Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Смешанные неравенства (страница 2)

Задание 8 #2627
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решить систему \[\begin{cases} 4^x\leqslant 9\cdot 2^x+22\\ \log_3(x^2-x-2)\leqslant 1+\log_3\dfrac{x+1}{x-2} \end{cases}\]

Добавить задание в избранное

1) Решим первое неравенство системы, ОДЗ которого: \(x\in\mathbb{R}\). С помощью замены \(2^x=t\) данное неравенство сводится к квадратичному:

\[t^2-9t-22\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad (t+2)(t-11)\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad -2\leqslant t\leqslant 11\]

Сделаем обратную замену, учитывая, что показательная функция всегда положительна, то есть \(t>0\):

\[-2\leqslant 2^x\leqslant 11\quad \Leftrightarrow \quad 2^x\leqslant 11 \quad \Leftrightarrow\quad x\leqslant \log_2{11}\]

2) Решим второе неравенство системы. Найдем его ОДЗ:

\[\begin{cases} x^2-x-2>0 \\ \dfrac{x+1}{x-2}>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (x+1)(x-2)>0\\ \dfrac{x+1}{x-2}>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)\]

Тогда на ОДЗ данное неравенство равносильно:

 

\(\log_3{(x+1)(x-2)}-\log_3\dfrac{x+1}{x-2}\leqslant 1 \quad \Rightarrow \quad \log_3{\dfrac{(x+1)(x-2)^2}{x+1}}\leqslant 1\quad \Rightarrow \quad \log_3(x-2)^2\leqslant 1\quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad (x-2)^2\leqslant 3 \quad \Leftrightarrow \quad -\sqrt3\leqslant x-2\leqslant \sqrt3 \quad \Leftrightarrow \quad 2-\sqrt3\leqslant x\leqslant 2+\sqrt3\)

 

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим: \[2<x\leqslant 2+\sqrt3\]

3) Теперь необходимо пересечь решения обоих неравенств:

\[\begin{cases} x\leqslant \log_2{11}\\ 2<x\leqslant 2+\sqrt3 \end{cases}\]

Заметим, что сразу не очевидно, кто больше: \(\log_2{11}\) или \(2+\sqrt3\) (т.к. оба числа принадлежат интервалу \((3;4)\)). Поэтому выполним сравнение.

 

\(\begin{aligned} \log_2{11}&\lor 2+\sqrt3\\ 11&\lor 2^{2+\sqrt3}\\ 11&\lor 4\cdot 2^{\sqrt3} \end{aligned}\)

 

Заметим, что \(\sqrt3>1,5\), следовательно, \(2^{\sqrt3}>2^{1,5}=2^{1+0,5}=2\cdot \sqrt2\). Заметим, что \(\sqrt2>1,4\), следовательно, \[\begin{aligned} 4\cdot 2\cdot 1,4&<4\cdot 2^{\sqrt3} \\ 11,2&<4\cdot 2^{\sqrt3}\\ 11&<4\cdot 2^{\sqrt3} \end{aligned}\]

Таким образом, мы доказали, что \(\log_2{11}< 2+\sqrt3\).

 

Следовательно, пересекая решения обоих неравенств, получим:

\[x\in (2;\log_2{11}].\]

Ответ:

\(x\in (2;\log_2{11}]\)

Задание 9 #1615
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\ln(x^2 + 1)\cdot(\log_2^2 4x + \log_2 4x - \log_2 4)}{(3^x - 2)\ln x}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^2 + 1 > 0\\ 4x > 0\\ 3^x - 2\neq 0\\ x > 0\\ x\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x\neq \log_3 2\\ x > 0\\ x\neq 1 \end{cases} \end{aligned}\]

На ОДЗ \(x^2 + 1 > 1\), следовательно, \(\ln(x^2 + 1) > 0\), тогда исходное неравенство на ОДЗ равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_2^2 4x + \log_2 4x - \log_2 4}{(3^x - 2)\ln x}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя:

\[\begin{aligned} \log_2^2 4x + \log_2 4x - \log_2 4 = 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(\log_2 4x = t\):

\[\begin{aligned} t^2 + t - 2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t = \dfrac{-1\pm 3}{2} \end{aligned}\]

