Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение уравнений в заданиях прошлых лет (страница 3)

Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\log_5(2-x)=\log_{25}x^4\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[\log_9\dfrac1{82};\log_98\right].\)

 

(ЕГЭ 2014, вторая волна, резервный день)

Добавить задание в избранное

а) Выпишем ОДЗ данного уравнения: \[\begin{cases} 2-x>0\\ x^4>0\end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;0)\cup(0;2).\] Решим уравнение на ОДЗ.
Так как по свойству (на найденном ОДЗ) логарифма \(\log_{25}{x^4}=\log_{5^2}{(x^2)^2}=\log_{|5|}{|x^2|}=\log_5{x^2}\), то данное уравнение равносильно на ОДЗ \[\log_5(2-x)=\log_5{x^2} \quad \Rightarrow\quad 2-x=x^2\quad \Leftrightarrow\quad x=-2\quad{\small{\text{и}}}\quad x=1.\] Заметим, что оба корня подходят под ОДЗ.

 

б) Отберем корни.

 

Неравенство \(\log_9{\dfrac1{82}}\leqslant -2\leqslant \log_98\) равносильно \(\log_9{\dfrac1{82}}\leqslant \log_9{9^{-2}}\leqslant \log_98\), что в свою очередь равносильно \(\dfrac1{82}\leqslant \dfrac1{81}\leqslant 8\) (так как основание логарифмов \(9>1\)).

 

Данное неравенство является верным, следовательно, корень \(x=-2\) входит в данный отрезок \(\left[\log_9\dfrac1{82};\log_98\right].\)

 

Аналогично можем определить, что корень \(x=1\) не входит в данный отрезок \(\left[\log_9\dfrac1{82};\log_98\right].\)

Ответ:

а) \(-2; \ 1\)  

б) \(-2\)

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[3\cdot 9^{x-0,5}-7\cdot 6^x+3\cdot 4^{x+1}=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[2;3\right].\)

 

(ЕГЭ 2014, вторая волна)

Добавить задание в избранное

а) Перепишем данное уравнение в виде: \[3\cdot 9^x\cdot \dfrac1{9^{0,5}}-7\cdot (2\cdot 3)^x+3\cdot 4^x\cdot 4^1=0 \quad\Leftrightarrow\quad 3\cdot \dfrac{9^x}3 -7\cdot 2^x\cdot 3^x+12\cdot 4^x=0\quad \Leftrightarrow\quad 3^{2x}-7\cdot 2^x\cdot 3^x+12\cdot 2^{2x}=0\] Данное уравнение является однородным второй степени (подробнее вы можете ознакомиться с этим в нашем разделе “Теоретическая справка” \(\rightarrow\)“Решение уравнений. Часть I” \(\rightarrow\) “Рациональные уравнения. Некоторые известные типы уравнений”). Разделим обе части уравнения на неравное нулю \(2^{2x}\): \[\dfrac{3^{2x}}{2^{2x}}-7\cdot \dfrac{3^x}{2^x}+12=0 \quad \Leftrightarrow\quad \left(\dfrac 32\right)^{2x}-7\cdot \left(\dfrac 32\right)^x+12=0\] Сделаем замену \(t=\left(\dfrac 32\right)^x\), тогда уравнение сведется к квадратному: \[t^2-7t+12=0 \quad\Rightarrow\quad t_1=3\quad{\small{\text{и}}}\quad t_2=4.\] Сделаем обратную замену: \[\begin{aligned} &\left(\dfrac32\right)^x=3 \quad\Leftrightarrow\quad \left(\dfrac32\right)^x=\left(\dfrac 32\right)^{\log_{\frac32}3}\quad\Leftrightarrow\quad x=\log_{\frac32}3.\\[2ex] &\left(\dfrac32\right)^x=4\quad\Leftrightarrow\quad \left(\dfrac32\right)^x=\left(\dfrac32\right)^{\log_{\frac32}4}\quad\Leftrightarrow\quad x=\log_{\frac32}4 \end{aligned}\]

б) Заметим, что \(2\leqslant \log_{\frac32}3\leqslant 3\) равносильно \(\dfrac94\leqslant 3\leqslant \dfrac{27}8\) (так как основание логарифма \(\frac32>1\)). Данное неравенство является верным, следовательно, корень \(x=\log_{\frac32}3\) принадлежит данному отрезку \([2;3]\).

