Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение показательных неравенств (страница 5)

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное неравенство: \[{\Large{a^{f(x)}\geqslant a^{g(x)}}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\geqslant g(x)}}\]

Если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{f(x)\leqslant g(x)}}\]

\(\blacktriangleright\) Если в основании находится не конкретное число, а неизвестная функция \(h(x)\), то при выполненном ОДЗ \[\textbf{I.}{\large{(h(x))^{f(x)}> (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)> g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)< g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

\[\textbf{II.}{\large{(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)} \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\ &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Заметим, что если знак неравенства нестрогий, то корни уравнения \(h(x)=1\) всегда являются решением такого неравенства, потому что правая и левая части обращаются в \(1\), а \(1\geqslant 1\) – верное неравенство.

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\large{b=a^{\log_ab}}}\) можно любое число \(b>0\) представить в виде степени необходимого нам числа \(a>0,\ a\ne 1\).

Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 125^x + 7\cdot 25^x + 12\cdot 5^x + \log_5 15625\leqslant 25^x + 5^x \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Так как \(\log_5 15625 = \log_5 5^6 = 6\), то исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 125^x + 6\cdot 25^x + 11\cdot 5^x + 6\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(5^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} t^3 + 6t^2 + 11t + 6\leqslant 0 \end{aligned}\]

Можно угадать корень левой части последнего неравенства: \(t = -1\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(t - t_0\), где \(t_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} t^3+6t^2+11t+6&&\negthickspace\underline{\qquad t+1 \qquad}\\ \underline{t^3+\ t^2} \phantom{000000000}&&\negthickspace \ t^2 + 5t + 6\\[-3pt] 5t^2 + 11t\,\phantom{000}&&\\ \underline{5t^2 + 5t\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 6t + 6 &&\\ \underline{6t + 6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} (t + 1)(t^2 + 5t + 6)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t + 1)(t + 2)(t + 3)\leqslant 0, \end{aligned}\]

то есть оно не выполняется при \(t > 0\), следовательно, ответ: \[x\in\varnothing\,.\]

Ответ:

\(\varnothing\)

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 5^x - 5\geqslant 7^x - 7 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 7^x - 5^x\leqslant 2 \end{aligned}\]

При \(x\leqslant 0\): \[0 < 7^x\leqslant 1,\qquad 0 < 5^x\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant -5^x < 0\] следовательно, \[-1 < 7^x - 5^x < 1 < 2,\] то есть всякий \(x\leqslant 0\) является решением исходного неравенства.

 

При \(x > 0\):
покажем, что левая часть последнего неравенства возрастает при \(x > 0\): \[(7^x - 5^x)' = 7^x\cdot\ln 7 - 5^x\cdot\ln 5.\] Так как при любом \(x > 0\) выполнено \(7^x > 5^x\), а \(\ln 7 > \ln 5\), то при любом \(x > 0\) \[(7^x - 5^x)' > 0,\] следовательно, \(f(x) = 7^x - 5^x\) – возрастает на промежутке \((0; +\infty)\).

 

Так как \(f(x)\) возрастает на промежутке \((0; +\infty)\), то у уравнения \(f(x) = 2\) не более одного решения на \((0; +\infty)\). При этом можно угадать его решение \[x = 1.\]

Так как на промежутке \((0; +\infty)\) \(f(x)\) – возрастает, то при \(x\in(0; 1]\) выполнено \[f(x) \leqslant 2,\] а при \(x\in(1; +\infty)\) выполнено \[f(x) > 2\,.\]

Таким образом, \(7^x - 5^x\leqslant 2\) только при \(x\leqslant 1\).

