Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение показательных неравенств (страница 5)

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное неравенство: \[{\Large{a^{f(x)}\geqslant a^{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\geqslant g(x)}}\]

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\leqslant g(x)}}\]

\(\blacktriangleright\) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция \(h(x)\), то при выполненном ОДЗ \[\textbf{I.}{\large{(h(x))^{f(x)}> (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)> g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)< g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

\[\textbf{II.}{\large{(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\ &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения \(h(x)=1\) всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в \(1\), а \(1\geqslant 1\) – верное неравенство.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\large{b=a^{\log_ab}}}\) можно любое число \(b>0\) представить в виде степени необходимого нам числа \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 29
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{9^x-3^x+2}{9^x-3^x}+\dfrac{5\cdot 3^x-19}{3^x-4}\leqslant \dfrac{2\cdot 3^{x+1}-2}{3^x}\]

Добавить задание в избранное

Так как \(9^x=(3^x)^2\) и \(3^{x+1}=3\cdot 3^x\), то неравенство после замены \(t=3^x\) примет вид рационального неравенства: \[\dfrac{t^2-t+2}{t^2-t}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant \dfrac{6t-2}{t} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-t+2-(6t-2)(t-1)}{t(t-1)}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{-t(5t-7)}{t(t-1)}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant 0\] Данное неравенство равносильно системе: \[\begin{cases} \dfrac{-(5t-7)}{t-1}+\dfrac{5t-19}{t-4}\leqslant 0\\[2ex] t\ne 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \dfrac{3t-9}{(t-4)(t-1)}\leqslant 0\\[2ex] t\ne 0\end{cases}\] Решим первое неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \(t\in(-\infty;1)\cup[3;4)\).
Учитывая, что \(t\ne 0\), сделаем обратную замену: \[\begin{cases} 3^x\ne 0\\[1ex] \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^x<1\\[2ex] &3\leqslant 3^x<4\end{aligned} \end{gathered}\right. \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x\in \mathbb{R}\\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x<0\\[2ex] &1\leqslant x<\log_34\end{aligned} \end{gathered}\right.\end{cases}\] (так как \(3^x>0\) при всех \(x\), как показательная функция, следовательно, \(3^x\ne 0\) при всех \(x\))

Ответ:

\((-\infty;0)\cup[1;\log_34)\)

Задание 30
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{2^x}{2^x-3}+\dfrac{2^x+1}{2^x-2}+ \dfrac5{4^x-5\cdot 2^x+6}\leqslant 0\]

Добавить задание в избранное

Так как \(4^x=(2^x)^2\), то сделаем замену \(t=2^x, t>0\), тогда неравенство примет вид рационального: \[\dfrac t{t-3}+\dfrac{t+1}{t-2}+\dfrac 5{t^2-5t+6}\leqslant 0\] Выражение \(t^2-5t+6=(t-3)(t-2)\), следовательно, после приведения всех слагаемых к общему знаменателю неравенство будет иметь вид: \[\dfrac{t(t-2)+(t+1)(t-3)+5}{(t-2)(t-3)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t^2-2t+1)}{(t-2)(t-3)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)^2}{(t-2)(t-3)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Следовательно, \[t\in \{1\}\cup(2;3)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^x=1\\[1ex] &2<2^x<3\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\[1ex] &1<x<\log_23\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\(\{0\}\cup(1;\log_23)\)

Задание 31
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 7^{2\cdot(49^x) - 3\cdot 7^x + \log_7 14} > 2 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Исходное неравенство можно переписать в виде

\[\begin{aligned} &7^{2\cdot(49^x) - 3\cdot 7^x + \log_7 14} > 7^{\log_7 2}\ \Leftrightarrow\ 2\cdot(49^x) - 3\cdot 7^x + \log_7 7 + \log_7 2 > \log_7 2\ \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\ 2\cdot(49^x) - 3\cdot 7^x + 1 > 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(7^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} 2t^2 - 3t + 1 > 0 \end{aligned}\]

Корни левой части последнего неравенства: \[t_1 = 1\qquad t_2 = 0,5\] тогда само неравенство равносильно \[2(t - 1)(t - 0,5) > 0\]

По методу интервалов при \(t > 0\)



