Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение рациональных неравенств (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Рациональное неравенство – это неравенство, которое можно свести к виду \[\large{\dfrac{P(x)}{Q(x)}\geqslant 0} \quad (*)\] где \(P(x),\ Q(x)\) – многочлены.
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant, \ >,\ <\))

 

Способы решения данного неравенства:

 

1 способ: Классический. Т.к. дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака (разных знаков), то неравенство \((*)\) равносильно совокупности:

\[{\large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} P(x)\geqslant 0\\ Q(x)>0 \end{cases}\\ &\begin{cases} P(x)\leqslant 0\\ Q(x)<0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

2 способ: Удобный. Метод интервалов (будем рассматривать этот метод на примере):

 

1 ШАГ. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

 

Пусть после разложения неравенство примет вид \[\dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)(2x^2+3x+5)(2x-x^2-3)}{(x+1)^3(3-x)(2-3x)^2} \geqslant0\] Помним, что если квадратное уравнение:

 

\(\sim\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) (дискриминант \(D>0\)), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).

 

\(\sim\) имеет один корень \(x_1\) (\(D=0\)), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).

 

\(\sim\) не имеет корней (\(D<0\)), то квадратный трехчлен \(ax^2+bc+c\) никогда не может быть равен нулю, соответственно, не разлагается на линейные множители.

 

2 ШАГ. Рассмотрим скобки, в которых находится квадратный трехчлен с \(D<0\).

 

Если при \(x^2\) находится положительный коэффициент, то эти скобки можно вычеркнуть (в нашем неравенстве это \((2x^2+3x+5)\)).

 

Если при \(x^2\) находится отрицательный коэффициент, то при вычеркивании такой скобки знак неравенства меняем на противоположный (в нашем неравенстве это \((2x-x^2-3)\)).
Заметим, что если таких скобок несколько, то вычеркиваем их последовательно по одной, каждый раз меняя знак неравенства на противоположный.

 

Таким образом, неравенство примет вид \[\dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)}{(x+1)^3(3-x)(2-3x)^2} \leqslant0\]

3 ШАГ. Рассмотрим линейные скобки.

 

Назовем скобку хорошей, если при \(x\) находится положительный коэффициент (такие скобки не трогаем), и плохой, если при \(x\) находится отрицательный коэффициент (в таких скобках меняем все знаки на противоположные, т.е. делаем их хорошими).

 

Если плохих скобок было четное количество, то знак неравенства не изменится, если нечетное – то знак неравенства изменится на противоположный.

 

В нашем неравенстве одна скобка \((3-x)\) и две скобки \((2-3x)\) (т.к. \((2-3x)^2=(2-3x)(2-3x)\)), т.е. всего три плохих скобки, следовательно, неравенство примет вид: \[\dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)}{(x+1)^3(x-3)(3x-2)^2} \geqslant0\quad (**)\]

4 ШАГ. Отметим нули каждой скобки на числовой прямой, причем нули знаменателя – выколотые, нули числителя – закрашенные (если знак неравенства нестрогий, как у нас) или выколотые (если знак неравенства строгий).

 

Если мы отметили \(n\) точек, то числовая прямая разобьется на \(n+1\) промежутков.

 

Расставим знак на каждом промежутке справа налево.

 

Т.к. все скобки – хорошие, то первый знак всегда будет \("+"\). Если какая-то точка входит в четное количество скобок, то при переходе через нее (справа налево!) знак меняться не будет (например, точка \(-1\) входит в четное количество скобок: одна в числителе и три в знаменателе);

 

если точка входит в нечетное количество скобок, то знак будет меняться (единственная точка \(3\)).

 

5 ШАГ. Запишем ответ. В нашем случае, т.к. знак преобразованного \((**)\) неравенства \(\geqslant 0\), то в ответ пойдут промежутки со знаком \("+"\) и закрашенные точки: \[x\in (-\infty;-1)\cup \left(-1;\frac23\right)\cup \left(\dfrac23;1\right]\cup(3;+\infty)\]

Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x + e)^2(x^2 + 1)^2}{(x - e)^2(x^2 - 1)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} (x - e)^2(x^2 - 1)\neq 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x + e)^2(x^2 + 1)^2 = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Кроме того, \(x^2\geqslant 0\), тогда \(x^2 + 1\geqslant 1 > 0\), следовательно, нули числителя: \[x = -e\]

2) Найдём нули знаменателя: \[(x - e)^2(x^2 - 1) = 0\quad\Leftrightarrow\quad (x - e)^2(x - 1)(x + 1) = 0\quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered} x = e\\ x = 1\\ x = -1 \end{gathered} \right.\]

По методу интервалов:



откуда \[x\in(-1; 1)\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\((-1; 1)\)

Задание 23
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x + e)(x^2 - e)}{(2x - e)(x^2 + e)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} (2x - e)(x^2 + e)\neq 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x + e)(x^2 - e) = 0\quad\Leftrightarrow\quad (x + e)(x - \sqrt{e})(x + \sqrt{e}) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = -e,\qquad\qquad x = \sqrt{e},\qquad\qquad x = -\sqrt{e}\]

2) Найдём нули знаменателя: \[(2x - e)(x^2 + e) = 0\] так как \(x^2\geqslant 0\), то \(x^2 + e\geqslant e > 0\), следовательно, знаменатель обращается в \(0\) только при \(x = \dfrac{e}{2}\).