Ответ:

\((-\infty ; 1]\)

Задание 31
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 9^{1,5x} - 3^{2x + 1} + 2\cdot 3^x\leqslant e\cdot 3^{x + 1} - e\cdot 9^x - 2e \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Так как \(9^{1,5x} = 3^{3x}\), то исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 3^{3x} + (e - 3)\cdot 3^{2x} + (2 - 3e)\cdot 3^x + 2e\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(3^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} t^3 + (e - 3)t^2 + (2 - 3e)t + 2e\leqslant 0 \end{aligned}\]

Можно угадать корень левой части последнего неравенства: \(t = 1\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(t - t_0\), где \(t_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} t^3 + (e - 3)t^2 + (2 - 3e)t + 2e&&\negthickspace\underline{\qquad\quad t-1 \qquad\quad }\\ \underline{t^3-\qquad\quad t^2\,\,} \phantom{00000000000000}&&\negthickspace \ t^2 + (e - 2)t - 2e\\[-3pt] (e - 2)t^2 + (2 - 3e)t\,\phantom{0000}&&\\ \underline{(e - 2)t^2 +\ \, (2 - e)t\,}\phantom{0000}&&\\[-3pt] -2et + 2e &&\\ \underline{-2et + 2e}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} (t - 1)(t^2 + (e - 2)t - 2e)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t - 1)(t - 2)(t + e)\leqslant 0, \end{aligned}\]

что с учётом условия \(t > 0\) равносильно

\[\begin{aligned} (t - 1)(t - 2)\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов при \(t > 0\)



откуда \(t\in[1; 2]\), тогда \(3^x\in[1; 2]\).
таким образом, ответ: \[x\in[0; \log_3 2]\,.\]

Ответ:

\([0; \log_3 2]\)

Задание 32
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 2^{\left(3^{2x} + 2^x\cdot 3^x + 3^0\right)} > 3^{\left(4^x - 2^x\cdot 3^{x + 1} + \log_3 2\right)} \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

 

Так как левая и правая части исходного неравенства положительны, то от них можно взять \(\log_2\), в результате чего получим равносильное неравенство

\[\begin{aligned} &3^{2x} + 2^x\cdot 3^x + 1 > \log_2 3^{\left(4^x - 2^x\cdot 3^{x + 1} + \log_3 2\right)}\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &3^{2x} + 2^x\cdot 3^x + 1 > (4^x - 2^x\cdot 3^{x + 1} + \log_3 2)\cdot \log_2 3\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &3^{2x} + 2^x\cdot 3^x + 1 > (4^x - 2^x\cdot 3^{x + 1})\cdot \log_2 3 + 1\qquad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\qquad &3^{2x} + 2^x\cdot 3^x > (4^x - 2^x\cdot 3^{x + 1})\cdot \log_2 3 \end{aligned}\]

Поделим последнее неравенство на \(2^x\cdot 3^x\):

\[\begin{aligned} \left(\dfrac{3}{2}\right)^{x} + 1 > \left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x} - 3\right)\cdot \log_2 3 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^x = t > 0\):

\[\begin{aligned} t + 1 > \left(\dfrac{1}{t} - 3\right)\cdot \log_2 3, \end{aligned}\]

что при \(t > 0\) равносильно

\[\begin{aligned} t^2 + t > \left(1 - 3t\right)\cdot \log_2 3\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 + (3\log_2 3 + 1)t - \log_2 3 > 0 \end{aligned}\]

Решим уравнение

\[\begin{aligned} t^2 + (3\log_2 3 + 1)t - \log_2 3 = 0 \end{aligned}\]

его дискриминант \(D = (3\log_2 3 + 1)^2 + 4\log_2 3 = 9(\log_2 3)^2 + 10\log_2 3 + 1, > 0,\) следовательно, \[t = \dfrac{-(3\log_2 3 + 1)\pm \sqrt{9(\log_2 3)^2 + 10\log_2 3 + 1}}{2},\] так как \(\log_2 3 > 0\), то \(D > (3\log_2 3 + 1)^2\), следовательно, ровно один из корней больше нуля:\[t = \dfrac{-(3\log_2 3 + 1) + \sqrt{9(\log_2 3)^2 + 10\log_2 3 + 1}}{2}\]