откуда \(t\in(0; 0,5)\cup(1; +\infty)\), следовательно, \[x\in(-\infty; \log_7 0,5)\cup(0; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; \log_7 0,5)\cup(0; +\infty)\)

Задание 32
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[{\large{2^{\frac{x}{x+1}}-2^{\frac{5x+3}{x+1}}+8\leqslant 2^{\frac{2x}{x+1}}}}\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Т.к. показательная функция всегда положительна, то умножим обе части неравенства на \(2^{\frac{-2x}{x+1}}>0\):

\[{\large{2^{\frac{-x}{x+1}}-2^{\frac{5x+3-2x}{x+1}}+8\cdot2^{\frac{-2x}{x+1}} \leqslant 1}}\]

Сделаем замену \(2^{\frac{-x}{x+1}}=t>0\):

\[t-2^3+8t^2\leqslant 1 \quad\Leftrightarrow\quad (8t+9)(t-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad -\frac98\leqslant t\leqslant 1.\]

Т.к. всегда \(t>0\), то данное неравенство равносильно \(t\leqslant 1\). Сделаем обратную замену: \[{\large{2^{\frac{-x}{x+1}}\leqslant 1}}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{-x}{x+1}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-1)\cup[0;+\infty).\]

Ответ:

\((-\infty;-1)\cup[0;+\infty)\)

Задание 33
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решить неравенство \[\dfrac{3^{x+11}}{3\cdot 2^x-2\cdot 3^x}\geqslant\dfrac{3^{x+10}}{2^x-3^x}\]

Добавить задание в избранное

Перенесем все слагаемые в левую часть и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на \(2^x\ne 0\) (от этого значение каждой дроби не изменится, а, значит, мы получим равносильное неравенство):

\[\dfrac{3^{11}\cdot \left(\frac32\right)^x}{3-2\cdot \left(\frac32\right)^x}- \dfrac{3^{10}\cdot \left(\frac32\right)^x}{1-\left(\frac32\right)^x}\geqslant 0\]

Разделим правую и левую части на положительное число \(3^{10}\) и сделаем замену: \(\left(\frac32\right)^x=t>0\). Неравенство примет вид:

\[\dfrac{3t}{3-2t}-\dfrac{t}{1-t}\geqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{t^2}{(3-2t)(1-t)}\leqslant 0\]

Решая неравенство методом интервалов


 

получим ответ \(t\in \{0\}\cup \left(1;\frac32\right)\). Но \(t>0\), следовательно, окончательный ответ \(t\in \left(1;\frac32\right)\).

 

Вернемся к старой переменной:

\[1<\left(\frac32\right)^x<\frac32 \quad \Leftrightarrow \quad 0<x<1\]

Ответ: \(x\in (0;1)\).

Ответ:

\(x\in (0;1)\)

Задание 34
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 8^x + 3\cdot 4^x + 2^{x + 1} + 3\geqslant -6 - 2^x \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 8^x + 3\cdot 4^x + 3\cdot 2^x + 9\geqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(2^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} &t^3 + 3 t^2 + 3t + 9\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2(t + 3) + 3(t + 3)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (t^2 + 3)(t + 3)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t + 3\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad t \geqslant -3\,, \end{aligned}\]

что выполнено при всех \(t > 0\), следовательно, ответ: \[x\in\mathbb{R}\,.\]

Ответ:

\((-\infty; +\infty)\)

Задание 35
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \(\sqrt{4^x}\geqslant \sin 855^\circ\).

Добавить задание в избранное

Т.к. \(855^\circ=2\cdot 360^\circ +135^\circ\), то \(\sin 855^\circ=\sin 135^\circ=\dfrac1{\sqrt2}\).

Таким образом, неравенство сводится к \[\sqrt{4^x}\geqslant \dfrac1{\sqrt2}\quad \Leftrightarrow\quad 4^{\frac x2}\geqslant 2^{-\frac12} \quad\Leftrightarrow\quad 2^x\geqslant 2^{-\frac12} \quad\Leftrightarrow\quad x\geqslant -\dfrac 12\] (т.к. основание степени \(2>1\), то знак неравенства не меняется).

 

Следовательно, ответ: \(x\in\left[-\dfrac12;+\infty\right)\).

Ответ:

\(\left[-\frac12;+\infty\right)\)

1 .... 4 5 6 7