Решение уравнений в заданиях прошлых лет (страница 2)

а) ОДЗ уравнения: \(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\). Решим уравнение на ОДЗ. Его можно преобразовать: \[\begin{aligned} &2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow\\[1ex] &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end{aligned}\] Решениями данного уравнения будут \(\cos x=0\) и \(\sin x=-\dfrac{\sqrt3}2\): \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Проверим, подходят ли эти корни под ОДЗ. Так как эти корни получились из уравнения \((*)\), а \(4^x>0\) при всех \(x\), то при подстановке данных корней в уравнение левая часть \((*)\) также будет всегда \(>0\). А это и есть ОДЗ. Следовательно, все корни удовлетворяют ОДЗ.

б) Отберем корни. \[\begin{aligned} &-\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n\leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}2; \dfrac{\pi}2; \dfrac{3\pi}2\\[2ex] & -\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1{12}\leqslant m\leqslant \dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}3\\[2ex] &-\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{4\pi}3 \end{aligned}\]

Ответ:

а) \(x=\dfrac{\pi}2+\pi n, -\dfrac{\pi}3+2\pi m, -\dfrac{2\pi}3+2\pi k, n,m,k\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{\pi}2; -\dfrac{\pi}3; \dfrac{\pi}2; \dfrac{4\pi}3; \dfrac{3\pi}2\)

а) ОДЗ уравнения: \(\sin x>0\). Сделаем замену \(\log_2(2\sin x)=t\). Тогда уравнение примет вид: \[2t^2-7t+3=0\] Его корнями будут \(t_1=3\) и \(t_2=\frac12\). Сделаем обратную замену:   \(\bullet\) \(\log_2(2\sin x)=3\quad\Rightarrow\quad \sin x=4\). Данное уравнение не имеет решений.   \(\bullet\) \(\log_2(2\sin x)=\frac12\quad\Rightarrow\quad \sin x=\frac{\sqrt2}2\quad\Rightarrow\quad \) \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n \ \) и   \(x_2=\dfrac{3\pi}4+2\pi k\), \(n,k\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни: \[\begin{aligned} &\dfrac{\pi}2\leqslant x_1\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac18\leqslant n\leqslant \dfrac78\quad\Rightarrow\quad n\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\\[2ex] & \dfrac{\pi}2\leqslant x_2\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac 18\leqslant k\leqslant \dfrac58\quad\Rightarrow\quad k=0\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}4\end{aligned}\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+2\pi n; \ \dfrac{3\pi}4+2\pi k; \ k,n\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{3\pi}4\)

а) По формулам приведения \(\sin (x+\pi)=-\sin x\) и \(\sin \left(\frac{\pi}2-x\right)=\cos x\), следовательно, уравнение перепишется в виде \[\left(2^{-2}\right)^{-\sin x}=2^{2\sqrt3\cos x} \quad\Leftrightarrow\quad 2^{2\sin x}=2^{2\sqrt3\cos x} \quad\Leftrightarrow\quad 2\sin x=2\sqrt3\cos x\] Заметим, что в полученном уравнении не может быть \(\cos x=0\), так как в этом случае из уравнения будет следовать, что и \(\sin x=0\), а это противоречит основному тригонометрическому тождеству: \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Следовательно, можно разделить обе части уравнения на \(2\cos x\): \[\mathrm{tg}\,x=\sqrt3 \quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.
\[-\dfrac{9\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}3+\pi n\leqslant -3\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{29}6\leqslant n\leqslant -\dfrac{10}3 \quad\Rightarrow\quad n=-4 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{11\pi}3\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{11\pi}3\)

а) ОДЗ уравнения: \(x\in \mathbb{R}\).
Сделаем замену \(9^{\sin x}=t\), тогда \(t>0\). Уравнение примет вид: \[27t^2-12t+1=0\] По теореме Виета корнями будут \(t=\frac19\) и \(t=\frac13\) (оба подходят по ОДЗ). Сделаем обратную замену:   1) \(9^{\sin x}=\dfrac19\quad\Rightarrow\quad \sin x=-1\). Следовательно, \(x=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).   2) \(9^{\sin x}=\dfrac13\quad\Rightarrow\quad \sin x=-\dfrac12\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}6+2\pi k \ \) и \( \ x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(k,m\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.
\[\begin{aligned} &2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}2+2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac54\leqslant n\leqslant 2\quad\Rightarrow\quad n=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}2\\[3ex] &2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{13}{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{11}6\quad\Rightarrow\quad k\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\\[3ex] &2\pi \leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi m\leqslant \dfrac{7\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\leqslant m\leqslant\dfrac{13}6\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{19\pi}6 \end{aligned}\]