По методу интервалов при \(t > 0\)



откуда \(t\in\left(\dfrac{-(3\log_2 3 + 1) + \sqrt{9(\log_2 3)^2 + 10\log_2 3 + 1}}{2}; +\infty\right)\), следовательно, \[x\in\left(\log_{\frac{3}{2}}\dfrac{-(3\log_2 3 + 1) + \sqrt{9(\log_2 3)^2 + 10\log_2 3 + 1}}{2}; +\infty\right)\,.\]

Ответ:

\(\left(\log_{\frac{3}{2}}\dfrac{-(3\log_2 3 + 1) + \sqrt{9(\log_2 3)^2 + 10\log_2 3 + 1}}{2}; +\infty\right)\)

Задание 33
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Пусть \(x_0\) – какое-то из решений уравнения \[x = e^{\frac{1}{x}}.\] Решите неравенство

\[\begin{aligned} x^x\geqslant e \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

Так как \(e^y > 0\) – при любых \(y\), то у уравнения \(x = e^{\frac{1}{x}}\) не может быть неположительных решений, следовательно, \(x_0 > 0\), следовательно, \[\ln x_0 = \dfrac{1}{x_0}.\]

ОДЗ исходного неравенства: \[x > 0.\] На ОДЗ \(x^x = e^{\ln x^x} = e^{x\ln x}\), тогда на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству \[e^{x\ln x}\geqslant e^1\qquad\Leftrightarrow\qquad x\ln x\geqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \ln x\geqslant \dfrac{1}{x}.\]

На ОДЗ:
функция \(f(x) = \ln x\) – возрастает,   функция \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) – убывает,   следовательно, на ОДЗ у уравнения \[f(x) = g(x)\qquad\Leftrightarrow\qquad\ln x = \dfrac{1}{x}\] не более одного корня. Заметим, что ОДЗ уравнения \(\ln x = \dfrac{1}{x}\) совпадает с ОДЗ исходного неравенства, следовательно, на ОДЗ \[f(x) = g(x)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = x_0.\]

Так как на промежутке \((0; +\infty)\) \(f(x)\) – возрастает, а \(g(x)\) – убывает, то при \(x\in(0; x_0)\) выполнено \[f(x) < g(x),\] а при \(x\in[x_0; +\infty)\) выполнено \[f(x) \geqslant g(x)\,.\]

Таким образом, \(\ln x\geqslant \dfrac{1}{x}\) только при \(x\geqslant x_0\).

Ответ:

\([x_0; +\infty)\)

Задание 34
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[{\large{7^{\,x-5}>3^{x^2+x-30}}}\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

ОДЗ неравенства: \(x\in \mathbb{R}\).

 

Заметим, что \(x^2+x-30=(x-5)(x+6)\). Далее, так как \(3=7^{\log_73}\), то неравенство можно переписать в виде: \[{\large{7^{\,x-5}>\left(7^{\log_73}\right)^{(x-5)(x+6)} \quad\Leftrightarrow \quad 7^{(x-5)(x+6)\log_73}<7^{\,x-5}}}\] Так как показательная функция всегда положительная, то можно без последствий разделить обе части неравенства на \(7^{x-5}\): \[{\large{7^{(x-5)(x+6)\log_73-(x-5)}<1 \quad\Leftrightarrow\quad (x-5)(x+6)\log_73-(x-5)<0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-5)((x+6)\log_73-1)<0}}\]

Решим данное неравенство методом интервалов. Корнями левой части являются \(x=5\) и \(x=\dfrac1{\log_73}-6=\log_37-6\). Так как \(1<\log_37<2\), то \(-5<\log_37-6<-4\).


 

Следовательно, \(x\in (\log_37-6;5)\).

Ответ:

\(x\in (\log_37-6;5)\)