Сравним \(\dfrac{e}{2}\) и \(\sqrt{e}\). Так как \(\dfrac{e}{2} > 0\) и \(\sqrt{e} > 0\), то \[\dfrac{e}{2}\ast \sqrt{e}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{e^2}{4}\ast e\qquad\Leftrightarrow\qquad e\cdot \dfrac{e}{4}\ast e\cdot 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{e}{4}\ast 1\,,\] таким образом, \(\ast\) – это знак \(<\).

По методу интервалов:



откуда \[x\in\left[-\sqrt{e}; \dfrac{e}{2}\right)\cup[\sqrt{e}; e]\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\(\left[-\sqrt{e}; \dfrac{e}{2}\right)\cup[\sqrt{e}; e]\)

Задание 24
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{3x^4 + 6x^2 + 2}{2x^4 + 5x^2 + 1} \geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} 2x^4 + 5x^2 + 1 \neq 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(x^2 = t\geqslant 0\):

\[\begin{aligned} \dfrac{3t^2 + 6t + 2}{2t^2 + 5t + 1} \geqslant 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя:\[3t^2 + 6t + 2 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad t = -1 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}\] – оба корня отрицательные, следовательно, \(3t^2 + 6t + 2 > 0\) – при любом \(t\geqslant 0\).

Найдём нули знаменателя:\[2t^2 + 5t + 1 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad t = -\dfrac{\sqrt{25}}{4} \pm \dfrac{\sqrt{17}}{4}\] – оба корня отрицательные, следовательно, \(2t^2 + 5t + 1 > 0\) – при любом \(t\geqslant 0\).

Таким образом, и числитель и знаменатель дроби в левой части исходного неравенства положительны при любых \(x\in\mathbb{R}\), следовательно, ответ:\[x\in(-\infty; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; +\infty)\)

Задание 25
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{x^6 + x^3 - 2}{x^4 - x^2 + 1} \geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^4 - x^2 + 1 \neq 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя: \[x^6 + x^3 - 2 = 0\] Сделаем замену \(x^3 = t\): \[t^2 + t - 2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t = \dfrac{-1\pm 3}{2}\] тогда \[\left[ \begin{gathered} x^3 = -2\\ x^3 = 1 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = -\sqrt[3]{2}\\ x = 1 \end{gathered} \right.\]

При произвольном \(a\) \[x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2) = (x + a)((x - 0,5a)^2 + 0,75a^2),\] тогда при \(a\neq 0\) знак суммы \(x^3 + a^3\) совпадает со знаком \(x + a\).

 

Найдём нули знаменателя: \[x^4 - x^2 + 1 = 0\] Сделаем замену \(x^2 = t\geqslant 0\): \[t^2 - t + 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t - 0,5)^2 + 0,75 = 0,\] но \((t - 0,5)^2 + 0,75 > 0\), следовательно, знаменатель левой части исходного неравенства положителен при любых \(x\in\mathbb{R}\).

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} (x - 1)(x + \sqrt[3]{2})\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда ответ с учётом ОДЗ:\[x\in(-\infty; -\sqrt[3]{2}]\cup[1; +\infty)\,.\]

Ответ:

\((-\infty; -\sqrt[3]{2}]\cup[1; +\infty)\)

Задание 26
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{x^3 + 3x + 14}{x^2 - 5x + 7}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^2 - 5x + 7\neq 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя: \[x^3 + 3x + 14 = 0\] Можно угадать корень \(x = -2\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(x - x_0\), где \(x_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} x^3+0x^2+3x+14&&\negthickspace\underline{\qquad x+2 \qquad}\\ \underline{x^3+ 2x^2\,} \phantom{000000000}&&\negthickspace \ x^2 - 2x + 2\\[-3pt] -2x^2 + 3x\phantom{0000}&&\\ \underline{-2x^2 - 4x}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 7x +14 &&\\ \underline{7x +14}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Так как \[x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 > 0\,,\] то полное разложение числителя на множители: \[x^3 + 3x + 14 = (x + 2)(x^2 - 2x + 2)\]

Найдём нули знаменателя: \[x^2 - 5x + 7 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x - 2,5)^2 + 0,75 = 0,\] но \((x - 2,5)^2 + 0,75 > 0\), следовательно, знаменатель левой части исходного неравенства положителен при любом \(x\).

