Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение уравнений в заданиях прошлых лет (страница 2)

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[27 \cdot 81^{\sin x}-12\cdot 9^{\sin x}+1=0\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \dfrac{7\pi}2\right].\)

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ уравнения: \(x\in \mathbb{R}\).
Сделаем замену \(9^{\sin x}=t\), тогда \(t>0\). Уравнение примет вид: \[27t^2-12t+1=0\] По теореме Виета корнями будут \(t=\frac19\) и \(t=\frac13\) (оба подходят по ОДЗ). Сделаем обратную замену:   1) \(9^{\sin x}=\dfrac19\quad\Rightarrow\quad \sin x=-1\). Следовательно, \(x=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).   2) \(9^{\sin x}=\dfrac13\quad\Rightarrow\quad \sin x=-\dfrac12\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}6+2\pi k \ \) и \( \ x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(k,m\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.
\[\begin{aligned} &2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}2+2\pi n\leqslant \dfrac{7\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac54\leqslant n\leqslant 2\quad\Rightarrow\quad n=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}2\\[3ex] &2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant \dfrac{7\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{13}{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{11}6\quad\Rightarrow\quad k\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\\[3ex] &2\pi \leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi m\leqslant \dfrac{7\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{17}{12}\leqslant m\leqslant\dfrac{13}6\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{19\pi}6 \end{aligned}\]

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}2+2\pi n; \ -\dfrac{\pi}6+2\pi k; \ -\dfrac{5\pi}6+2\pi m; \ k,n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{7\pi}2; \dfrac{19\pi}6\)

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos^2(\pi -x)+\sin \left(x+\dfrac{3\pi}2\right)=0\]

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[3\pi; \dfrac{9\pi}2\right].\)

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна, резерв)

Добавить задание в избранное

ОДЗ уравнения: \(x\in \mathbb{R}\).
По формулам приведения \[\begin{aligned} &\cos(\pi-x)=-\cos x\\[2ex] &\sin \left(x+\dfrac{3\pi}2\right)=-\cos x \end{aligned}\] Следовательно, уравнение равносильно: \[\cos^2x-\cos x=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\ &\cos x=1\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=2\pi m, m\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.

\(3\pi\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant \dfrac{9\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac52\leqslant n\leqslant 4\quad\Rightarrow\quad n=3;\ 4\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}2; \ \dfrac{9\pi}2.\)   \(3\pi\leqslant 2\pi m\leqslant \dfrac{9\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac32\leqslant m\leqslant \dfrac94\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=4\pi.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi n, \ 2\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{7\pi}2; \ 4\pi; \ \dfrac{9\pi}2\)

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[8^x-9\cdot 2^{x+1}+2^{5-x}=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \([\log_52;\log_5{20}]\).

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ уравнения: \(x\in\mathbb{R}\).

 

Сделаем замену \(2^x=t\), \(t>0\). Тогда уравнение примет вид: \[t^3-9\cdot 2t+\dfrac{2^5}t=0\] Так как \(t>0\), то можно умножить правую и левую части равенства на \(t\): \[t^4-18t^2+32=0\] Получили биквадратное уравнение. По теореме Виета \(t^2=16\) и \(t^2=2\). Следовательно, учитывая, что \(t>0\), получаем, \(t=4\) и \(t=\sqrt2\).

 

Сделаем обратную замену:
\(2^x=4\) и \(2^x=\sqrt2\), откуда \(x=2\) и \(x=\frac12\).

 

б) Заметим, что \(\frac12=\log_5{\sqrt5}\) и \(2=\log_5{25}\). Так как \(y=\log_5x\) возрастает, то только \(\log_5{\sqrt5}\) принадлежит отрезку \([\log_52;\log_5{20}]\), так как \(2<\sqrt5<20\) – верно, а \(2<25<20\) – неверно.

Ответ:

а) \(\{\frac12;2\}\)

б) \(\{\frac12\}\)

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\sin^2x=3\sqrt2\sin\left(\dfrac{\pi}2-x\right)+4\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[\pi;\dfrac{5\pi}2\right].\)

 

(ЕГЭ 2016, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) По формуле приведения \(\sin \left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\cos x\).

 

Из основного тригонометрического тождества следует, что \(\sin^2x=1-\cos^2x\), следовательно, уравнение можно переписать в виде \[2-2\cos^2x=3\sqrt2\cos x+4\quad \Leftrightarrow\quad 2\cos^2x+3\sqrt2\cos x+2=0\] С помощью замены \(\cos x=t\) данное уравнение сводится к квадратному \[2t^2+3\sqrt2t+2=0,\] корнями которого являются \(t=-\sqrt2\) и \(t=-\frac{\sqrt2}2\). Из того, что \(t=\cos x\in [-1;1]\), следует, что корень \(t=-\sqrt2\) нам не подходит. Следовательно, решениями будут \[\cos x=-\dfrac{\sqrt2}2\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{3\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(\pi\leqslant \dfrac{3\pi}4+2\pi n\leqslant \dfrac{5\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac18\leqslant n\leqslant \dfrac78\quad\Rightarrow\quad n\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing.\)

 

