Решите неравенство \[\dfrac{9^x-3^x+2}{9^x-3^x}+\dfrac{5\cdot 3^x-19}{3^x-4}\leqslant \dfrac{2\cdot 3^{x+1}-2}{3^x}\]
Так как \(9^x=(3^x)^2\) и \(3^{x+1}=3\cdot 3^x\), то неравенство после замены \(t=3^x\) примет вид рационального неравенства: \[\dfrac{t^2-t+2}{t^2-t}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant \dfrac{6t-2}{t}
\quad\Leftrightarrow\quad
\dfrac{t^2-t+2-(6t-2)(t-1)}{t(t-1)}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant 0
\quad\Leftrightarrow\quad
\dfrac{-t(5t-7)}{t(t-1)}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant 0\] Данное неравенство равносильно системе: \[\begin{cases}
\dfrac{-(5t-7)}{t-1}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant 0\\[2ex]
t\ne 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}
\dfrac{3t-9}{(t-4)(t-1)}\leqslant 0\\[2ex]
t\ne 0\end{cases}\] Решим первое неравенство методом интервалов:
Тогда решением будут \(t\in(-\infty;1)\cup[3;4)\).
Учитывая, что \(t\ne 0\), сделаем обратную замену: \[\begin{cases}
3^x\ne 0\\[1ex] \left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&3^x<1\\[2ex]
&3\leqslant 3^x<4\end{aligned}
\end{gathered}\right.
\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases} x\in \mathbb{R}\\
\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&x<0\\[2ex]
&1\leqslant x<\log_34\end{aligned}
\end{gathered}\right.\end{cases}\] (так как \(3^x>0\) при всех \(x\), как показательная функция, следовательно, \(3^x\ne 0\) при всех \(x\))
Ответ:
\((-\infty;0)\cup[1;\log_34)\)