Решение уравнений в заданиях прошлых лет (страница 3)

а) По формуле приведения \(\sin \left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\cos x\).

Из основного тригонометрического тождества следует, что \(\sin^2x=1-\cos^2x\), следовательно, уравнение можно переписать в виде \[2-2\cos^2x=3\sqrt2\cos x+4\quad \Leftrightarrow\quad 2\cos^2x+3\sqrt2\cos x+2=0\] С помощью замены \(\cos x=t\) данное уравнение сводится к квадратному \[2t^2+3\sqrt2t+2=0,\] корнями которого являются \(t=-\sqrt2\) и \(t=-\frac{\sqrt2}2\). Из того, что \(t=\cos x\in [-1;1]\), следует, что корень \(t=-\sqrt2\) нам не подходит. Следовательно, решениями будут \[\cos x=-\dfrac{\sqrt2}2\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{3\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

\(\pi\leqslant \dfrac{3\pi}4+2\pi n\leqslant \dfrac{5\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac18\leqslant n\leqslant \dfrac78\quad\Rightarrow\quad n\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing.\)

\(\pi\leqslant -\dfrac{3\pi}4+2\pi n\leqslant \dfrac{5\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac78\leqslant n\leqslant \dfrac{13}8\quad\Rightarrow\quad n=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{5\pi}4.\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{3\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)  

б) \(\dfrac{5\pi}4\)

ОДЗ: \(x\) – произвольное.

а) Исходное уравнение можно переписать в виде \[\begin{aligned} {(3^x)}^3 - 5\cdot {(3^x)}^2 - 9\cdot 3^x + 45 = 0. \end{aligned}\] Данное уравнение – кубическое относительно \(3^x\). Сделаем замену \(3^x = t\): \[\begin{aligned} t^3 - 5\cdot t^2 - 9\cdot t + 45 = 0. \end{aligned}\] Последнее уравнение можно разложить на множители: \[\begin{aligned} &t^2(t - 5) - 9(t - 5) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t^2 - 9)(t - 5) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t - 3)(t + 3)(t - 5) = 0\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad\left[ \begin{gathered} t = 3\\ t = -3\\ t = 5. \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

Уравнение \(t = 3\) в старых переменных примет вид \(3^x = 3\). Его решения: \(x = 1\).

Уравнение \(t = -3\) в старых переменных примет вид \(3^x = -3\). У него нет решений, так как \(3^x > 0\).

Уравнение \(t = 5\) в старых переменных примет вид \(3^x = 5\). Его решения: \(x = \log_3 5\).

б) \[1 = \log_3 3 < \log_3 4,\] следовательно, \(x = 1\) не принадлежит отрезку \(\left[\log_3 4;\log_3 10\right]\).

\[\log_3 4 < \log_3 5 < \log_3 10,\] следовательно, \(x = \log_3 5\) принадлежит отрезку \(\left[\log_3 4;\log_3 10\right]\).

Ответ:

а) \(1\), \(\log_3 5\).

б) \(\log_3 5\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное.

а) Исходное уравнение можно переписать в виде \[\begin{aligned} {(2^x)}^3 - 7\cdot {(2^x)}^2 - 16\cdot 2^x + 112 = 0. \end{aligned}\] Данное уравнение – кубическое относительно \(2^x\). Сделаем замену \(2^x = t\): \[\begin{aligned} t^3 - 7\cdot t^2 - 16\cdot t + 112 = 0. \end{aligned}\] Последнее уравнение можно разложить на множители: \[\begin{aligned} &t^2(t - 7) - 16(t - 7) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t^2 - 16)(t - 7) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t - 4)(t + 4)(t - 7) = 0\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad\left[ \begin{gathered} t = 4\\ t = -4\\ t = 7. \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

Уравнение \(t = 4\) в старых переменных примет вид \(2^x = 4\). Его решения: \(x = 2\).

Уравнение \(t = -4\) в старых переменных примет вид \(2^x = -4\). У него нет решений, так как \(2^x > 0\).

Уравнение \(t = 7\) в старых переменных примет вид \(2^x = 7\). Его решения: \(x = \log_2 7\).

б) \[2 = \log_2 4 < \log_2 5,\] следовательно, \(x = 2\) не принадлежит отрезку \(\left[\log_2 5;\log_2 11\right]\).

\[\log_2 5 < \log_2 7 < \log_2 11,\] следовательно, \(x = \log_3 5\) принадлежит отрезку \(\left[\log_2 5;\log_2 11\right]\).

Ответ:

а) \(2\), \(\log_2 7\).

б) \(\log_2 7\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное.

а) Пользуясь формулой приведения \(\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x\), можно переписать исходное уравнение в виде: \[\begin{aligned} \cos (2x) + (-\sin x)^2 = 0,25\qquad\Leftrightarrow\qquad \cos (2x) + \sin^2 x = 0,25. \end{aligned}\] Пользуясь формулой косинуса двойного угла, можно переписать последнее уравнение в виде: \[\begin{aligned} &1 - 2\sin^2 x + \sin^2 x = 0,25\qquad\Leftrightarrow\qquad \sin^2 x - 0,75 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \left(\sin x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\sin x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad\left[ \begin{gathered} \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

Решения уравнения \(\sin x = a\) имеют вид: \(x = \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), \(x = \pi - \mathrm{arcsin}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), тогда   решения уравнения \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеют вид: \(x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

