Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Смешанные неравенства (страница 3)

Задание 15 #2950
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[2^{-|x-2|}\cdot \log_2(4x-x^2-2)\geqslant 1\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Рассмотрим первый множитель левой части: \(2^{-|x-2|}\). Так как модуль всегда неотрицателен, то \(|x-2|\geqslant 0 \quad\Rightarrow\quad -|x-2|\leqslant 0\). Следовательно, \[2^{-|x-2|}\leqslant 2^0=1.\]

Рассмотрим второй множитель: \(\log_2(4x-x^2-2)\). Заметим, что \(4x-x^2-2=-(x^2-4x+4)+2=-(x-2)^2+2\). Так как квадрат любого выражения – число неотрицательное, то \((x-2)^2\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -(x-2)^2\leqslant 0\quad\Rightarrow\quad -(x-2)^2+2\leqslant 2\). Следовательно, \[\log_2(4x-x^2-2)\leqslant \log_22=1.\]

Следовательно, оба множителя в левой части \(\leqslant 1\), а значит и их произведение \(\leqslant 1\). Значит, неравенство будет иметь решения тогда и только тогда, когда их произведение равно \(1\), то есть оба они равны по \(1\). Таким образом, получаем, что \(x=2\) – единственное решение неравенства.

Ответ:

\(\{2\}\)

Задание 16 #3145
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство \[{\large{\log_{(\sin x+\cos x+4)}{(x^2+1)}\geqslant \log_{(2\sin x\cdot\cos x+4,5)}{(x^2+1)}}}\]

Добавить задание в избранное

Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} \sin x+\cos x+4>0\\ \sin x+\cos x+4\ne 1\\ x^2+1>0\\ 2\sin x\cos x+4,5>0\\ 2\sin x\cos x+4,5\ne 1 \end{cases}\] Так как по формуле вспомогательного аргумента \[\sin x+\cos x=\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}2\sin x+\dfrac{\sqrt2}2\cos x\right)=\sqrt2\sin \left(x+\dfrac{\pi}4\right),\] а по формуле двойного угла \(2\sin x\cos x=\sin2x\), то \[\begin{cases} \sin \left(x+\dfrac{\pi}4\right)>-2\sqrt2\\[2ex] \sin \left(x+\dfrac{\pi}4\right) \ne -\dfrac32\sqrt2\\[2ex] \sin 2x>-4,5\\ \sin 2x\ne -3,5 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in \mathbb{R}.\]

Заметим, что при одинаковых аргументах один логарифм будет \(\geqslant \) другого логарифма в одном из двух случаев:

 

1) Аргументы этих логарифмов равны \(1\). Тогда \(x^2+1=1 \quad\Rightarrow\quad x=0\).
Тогда неравенство принимает вид: что на ОДЗ равносильно \[0\geqslant 0 \ ,\] что является верным неравенством. Следовательно, \(x=0\) является решением неравенства.

 

2) При \(x\ne 0\).
Заметим, что функция \(f(x)=\log_xa\) является убывающей (докажите это самостоятельно) при \(a>1\) и возрастающей при \(a<1\). В нашем случае \(x^2+1>1\), следовательно, функция убывает. Значит, чем больше значение функции, тем меньше значение \(x\). Следовательно, при \(x\ne 0\) неравенство равносильно \[\begin{aligned} &\sin x+\cos x+4\leqslant 2\sin x\cos x+4,5 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (1-2\cos x)\left(\sin x-\dfrac12\right)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \left(\cos x-\dfrac12\right)\left(\sin x-\dfrac12\right)\geqslant 0 \end{aligned}\] Данное неравенство равносильно совокупности систем: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} \sin x\geqslant \dfrac12\\[2ex] \cos x\geqslant \dfrac12 \end{cases}\\ &\begin{cases} \sin x\leqslant \dfrac12\\[2ex] \cos x\leqslant \dfrac12 \end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Решим каждую систему по окружности:
первая система:



вторая система:



Тогда ответом будут \(x\in \left[\dfrac{\pi}6+2\pi n;\dfrac{\pi}3+2\pi n\right]\cup \left[\dfrac{5\pi}6+2\pi n; \dfrac{5\pi}3+2\pi n\right]\), \(n\in\mathbb{Z}\).

Тогда окончательный ответ – это объединение решений \(x=0\) и \(x\in \left[\dfrac{\pi}6+2\pi n;\dfrac{\pi}3+2\pi n\right]\cup \left[\dfrac{5\pi}6+2\pi n; \dfrac{5\pi}3+2\pi n\right]\), \(n\in\mathbb{Z}\), то есть \[x\in\left[\dfrac{\pi}6+2\pi n;\dfrac{\pi}3+2\pi n\right]\cup \left[\dfrac{5\pi}6+2\pi n; \dfrac{5\pi}3+2\pi n\right]\cup \{0\}, \quad n\in\mathbb{Z}.\]

Ответ:

\(x\in\left[\frac{\pi}6+2\pi n;\frac{\pi}3+2\pi n\right]\cup \left[\frac{5\pi}6+2\pi n; \frac{5\pi}3+2\pi n\right]\cup \{0\}, \quad n\in\mathbb{Z}\)

Задание 17 #3194
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите неравенство: \[{\large{3^{\log_2(x^2)}+2\cdot |x|^{\log_29} \leqslant 3\cdot \left(\dfrac13\right)^{\log_{0,5}(2x+3)}}}\]

(Задача от подписчиков)

Добавить задание в избранное

Запишем ОДЗ: \[\begin{cases} x^2>0 \\ 2x+3>0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad x\in (-1,5;0)\cup(0;+\infty)\] Тогда на ОДЗ второе слагаемое левой части можно преобразовать так: \[{\large{2\cdot |x|^{\log_29}=2\cdot \left(|x|^{\log_23}\right)^2=2\cdot \left(3^{\log_2|x|}\right)^2=2\cdot 3^{\log_2x^2}}}\] Правую часть можно преобразовать так: \[{\large{3\cdot \left(3^{-1}\right)^{\log_{0,5}(2x+3)}= 3\cdot 3^{-\log_{0,5}(2x+3)}=3\cdot 3^{\log_2(2x+3)}}}\] Тогда все неравенство перепишется в виде: \[{\large{3^{\log_2x^2}+2\cdot 3^{\log_2x^2}\leqslant 3\cdot 3^{\log_2(2x+3)} \quad\Rightarrow\quad 3^{\log_2x^2}\leqslant 3^{\log_2(2x+3)}}}\quad\Rightarrow\quad \log_2x^2\leqslant \log_2(2x+3)\quad\Rightarrow\quad x^2\leqslant 2x+3\] Получили квадратичное неравенство \(x^2-2x-3\leqslant 0\), решением которого будут \(x\in [-1;3]\). Пересекая полученное решение с ОДЗ, получим ответ: \[x\in [-1;0)\cup(0;3]\]

Ответ:

\([-1;0)\cup(0;3]\)