end{aligned}\]

то есть оно не выполняется при \(t > 0\), следовательно, ответ: \[x\in\varnothing\,.\]

Ответ:

\(\varnothing\)

1 .... 3 4 5