 

Аналогично неравенство \(2\leqslant \log_{\frac32}4\leqslant 3\) равносильно \(\dfrac94\leqslant 4\leqslant \dfrac{27}8\), что неверно, следовательно, корень \(x=\log_{\frac32}4\) не принадлежит данному отрезку \([2;3]\).

Ответ:

а) \(\log_{\frac32}3; \quad \log_{\frac32}4\)  

б) \(\log_{\frac32}3\)

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac 1{\sin^2x}-\dfrac 3{\sin x}+2=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{5\pi}2;-\pi\right].\)

 

(ЕГЭ 2014, резервный день)

Добавить задание в избранное

а) Сделаем замену \(\dfrac1{\sin x}=t\), тогда уравнение примет вид \[t^2-3t+2=0\quad \Rightarrow\quad t_1=2 \quad{\small{\text{и}}}\quad t_2=1\] Сделав обратную замену, получим \[\sin x=\dfrac 12 \quad{\small{\text{и}}}\quad \sin x=1\] Решениями данных уравнений являются \[x=\dfrac{\pi}6+2\pi n; \quad x=\dfrac{5\pi}6+2\pi m \quad{\small{\text{и}}}\quad x=\dfrac{\pi}2+2\pi k; \quad n,m,k\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-\dfrac{5\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac43\leqslant n \leqslant -\dfrac 7{12}\quad\Rightarrow\quad n=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{11\pi}6.\)

 

\(-\dfrac{5\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi m\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac53\leqslant m \leqslant -\dfrac {11}{12}\quad\Rightarrow\quad m=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{7\pi}6.\)

 

\(-\dfrac{5\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+2\pi k\leqslant -\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac 32\leqslant k\leqslant -\dfrac 34\quad\Rightarrow\quad k=-1\quad \Rightarrow\quad x=-\dfrac{3\pi}2.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+2\pi n; \quad \dfrac{5\pi}6+2\pi m; \quad\dfrac{\pi}2+2\pi k; \quad n,m,k\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{11\pi}6; \ -\dfrac{3\pi}2; \ -\dfrac{7\pi}6\)

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos x+\sqrt3\sin\left(\dfrac{3\pi}2-\dfrac x2\right)+1=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-2,5\pi\right].\)

 

(ЕГЭ 2014, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) По формуле приведения \(\sin \left(\dfrac{3\pi}2-\dfrac x2\right)=-\cos \dfrac x2\). Сделаем замену \(t=\dfrac x2\), тогда уравнение примет вид \[\cos 2t-\sqrt3\cos t+1=0\] По формуле косинуса двойного угла \(\cos 2t=2\cos^2t-1\), следовательно, \[2\cos^2t-\sqrt3\cos t=0 \quad\Leftrightarrow\quad \cos t(2\cos t-\sqrt3)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \cos t=0 \quad{\small{\text{или}}}\quad \cos t=\dfrac{\sqrt3}2.\] Решениям данных уравнений являются \[t=\dfrac{\pi}2+\pi n \quad{\small{\text{и}}}\quad t=\pm\dfrac{\pi}6+2\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}.\] Сделаем обратную замену и получим ответ: \[x=\pi+2\pi n \quad{\small{\text{и}}}\quad x=\pm\dfrac{\pi}3+4\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-4\pi \leqslant \pi +2\pi n\leqslant -2,5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac 52\leqslant n\leqslant -\dfrac 74\quad\Rightarrow\quad n=-2 \quad\Rightarrow\quad x=-3\pi.\)

 

\(-4\pi\leqslant \dfrac{\pi}3+4\pi m\leqslant -2,5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{13}{12}\leqslant m\leqslant -\dfrac{17}{24} \quad\Rightarrow\quad m=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{11\pi}3.\)

 

\(-4\pi\leqslant -\dfrac{\pi}3+4\pi m\leqslant -2,5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{11}{12}\leqslant m\leqslant -\dfrac{13}{24}\quad\Rightarrow\quad m\in \varnothing \quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing.\)

Ответ:

а) \(\pi+2\pi n; \quad \pm\dfrac{\pi}3+4\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{11\pi}3; \ -3\pi\)

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\sqrt3\cos^2\left(\dfrac{3\pi}2+x\right)-\sin2x=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[1,5\pi;3\pi\right].\)

 

(ЕГЭ 2014, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) По формуле приведения \(\cos \left(\dfrac{3\pi}2+x\right)=\sin x\), по формуле синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), следовательно, уравнение примет вид \[2\sqrt3\sin^2x-2\sin x\cos x=0 \quad \Leftrightarrow\quad 2\sin x(\sqrt3\sin x-\cos x)=0 \quad \Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\ &\sqrt3\sin x-\cos x=0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решением первого уравнения совокупности являются \(x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\).