\(\pi\leqslant -\dfrac{3\pi}4+2\pi n\leqslant \dfrac{5\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac78\leqslant n\leqslant \dfrac{13}8\quad\Rightarrow\quad n=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{5\pi}4.\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{3\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)  

б) \(\dfrac{5\pi}4\)

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[8^x-3\cdot 4^x-2^x+3=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[1,5;3\right].\)

 

(ЕГЭ 2016, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

а) Сделаем замену \(t=2^x\), тогда уравнение сведется к виду: \[t^3-3t^2-t+3=0\quad \Leftrightarrow\quad t^2(t-3)-(t-3)=0\quad \Leftrightarrow\quad (t-3)(t^2-1)=0\quad \Leftrightarrow\quad (t-3)(t-1)(t+1)=0\] Решениями данного уравнения являются \(t=-1; \ 1; \ 3\). Сделаем обратную замену: \[\begin{aligned} &2^x=-1\quad \Leftrightarrow\quad x\in \varnothing \quad {\small{\text{так как показательная функция принимает только положительные значения}}}\\ &2^x=1\quad \Leftrightarrow\quad x=0\\ &2^x=3\quad \Leftrightarrow\quad 2^x=2^{\log_23}\quad\Leftrightarrow\quad x=\log_23\end{aligned}\]

б) Отберем корни.

 

Очевидно, что \(x=0\) не входит в отрезок \([1,5;3]\).

 

Неравенство \(1,5\leqslant \log_23\leqslant 3\) равносильно \(\log_2{2^{1,5}}\leqslant \log_23\leqslant \log_2{2^3}\), что в свою очередь равносильно \(2^{1,5}\leqslant 3\leqslant 2^3\) (так как основание логарифмов \(2>1\)).

 

Так как \(2^{1,5}=2^1\cdot 2^{0,5}=2\cdot \sqrt2<2\cdot 1,5=3\), то неравенство \(2^{1,5}\leqslant 3\leqslant 2^3\) является верным неравенством, следовательно, \(x=\log_23\) входит в данный отрезок \(\left[1,5;3\right].\)

Ответ:

а) \(0; \quad \log_23\)

 

б) \(\log_23\)

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac{\sin 2x}{\cos\left(\dfrac{\pi}2+x\right)}=\sqrt3\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{5\pi}2;-\pi\right].\)

 

(ЕГЭ 2015, резервный день)

Добавить задание в избранное

а) По формуле приведения \(\cos \left(\dfrac{\pi}2+x\right)=-\sin x\), а также по формуле синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), следовательно, имеем:  

\(\dfrac{2\sin x\cos x}{-\sin x}=\sqrt3 \quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{2\sin x\cos x+\sqrt3 \sin x}{\sin x}=0\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{\sin x(2\cos x+\sqrt3)}{\sin x}=0 \quad \Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \sin x\ne 0\\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\[1ex] &\cos x=-\dfrac{\sqrt3}2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \cos x=-\dfrac{\sqrt3}2 \quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.\)  

б) Отберем корни.

 

\(-\dfrac{5\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -\pi \quad \Leftrightarrow\quad -\dfrac53\leqslant n\leqslant -\dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad n=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{7\pi}6.\)

 

\(-\dfrac{5\pi}2\leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac56\leqslant n \leqslant -\dfrac 1{12}\quad\Rightarrow\quad n\in \varnothing \quad \Rightarrow\quad x\in \varnothing.\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{7\pi}6\)

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\left(\dfrac1{81}\right)^{\cos x}=9^{2\sin 2x}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\dfrac{\pi}2\right].\)

 

(ЕГЭ 2015, резервный день)

Добавить задание в избранное

а) Данное уравнение равносильно \[(9^{-2})^{\cos x}=9^{2\sin 2x}\quad\Leftrightarrow\quad 9^{-2\cos x}=9^{2\sin 2x}\quad \Leftrightarrow\quad -2\cos x=2\sin 2x\] По формуле синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), следовательно, \[4\sin x\cos x+2\cos x=0 \quad \Leftrightarrow\quad \cos x(2\sin x+1)=0\quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\cos x=0\\[1ex] &\sin x=-\dfrac 12 \end{aligned}\end{gathered} \right.\]

Первое уравнение совокупности имеет решения \(x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\), а второе — решения \(x=-\dfrac{\pi}6+2\pi m\) и \(x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi k, \quad m,k\in\mathbb{Z}\).

б) Отберем корни.

 

\(-2\pi \leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant -\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac 52\leqslant n\leqslant -1\quad\Rightarrow\quad n=-2; \ -1 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{3\pi}2; \ -\dfrac{\pi}2.\)

 

\(-2\pi \leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi m\leqslant -\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{11}{12}\leqslant m\leqslant -\dfrac 16\quad\Rightarrow\quad m\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing.\)

 

\(-2\pi \leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant -\dfrac{\pi}2\quad \Leftrightarrow\quad -\dfrac7{12}\leqslant k\leqslant \dfrac16\quad\Rightarrow\quad k=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{5\pi}6.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi n;\quad -\dfrac{\pi}6+2\pi m; \quad -\dfrac{5\pi}6+2\pi k, \quad n,m,k\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{5\pi}6; \ -\dfrac{3\pi}2; \ -\dfrac{\pi}2\)

1 2 3 4