Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Смешанные неравенства (страница 2)

Задание 8 #2627
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решить систему \[\begin{cases} 4^x\leqslant 9\cdot 2^x+22\\ \log_3(x^2-x-2)\leqslant 1+\log_3\dfrac{x+1}{x-2} \end{cases}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 12:00

Задание 9 #1615
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\ln(x^2 + 1)\cdot(\log_2^2 4x + \log_2 4x - \log_2 4)}{(3^x - 2)\ln x}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 12:00

Задание 10 #1613
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x^2}(x - 5)\cdot\ln (2x)}{(7^x - 1)\cdot\log_{(x^2 + 2x)}(x + 11)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 12:00

Задание 11 #1610
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \ln(7e^x)\geqslant \dfrac{1}{x} \end{aligned}\]

ОДЗ: \[\begin{cases} 7e^x > 0\\ x \neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \neq 0\,.\]

На ОДЗ:

\[\begin{aligned} &\ln(7e^x)\geqslant \dfrac{1}{x}\quad\Leftrightarrow\quad\ln(7e^x)\geqslant \ln e^{\frac{1}{x}}\quad\Leftrightarrow\quad 7e^x\geqslant e^{\frac{1}{x}}\quad\Leftrightarrow\quad e^{\ln 7}e^x\geqslant e^{\frac{1}{x}}\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad e^x\geqslant \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{e^{\ln 7}}\quad\Leftrightarrow\quad e^x\geqslant e^{\frac{1}{x} - \ln 7}\quad\Leftrightarrow\quad x\geqslant \dfrac{1}{x} - \ln 7\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^2 + x\ln 7 - 1}{x}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

По методу интервалов



Таким образом, с учётом ОДЗ \[x\in\left[\dfrac{-\ln 7 -\sqrt{\ln^2 7 + 4}}{2}; 0\right)\cup \left[\dfrac{-\ln 7 +\sqrt{\ln^2 7 + 4}}{2}; +\infty\right).\]

Ответ:

\(\left[\dfrac{-\ln 7 -\sqrt{\ln^2 7 + 4}}{2}; 0\right)\cup \left[\dfrac{-\ln 7 +\sqrt{\ln^2 7 + 4}}{2}; +\infty\right)\)

Задание 12 #1617
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 2^{x + \log_2 (\frac{1}{1 + x\ln 2})}\geqslant 1 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 12:00

Задание 13 #1616
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\lg^2 x^2\cdot\bigl(\log_{2x + 7}^2 (x + 7) + 3\log_{2x + 7} (x + 7) + \log_{2x + 7} (2x + 7)^2\bigr)}{(5^x - 1)\lg 2x}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Решение скрыто, так как задача находится в активном домашнем задании марафона.

Подключиться к марафону можно тут: Марафон Школково - ВКонтакте

Решение будет опубликовано 27.05.2020 в 12:00

Задание 14 #1618
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}(x + 1)\cdot\log_{(x + 2)}(x + 3)\cdot ...\cdot\log_{(x + 2n)}(x + 2n + 1)}{\ln (x + 1)\cdot\ln(x + 2)\cdot ...\cdot\ln(x + n)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

при каждом \(n\in\mathbb{N}\).

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1\\ x + 1 > 0\\ x + 2 > 0\\ x + 2\neq 1\\ x + 3 > 0\\ ...\\ x + 2n > 0\\ x + 2n\neq 1\\ x + 2n + 1 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1 \end{cases} \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\dfrac{\log_{x}(x + 1)\cdot\log_{(x + 2)}(x + 3)\cdot ...\cdot\log_{(x + 2n)}(x + 2n + 1)}{\ln (x + 1)\cdot\ln(x + 2)\cdot ...\cdot\ln(x + n)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x - 1)(x + 1 - 1)(x + 2 - 1)(x + 3 - 1)\cdot ...\cdot(x + 2n - 1)(x + 2n + 1 - 1)}{(x + 1 - 1)\cdot ...\cdot(x + n - 1)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x - 1)x(x + 1)(x + 2)\cdot ...\cdot(x + 2n - 1)(x + 2n)}{x\cdot ...\cdot(x + n - 1)}\leqslant 0\,. \end{aligned}\]

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} (x - 1)\leqslant 0\,. \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ: \[x\in (0; 1).\]

Ответ:

\((0; 1)\)