Решения уравнения \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеют вид: \(x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \[-4\pi \leq \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq -\dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13\pi}{3} \leq 2\pi k \leq -\dfrac{17\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13}{6} \leq k \leq -\dfrac{17}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = -2\): \(x = -\dfrac{11\pi}{3}\).

\[-4\pi \leq \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \leq -\dfrac{5\pi}{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{14\pi}{3} \leq 2\pi k \leq -\dfrac{19\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{7}{3} \leq k \leq -\dfrac{19}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = -2\): \(x = -\dfrac{10\pi}{3}\).

\[-4\pi \leq -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \leq -\dfrac{5\pi}{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11\pi}{3} \leq 2\pi k \leq -\dfrac{13\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{6} \leq k \leq -\dfrac{13}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений нет решений, принадлежащих отрезку \(\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]\).

\[-4\pi \leq \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k \leq -\dfrac{5\pi}{2} \qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{16\pi}{3} \leq 2\pi k \leq -\dfrac{23\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{8}{3} \leq k \leq -\dfrac{23}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = -2\): \(x = -\dfrac{8\pi}{3}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k\), \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(\dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{11\pi}{3}\), \(-\dfrac{10\pi}{3}\), \(-\dfrac{8\pi}{3}\).

а) Сделаем замену \(t=2^x\), тогда уравнение сведется к виду: \[t^3-3t^2-t+3=0\quad \Leftrightarrow\quad t^2(t-3)-(t-3)=0\quad \Leftrightarrow\quad (t-3)(t^2-1)=0\quad \Leftrightarrow\quad (t-3)(t-1)(t+1)=0\] Решениями данного уравнения являются \(t=-1; \ 1; \ 3\). Сделаем обратную замену: \[\begin{aligned} &2^x=-1\quad \Leftrightarrow\quad x\in \varnothing \quad {\small{\text{так как показательная функция принимает только положительные значения}}}\\ &2^x=1\quad \Leftrightarrow\quad x=0\\ &2^x=3\quad \Leftrightarrow\quad 2^x=2^{\log_23}\quad\Leftrightarrow\quad x=\log_23\end{aligned}\]

б) Отберем корни.

Очевидно, что \(x=0\) не входит в отрезок \([1,5;3]\).

Неравенство \(1,5\leqslant \log_23\leqslant 3\) равносильно \(\log_2{2^{1,5}}\leqslant \log_23\leqslant \log_2{2^3}\), что в свою очередь равносильно \(2^{1,5}\leqslant 3\leqslant 2^3\) (так как основание логарифмов \(2>1\)).

Так как \(2^{1,5}=2^1\cdot 2^{0,5}=2\cdot \sqrt2<2\cdot 1,5=3\), то неравенство \(2^{1,5}\leqslant 3\leqslant 2^3\) является верным неравенством, следовательно, \(x=\log_23\) входит в данный отрезок \(\left[1,5;3\right].\)

Ответ:

а) \(0; \quad \log_23\)

б) \(\log_23\)

ОДЗ: \(x\) – произвольное.

а) Используя формулу для синуса двойного угла, исходное уравнение можно переписать в виде: \[\begin{aligned} &2\sin x\cos x + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}\qquad\Leftrightarrow \qquad \sin x(2\cos x + \sqrt{2}) - (2\cos x + \sqrt{2}) = 0\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad 2(\sin x - 1)(\cos x + \dfrac{\sqrt{2}}{2}) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} \sin x = 1\\ \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

Решения уравнения \(\sin x = 1\) имеют вид: \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) имеют вид: \(x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \[\pi\leq \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \leq\dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\pi}{2}\leq 2\pi k \leq 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{4}\leq k \leq 1,\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = 1\): \(x = \dfrac{5\pi}{2}\).

\[\pi\leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq\dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow \qquad \dfrac{\pi}{4}\leq 2\pi k \leq \dfrac{7\pi}{4}\qquad\Leftrightarrow \qquad \dfrac{1}{8}\leq k \leq \dfrac{7}{8},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений нет решений, попадающих на отрезок \(\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]\).

\[\pi\leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq\dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow \qquad \dfrac{7\pi}{4}\leq 2\pi k \leq \dfrac{13\pi}{4}\qquad\Leftrightarrow \qquad \dfrac{7}{8}\leq k \leq \dfrac{13}{8},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = 1\): \(x = \dfrac{5\pi}{4}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(\pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{5\pi}{4}\), \(\dfrac{5\pi}{2}\).

а) По формуле приведения \(\cos \left(\dfrac{\pi}2+x\right)=-\sin x\), а также по формуле синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), следовательно, имеем:  

\(\dfrac{2\sin x\cos x}{-\sin x}=\sqrt3 \quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{2\sin x\cos x+\sqrt3 \sin x}{\sin x}=0\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{\sin x(2\cos x+\sqrt3)}{\sin x}=0 \quad \Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \sin x\ne 0\\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\[1ex] &\cos x=-\dfrac{\sqrt3}2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \cos x=-\dfrac{\sqrt3}2 \quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}.\)  

б) Отберем корни.

\(-\dfrac{5\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -\pi \quad \Leftrightarrow\quad -\dfrac53\leqslant n\leqslant -\dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad n=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{7\pi}6.\)

\(-\dfrac{5\pi}2\leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac56\leqslant n \leqslant -\dfrac 1{12}\quad\Rightarrow\quad n\in \varnothing \quad \Rightarrow\quad x\in \varnothing.\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{7\pi}6\)