 

Второе уравнение является однородным первой степени (подробнее вы можете ознакомиться с этим в нашем разделе “Теоретическая справка” \(\rightarrow\) “Решение уравнений. Часть II” \(\rightarrow\) “Основные виды тригонометрических уравнений”) и решается делением обеих частей, например, на \(\sin x\): \[\sqrt3-\mathrm{ctg}\,x=0\quad \Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}6+\pi m, m\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(1,5\pi\leqslant \pi n\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad 1,5\leqslant n\leqslant 3\quad\Rightarrow\quad n=2; \ 3\quad\Rightarrow\quad x=2\pi; \ 3\pi.\)

 

\(1,5\pi\leqslant \dfrac{\pi}6+\pi m\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac43\leqslant m\leqslant \dfrac{17}6\quad\Rightarrow\quad m=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{13\pi}6.\)

Ответ:

а) \(\pi n; \quad \dfrac{\pi}6+\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(2\pi; \ \dfrac{13\pi}6; \ 3\pi\)

Задание 20
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\sin \left(\dfrac{7\pi}2+x\right)\cdot \sin x=\sqrt3\cos x\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-7\pi;-6\pi]\).

 

(ЕГЭ 2013, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

а) По формуле приведения \(\sin\left(\dfrac{7\pi}2+x\right)=-\cos x\), следовательно, уравнение примет вид \[-2\cos x\cdot \sin x=\sqrt3\cos x \quad\Leftrightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\cos x=0\\[2ex] &\sin x=-\dfrac{\sqrt3}2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решением первого уравнения совокупности будут \(x=\dfrac{\pi}2+\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

Решением второго уравнения будут \(x=-\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\) и \(x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\).

б) Отберем корни.

\(-7\pi \leqslant \dfrac{\pi}2+\pi k\leqslant -6\pi \quad\Leftrightarrow\quad -7,5\leqslant k\leqslant -6,5\). Так как \(k\) – целое, то подходит только \(k=-7\), при котором получаем корень \(x=-\dfrac{13\pi}2\).

\(-7\pi\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant -6\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{10}3\leqslant n\leqslant -\dfrac{17}6\). Так как \(n\) – целое, то подходит только \(n=-3\), при котором получаем корень \(x=-\dfrac{19\pi}3\).

\(-7\pi \leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi m\leqslant -6\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{19}6\leqslant m\leqslant -\dfrac83\). Так как \(m\) – целое, то подходит только \(m=-3\), при котором получаем корень \(x=-\dfrac{20\pi}3\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi k; \ -\dfrac{\pi}3+2\pi n; \ -\dfrac{2\pi}3+2\pi m; \ k,n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{20\pi}3; \ -\dfrac{13\pi}2; \ -\dfrac{19\pi}3\)

Задание 21
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin(2x) + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное.

 

а) Используя формулу для синуса двойного угла, исходное уравнение можно переписать в виде:

\[\begin{aligned} &2\sin x\cos x + \sqrt{2}\sin x = 2\cos x + \sqrt{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \sin x(2\cos x + \sqrt{2}) - (2\cos x + \sqrt{2}) = 0\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad 2(\sin x - 1)(\cos x + \dfrac{\sqrt{2}}{2}) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} \sin x = 1\\ \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \end{gathered} \right. \end{aligned}\]

Решения уравнения \(\sin x = 1\) имеют вид: \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) имеют вид: \(x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[\pi\leq \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \leq\dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\pi}{2}\leq 2\pi k \leq 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{4}\leq k \leq 1,\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = 1\): \(x = \dfrac{5\pi}{2}\).

\[\pi\leq \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq\dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\pi}{4}\leq 2\pi k \leq \dfrac{7\pi}{4}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{8}\leq k \leq \dfrac{7}{8},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений нет решений, попадающих на отрезок \(\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]\).

\[\pi\leq -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k \leq\dfrac{5\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{7\pi}{4}\leq 2\pi k \leq \dfrac{13\pi}{4}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{7}{8}\leq k \leq \dfrac{13}{8},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, среди этих решений подходит только решение при \(k = 1\): \(x = \dfrac{5\pi}{4}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(\pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{5\pi}{4}\), \(\dfrac{5\pi}{2}\).

1 2 3 4