\(\bullet\) \(\log_2 4x = -2\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_2 4x = \log_2 0,25\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x = 0,25\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac{1}{16}\)
\(\bullet\) \(\log_2 4x = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_2 4x = \log_2 2\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x = 2\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac{1}{2}\)

 

Найдём нули знаменателя:
1) \[3^x - 2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 3^x = 3^{\log_3 2}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \log_3 2\] 2) \[\ln x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\ln x = \ln 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in\left[\dfrac{1}{16}; \dfrac{1}{2}\right]\cup(\log_3 2 ; 1)\)
пересечём ответ с ОДЗ: \[x\in\left[\dfrac{1}{16}; \dfrac{1}{2}\right]\cup(\log_3 2 ; 1)\,.\]

Ответ:

\(\left[0,0625; 0,5\right]\cup(\log_3 2 ; 1)\)

Задание 10 #1613
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x^2}(x - 5)\cdot\ln (2x)}{(7^x - 1)\cdot\log_{(x^2 + 2x)}(x + 11)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^2 > 0\\ x^2\neq 1\\ x - 5 > 0\\ 2x > 0\\ 7^x - 1\neq 0\\ \log_{(x^2 + 2x)}(x + 11)\neq 0\\ x^2 + 2x > 0\\ x^2 + 2x\neq 1\\ x + 11 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 5\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x^2}(x - 5)\cdot\ln (2x)}{(7^x - 1)\cdot\log_{(x^2 + 2x)}(x + 11)}\geqslant 0\qquad&\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(x^2 - 1)(x - 5 - 1)(2x - 1)}{(7^x - 1)(x^2 + 2x - 1)(x + 11 - 1)}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{x - 6}{x^2 + 2x - 1}\geqslant 0\,, \end{aligned}\]

что на ОДЗ равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{x - 6}{(x + 1)^2 - 2}\geqslant 0\,, \end{aligned}\]

что на ОДЗ равносильно

\[\begin{aligned} x - 6\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 6\,. \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ: \[x\in [6; +\infty).\]

Ответ:

\([6; +\infty)\)

Задание 11 #1610
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \ln(7e^x)\geqslant \dfrac{1}{x} \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\begin{cases} 7e^x > 0\\ x \neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \neq 0\,.\]

На ОДЗ:

\[\begin{aligned} &\ln(7e^x)\geqslant \dfrac{1}{x}\quad\Leftrightarrow\quad\ln(7e^x)\geqslant \ln e^{\frac{1}{x}}\quad\Leftrightarrow\quad 7e^x\geqslant e^{\frac{1}{x}}\quad\Leftrightarrow\quad e^{\ln 7}e^x\geqslant e^{\frac{1}{x}}\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad e^x\geqslant \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{e^{\ln 7}}\quad\Leftrightarrow\quad e^x\geqslant e^{\frac{1}{x} - \ln 7}\quad\Leftrightarrow\quad x\geqslant \dfrac{1}{x} - \ln 7\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^2 + x\ln 7 - 1}{x}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

По методу интервалов



Таким образом, с учётом ОДЗ \[x\in\left[\dfrac{-\ln 7 -\sqrt{\ln^2 7 + 4}}{2}; 0\right)\cup \left[\dfrac{-\ln 7 +\sqrt{\ln^2 7 + 4}}{2}; +\infty\right).\]

Ответ:

\(\left[\dfrac{-\ln 7 -\sqrt{\ln^2 7 + 4}}{2}; 0\right)\cup \left[\dfrac{-\ln 7 +\sqrt{\ln^2 7 + 4}}{2}; +\infty\right)\)

Задание 12 #1617
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} 2^{x + \log_2 (\frac{1}{1 + x\ln 2})}\geqslant 1 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \[\dfrac{1}{1 + x\ln 2} > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 1 + x\ln 2 > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x > -\dfrac{1}{\ln 2}\,.\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 2^x\cdot 2^{\log_2 (\frac{1}{1 + x\ln 2})}\geqslant 1\qquad&\Leftrightarrow\qquad 2^x\cdot\dfrac{1}{1 + x\ln 2}\geqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x\geqslant 1 + x\ln 2\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad 2^x - 1 - x\ln 2\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

