Решить систему \[\begin{cases} 4^x\leqslant 9\cdot 2^x+22\\ \log_3(x^2-x-2)\leqslant 1+\log_3\dfrac{x+1}{x-2} \end{cases}\]
1) Решим первое неравенство системы, ОДЗ которого: \(x\in\mathbb{R}\). С помощью замены \(2^x=t\) данное неравенство сводится к квадратичному:
\[t^2-9t-22\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad (t+2)(t-11)\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad -2\leqslant t\leqslant 11\]
Сделаем обратную замену, учитывая, что показательная функция всегда положительна, то есть \(t>0\):
\[-2\leqslant 2^x\leqslant 11\quad \Leftrightarrow \quad 2^x\leqslant 11 \quad \Leftrightarrow\quad x\leqslant \log_2{11}\]
2) Решим второе неравенство системы. Найдем его ОДЗ:
\[\begin{cases} x^2-x-2>0 \\ \dfrac{x+1}{x-2}>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (x+1)(x-2)>0\\ \dfrac{x+1}{x-2}>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)\]
Тогда на ОДЗ данное неравенство равносильно:
\(\log_3{(x+1)(x-2)}-\log_3\dfrac{x+1}{x-2}\leqslant 1 \quad \Rightarrow \quad \log_3{\dfrac{(x+1)(x-2)^2}{x+1}}\leqslant 1\quad \Rightarrow \quad \log_3(x-2)^2\leqslant 1\quad \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \quad (x-2)^2\leqslant 3 \quad \Leftrightarrow \quad -\sqrt3\leqslant x-2\leqslant \sqrt3 \quad \Leftrightarrow \quad 2-\sqrt3\leqslant x\leqslant 2+\sqrt3\)
Пересечем данное решение с ОДЗ и получим: \[2<x\leqslant 2+\sqrt3\]
3) Теперь необходимо пересечь решения обоих неравенств:
\[\begin{cases} x\leqslant \log_2{11}\\ 2<x\leqslant 2+\sqrt3 \end{cases}\]
Заметим, что сразу не очевидно, кто больше: \(\log_2{11}\) или \(2+\sqrt3\) (т.к. оба числа принадлежат интервалу \((3;4)\)). Поэтому выполним сравнение.
\(\begin{aligned} \log_2{11}&\lor 2+\sqrt3\\ 11&\lor 2^{2+\sqrt3}\\ 11&\lor 4\cdot 2^{\sqrt3} \end{aligned}\)
Заметим, что \(\sqrt3>1,5\), следовательно, \(2^{\sqrt3}>2^{1,5}=2^{1+0,5}=2\cdot \sqrt2\). Заметим, что \(\sqrt2>1,4\), следовательно, \[\begin{aligned} 4\cdot 2\cdot 1,4&<4\cdot 2^{\sqrt3} \\ 11,2&<4\cdot 2^{\sqrt3}\\ 11&<4\cdot 2^{\sqrt3} \end{aligned}\]
Таким образом, мы доказали, что \(\log_2{11}< 2+\sqrt3\).
Следовательно, пересекая решения обоих неравенств, получим:
\[x\in (2;\log_2{11}].\]
Ответ:
\(x\in (2;\log_2{11}]\)