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}2+2\pi n; \ -\dfrac{\pi}6+2\pi k; \ -\dfrac{5\pi}6+2\pi m; \ k,n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{7\pi}2; \dfrac{19\pi}6\)

а) По формуле приведения \(\cos \left(\dfrac{11\pi}2+x\right)=\sin x\), следовательно, уравнение примет вид: \[\dfrac1{\sin^2x}-\dfrac3{\sin x}+2=0\]

Сделаем замену \(t=\dfrac1{\sin x}\), тогда \[t^2-3t+2=0 \quad\Rightarrow\quad t_1=1 \quad {\small{\text{и}}} \quad t_2=2.\] Следовательно, \(\sin x=1\), что равносильно \(x=\dfrac{\pi}2+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\);

\(\sin x=\dfrac12\), что равносильно \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi k\) и \(x=\dfrac{5\pi}6+2\pi n\), \(k,n\in\mathbb{Z}\).

б) Отберем корни.

\(-2\pi \leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant -\dfrac{\pi}2 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{13}{12}\leqslant k\leqslant -\dfrac13\). Так как \(k\) – целое, то \(k=-1\), следовательно, \(x=-\dfrac{11\pi}6\).  

\(-2\pi \leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -\dfrac{\pi}2 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{17}{12}\leqslant n\leqslant -\dfrac23\). Так как \(n\) – целое, то \(n=-1\), следовательно, \(x=-\dfrac{7\pi}6\).  

\(-2\pi \leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi m\leqslant -\dfrac{\pi}2\quad\Rightarrow\quad -\dfrac54\leqslant m\leqslant -\dfrac12\). Так как \(m\) – целое, то \(m=-1\), следовательно, \(x=-\dfrac{3\pi}2.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+2\pi k; \dfrac{5\pi}6+2\pi n; \dfrac{\pi}2+2\pi m; \ k,n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{11\pi}6; -\dfrac{3\pi}2; -\dfrac{7\pi}6\)

ОДЗ уравнения: \(x\in \mathbb{R}\).
По формулам приведения \[\begin{aligned} &\cos(\pi-x)=-\cos x\\[2ex] &\sin \left(x+\dfrac{3\pi}2\right)=-\cos x \end{aligned}\] Следовательно, уравнение равносильно: \[\cos^2x-\cos x=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\ &\cos x=1\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=2\pi m, m\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.

\(3\pi\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant \dfrac{9\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac52\leqslant n\leqslant 4\quad\Rightarrow\quad n=3;\ 4\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}2; \ \dfrac{9\pi}2.\)   \(3\pi\leqslant 2\pi m\leqslant \dfrac{9\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac32\leqslant m\leqslant \dfrac94\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=4\pi.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi n, \ 2\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{7\pi}2; \ 4\pi; \ \dfrac{9\pi}2\)

а) ОДЗ уравнения: \(x\in\mathbb{R}\).

Сделаем замену \(2^x=t\), \(t>0\). Тогда уравнение примет вид: \[t^3-9\cdot 2t+\dfrac{2^5}t=0\] Так как \(t>0\), то можно умножить правую и левую части равенства на \(t\): \[t^4-18t^2+32=0\] Получили биквадратное уравнение. По теореме Виета \(t^2=16\) и \(t^2=2\). Следовательно, учитывая, что \(t>0\), получаем, \(t=4\) и \(t=\sqrt2\).

Сделаем обратную замену:
\(2^x=4\) и \(2^x=\sqrt2\), откуда \(x=2\) и \(x=\frac12\).

б) Заметим, что \(\frac12=\log_5{\sqrt5}\) и \(2=\log_5{25}\). Так как \(y=\log_5x\) возрастает, то только \(\log_5{\sqrt5}\) принадлежит отрезку \([\log_52;\log_5{20}]\), так как \(2<\sqrt5<20\) – верно, а \(2<25<20\) – неверно.

Ответ:

а) \(\{\frac12;2\}\)

б) \(\{\frac12\}\)