Рассмотрим функцию \[f(x) = 2^x - 1 - x\ln 2.\] Найдём её промежутки возрастания/убывания: \[f'(x) = 2^x\ln 2 - \ln 2 = \ln 2\cdot(2^x - 1)\] Легко проверить, что \(x = 0\) – единственная точка локального минимума функции \(f\), тогда она является точкой минимума \(f\) и наименьшее значение \(f\) равно \[f(0) = 2^0 - 1 - 0\cdot\ln 2 = 0.\]

Таким образом, \(2^x - 1 - x\ln 2\geqslant 0\) – верно при всех \(x\in\mathbb{R}\), тогда ответ совпадает с ОДЗ: \[x > -\dfrac{1}{\ln 2}.\]

Ответ:

\(\left(-\dfrac{1}{\ln 2}; +\infty\right)\)

Задание 13 #1616
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\lg^2 x^2\cdot\bigl(\log_{2x + 7}^2 (x + 7) + 3\log_{2x + 7} (x + 7) + \log_{2x + 7} (2x + 7)^2\bigr)}{(5^x - 1)\lg 2x}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x^2 > 0\\ 2x + 7 > 0\\ 2x + 7\neq 1\\ x + 7 > 0\\ 5^x - 1\neq 0\\ x > 0\\ \lg 2x\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 0\\ x\neq 0,5 \end{cases} \end{aligned}\]

На ОДЗ \(5^x - 1 > 0\), тогда исходное неравенство на ОДЗ равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{\lg^2 x^2\cdot\bigl(\log_{2x + 7}^2 (x + 7) + 3\log_{2x + 7} (x + 7) + \log_{2x + 7} (2x + 7)^2\bigr)}{\lg 2x}\leqslant 0 \end{aligned}\]

На ОДЗ \(2x + 7 > x + 7 > 1\), следовательно, \(\log_{2x + 7}(x + 7) > 0\), тогда на ОДЗ \[\log_{2x + 7}^2 (x + 7) + 3\log_{2x + 7} (x + 7) + \log_{2x + 7} (2x + 7)^2 > 0\] и исходное неравенство на ОДЗ равносильно

\[\begin{aligned} \dfrac{\lg^2 x^2}{\lg 2x}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя:

\[\begin{aligned} \lg^2 x^2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \lg x^2 = \lg 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \pm 1 \end{aligned}\]

Найдём нули знаменателя: \[\lg 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \lg 2x = \lg 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0,5\]

По методу интервалов на ОДЗ:



откуда \[x\in(0; 0,5)\cup\{1\}\,.\]

Ответ:

\((0; 0,5)\cup\{1\}\)

Задание 14 #1618
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}(x + 1)\cdot\log_{(x + 2)}(x + 3)\cdot ...\cdot\log_{(x + 2n)}(x + 2n + 1)}{\ln (x + 1)\cdot\ln(x + 2)\cdot ...\cdot\ln(x + n)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

при каждом \(n\in\mathbb{N}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1\\ x + 1 > 0\\ x + 2 > 0\\ x + 2\neq 1\\ x + 3 > 0\\ ...\\ x + 2n > 0\\ x + 2n\neq 1\\ x + 2n + 1 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1 \end{cases} \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\dfrac{\log_{x}(x + 1)\cdot\log_{(x + 2)}(x + 3)\cdot ...\cdot\log_{(x + 2n)}(x + 2n + 1)}{\ln (x + 1)\cdot\ln(x + 2)\cdot ...\cdot\ln(x + n)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x - 1)(x + 1 - 1)(x + 2 - 1)(x + 3 - 1)\cdot ...\cdot(x + 2n - 1)(x + 2n + 1 - 1)}{(x + 1 - 1)\cdot ...\cdot(x + n - 1)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{(x - 1)x(x + 1)(x + 2)\cdot ...\cdot(x + 2n - 1)(x + 2n)}{x\cdot ...\cdot(x + n - 1)}\leqslant 0\,. \end{aligned}\]

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} (x - 1)\leqslant 0\,. \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ: \[x\in (0; 1).\]

Ответ:

\((0; 1)\)

1 2 3