Решите неравенство
\[\begin{aligned} 8^x + 2^{x} - 2\leqslant 0 \end{aligned}\]
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
Исходное неравенство равносильно неравенству
\[\begin{aligned} 2^{3x} + 2^{x} - 2\leqslant 0 \end{aligned}\]
Сделаем замену \(y = 2^x\), \(y > 0\). Полученное неравенство примет вид:
\[\begin{aligned} y^3 + y - 2\leqslant 0 \end{aligned}\]
Можно угадать корень левой части последнего неравенства: \(y = 1\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(y - y_0\), где \(y_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} y^3 + 0\cdot y^2+ y - 2 &&\negthickspace\underline{\qquad y-1 \qquad}\\ \underline{y^3-\ \ \ y^2}\phantom{0000000}&&\negthickspace \ y^2 + y + 2\\[-3pt] y^2 + y\,\phantom{000}&&\\ \underline{y^2 - y\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] 2y - 2 &&\\ \underline{2y - 2}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]
Таким образом, последнее неравенство равносильно
\[\begin{aligned} (y - 1)(y^2 + y + 2)\leqslant 0 \end{aligned}\]
Так как у уравнения \(y^2 + y + 2 = 0\) дискриминант отрицательный, то выражение \(y^2 + y + 2\) всюду имеет один и тот же знак. Так как при \(y = 1\) выражение \(y^2 + y + 2\) положительно, то оно положительно при всех \(y\).
Таким образом, последнее неравенство равносильно
\[\begin{aligned} (y - 1)\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad y\leqslant 1 \end{aligned}\]
Тогда исходное неравенство равносильно неравенству \[2^x\leqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x\leqslant 2^0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 0\,.\]
Ответ:
\((-\infty; 0]\)