В итоге исходное неравенство равносильно \[\dfrac{(x + 2)(x^2 - 2x + 2)}{x^2 - 5x + 7}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x + 2\geqslant 0\,.\] Так как по ОДЗ подходят любые \(x\in\mathbb{R}\), то окончательный ответ: \(x\geqslant -2\,.\)

Ответ:

\([-2; +\infty)\)

Задание 27
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}{x^2 - 5} - \dfrac{5 - x^2}{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}\geqslant 2. \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 - 5\neq 0\\ x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8\neq 0 \end{cases}\] Подробнее рассмотрим левую часть второго неравенства из ОДЗ:

\[\begin{aligned} &x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) + (2x^2 + 8x + 8) =\\ &= x^2(x^2 + 4x + 4) + 2(x^2 + 4x + 4) = (x^2 + 2)(x^2 + 4x + 4) = (x^2 + 2)(x + 2)^2. \end{aligned}\]

Таким образом, ОДЗ: \[\begin{cases} x\neq \pm\sqrt{5}\\ x\neq -2\,. \end{cases}\] Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}{x^2 - 5} + \dfrac{x^2 - 5}{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}\geqslant 2. \end{aligned}\]

Обозначим \[\dfrac{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}{x^2 - 5} = y\] Тогда последнее неравенство на ОДЗ примет вид

\[\begin{aligned} y + \dfrac{1}{y}\geqslant 2.\qquad\qquad(\ast) \end{aligned}\]

Рассмотрим три случая:
1) \(y > 0\), тогда неравенство \((\ast)\) равносильно \[y^2 + 1\geqslant 2y\qquad\Leftrightarrow\qquad y^2 - 2y + 1\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 1)^2\geqslant 0,\] то есть все \(y > 0\) являются его решениями (так как \(z^2\geqslant 0\) – при любом \(z\)).
2) \(y = 0\), тогда левая часть неравенства \((\ast)\) не определена.
3) \(y < 0\), тогда неравенство \((\ast)\) равносильно \[y^2 + 1\leqslant 2y\qquad\Leftrightarrow\qquad y^2 - 2y + 1\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 1)^2\leqslant 0,\] но при \(y\neq 1\) выполнено \((y - 1)^2 > 0\), то есть среди \(y < 0\) решений нет.

 

Таким образом, на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}{x^2 - 5} > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{(x^2 + 2)(x + 2)^2}{x^2 - 5} > 0. \end{aligned}\]

Числитель последнего неравенства положителен на ОДЗ, тогда оно (а, значит, и исходное неравенство) на ОДЗ равносильно неравенству \[x^2 - 5 > 0,\] решениями которого будут \(x\in(-\infty; -\sqrt{5})\cup(\sqrt{5}; +\infty).\)
Пересечём его решения с ОДЗ: \[x\in(-\infty; -\sqrt{5})\cup(\sqrt{5}; +\infty).\]

Ответ:

\((-\infty; -\sqrt{5})\cup(\sqrt{5}; +\infty)\)

Задание 28
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[\left(\dfrac{x^2}8+\dfrac{3x}4+\dfrac32+\dfrac1x\right)\cdot \left( 1-x-\dfrac{(x-2)^2(1-x)}{(x+2)^2}\right)>0\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Добавить задание в избранное

Приведем в каждой скобке дроби к общему знаменателю:   \(\dfrac{x^3+6x^2+12x+8}{8x}\cdot \dfrac{(1-x)(x+2)^2-(x-2)^2(1-x)}{(x+2)^2}>0 \quad \Rightarrow\)   \(\Rightarrow \quad \dfrac{(x+2)^3(1-x)((x+2)^2-(x-2)^2)}{8x(x+2)^2}>0\)  

По формуле разности квадратов можно преобразовать выражение \((x+2)^2-(x-2)^2=(x+2-(x-2))(x+2+x-2)=4\cdot 2x=8x\).
Тогда неравенство примет вид:

\[\dfrac{(x+2)^3(1-x)\cdot 8x}{8x(x+2)^2}>0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{(x+2)^3(x-1)x}{x(x+2)^2}<0\]

Решим данное неравенство методом интервалов (заметим, что в точке \(0\) знак меняться не будет, т.к. эта точка имеет четную кратность):


 

Таким образом, подходит \(x\in (-2;0)\cup(0;1]\).

Ответ:

\((-2;0)\cup(0;1]\)

1 .... 3 4 5 6