Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение показательных неравенств (страница 5)

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное неравенство: \[{\Large{a^{f(x)}\geqslant a^{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\geqslant g(x)}}\]

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\leqslant g(x)}}\]

\(\blacktriangleright\) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция \(h(x)\), то при выполненном ОДЗ \[\textbf{I.}{\large{(h(x))^{f(x)}> (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)> g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)< g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

\[\textbf{II.}{\large{(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\ &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения \(h(x)=1\) всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в \(1\), а \(1\geqslant 1\) – верное неравенство.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\large{b=a^{\log_ab}}}\) можно любое число \(b>0\) представить в виде степени необходимого нам числа \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 29 #3834
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{9^x-3^x+2}{9^x-3^x}+\dfrac{5\cdot 3^x-19}{3^x-4}\leqslant \dfrac{2\cdot 3^{x+1}-2}{3^x}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.01.2020 в 09:00

Задание 30 #3825
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[\dfrac{2^x}{2^x-3}+\dfrac{2^x+1}{2^x-2}+ \dfrac5{4^x-5\cdot 2^x+6}\leqslant 0\]

Так как \(4^x=(2^x)^2\), то сделаем замену \(t=2^x, t>0\), тогда неравенство примет вид рационального: \[\dfrac t{t-3}+\dfrac{t+1}{t-2}+\dfrac 5{t^2-5t+6}\leqslant 0\] Выражение \(t^2-5t+6=(t-3)(t-2)\), следовательно, после приведения всех слагаемых к общему знаменателю неравенство будет иметь вид: \[\dfrac{t(t-2)+(t+1)(t-3)+5}{(t-2)(t-3)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t^2-2t+1)}{(t-2)(t-3)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)^2}{(t-2)(t-3)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Следовательно, \[t\in \{1\}\cup(2;3)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^x=1\\[1ex] &2<2^x<3\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\[1ex] &1<x<\log_23\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ:

\(\{0\}\cup(1;\log_23)\)

Задание 31 #1567
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 7^{2\cdot(49^x) - 3\cdot 7^x + \log_7 14} > 2 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.01.2020 в 09:00

Задание 32 #2647
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство \[{\large{2^{\frac{x}{x+1}}-2^{\frac{5x+3}{x+1}}+8\leqslant 2^{\frac{2x}{x+1}}}}\]

(Задача от подписчиков)

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.01.2020 в 09:00

Задание 33 #2302
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решить неравенство \[\dfrac{3^{x+11}}{3\cdot 2^x-2\cdot 3^x}\geqslant\dfrac{3^{x+10}}{2^x-3^x}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 28.01.2020 в 09:00

Задание 34 #1564
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 8^x + 3\cdot 4^x + 2^{x + 1} + 3\geqslant -6 - 2^x \end{aligned}\]

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 8^x + 3\cdot 4^x + 3\cdot 2^x + 9\geqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(2^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} &t^3 + 3 t^2 + 3t + 9\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2(t + 3) + 3(t + 3)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (t^2 + 3)(t + 3)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t + 3\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad t \geqslant -3\,, \end{aligned}\]

что выполнено при всех \(t > 0\), следовательно, ответ: \[x\in\mathbb{R}\,.\]

Ответ:

\((-\infty; +\infty)\)

Задание 35 #2637
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \(\sqrt{4^x}\geqslant \sin 855^\circ\).

Т.к. \(855^\circ=2\cdot 360^\circ +135^\circ\), то \(\sin 855^\circ=\sin 135^\circ=\dfrac1{\sqrt2}\).

Таким образом, неравенство сводится к \[\sqrt{4^x}\geqslant \dfrac1{\sqrt2}\quad \Leftrightarrow\quad 4^{\frac x2}\geqslant 2^{-\frac12} \quad\Leftrightarrow\quad 2^x\geqslant 2^{-\frac12} \quad\Leftrightarrow\quad x\geqslant -\dfrac 12\] (т.к. основание степени \(2>1\), то знак неравенства не меняется).

 

Следовательно, ответ: \(x\in\left[-\dfrac12;+\infty\right)\).

Ответ:

\(\left[-\frac12;+\infty\right)\)