Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение тригонометрических неоднородных линейных уравнений (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Неоднородное линейное уравнение (или первой степени): \[\large{a\sin x+b\cos x=c, \ \ \ a,b,c\ne 0}\]Один из способов его решения был показан в предыдущей подтеме. Но иногда бывает полезен другой способ – способ преобразования выражения \(a\sin x+b\cos x\).

\(\blacktriangleright\) Формула вспомогательного аргумента: \[\begin{array}{|c|} \hline \text{Общий случай}\\ \hline\\ a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin{(\alpha\pm \phi)}, \ \ \cos\phi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin\phi=\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \hline \text{Частный случай}\\ \hline \\ \sin\alpha\pm \cos\alpha=\sqrt2\cdot \sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}4\right)}\\\\ \sqrt3\sin\alpha\pm \cos\alpha=2\sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}6\right)}\\\\ \sin\alpha\pm \sqrt3\cos\alpha=2\sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}3\right)}\\\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, по данной формуле уравнение сводится к уравнению \[\large{\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin{(x+ \phi)}=c \Longleftrightarrow \sin {(x+\phi)}=\dfrac c{\sqrt{a^2+b^2}}}\] Учитывая область допустимых значений синуса, данное уравнение будет иметь корни только в том случае, если
\[-1\leq \dfrac c{\sqrt{a^2+b^2}}\leq 1\]

Задание 8
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin 2x\sin \dfrac{2\pi}5+\cos2\left(\dfrac{\pi}2-x\right)\cos \dfrac{3\pi}5=1\]

б) Найдите все его корни из промежутка \(\left(17\pi; \dfrac{37\pi}2\right)\).

Добавить задание в избранное

а) Заметим, что по формулам приведения:

 

\(\cos2\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\cos(\pi-2x)=-\cos 2x\);

 

\(\cos \dfrac{3\pi}5=\cos\left(\pi-\dfrac{2\pi}5\right)=-\cos\dfrac{2\pi}5\).

 

Следовательно, уравнение переписывается в виде

\[\sin 2x\sin\dfrac{2\pi}5+\cos2x\cos\dfrac{2\pi}5=1 \quad \Rightarrow \quad \cos\left(2x-\dfrac{2\pi}5\right)=1 \quad \Rightarrow\]

(преобразование было сделано по формуле косинуса разности \(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\))

 

\[\Rightarrow \quad 2x-\dfrac{2\pi}5=2\pi n, n\in\mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{\pi}5+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.

 

\[17\pi<\dfrac{\pi}5+\pi n<\dfrac{37\pi}2 \quad \Rightarrow \quad 16\frac45<n<18\frac3{10}\]

Таким образом, целыми решениями этого неравенства будут \(n=17;18\), при которых получаются корни \(x=\dfrac{86\pi}5; \ \dfrac{91\pi}5\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}5+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{86\pi}5; \ \dfrac{91\pi}5\)

Задание 9
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Решите уравнение \[4\sin x+3\cos x=5\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Разделим правую и левую части уравнения на \(\sqrt{4^2+3^2}=5\): \[\dfrac45\sin x+\dfrac 35\cos x=1\]

Т.к. \(\left(\dfrac45\right)^2+\left(\dfrac35\right)^2=1\), то по основному тригонометрическому тождеству следует, что существует такой угол \(\phi\) (пусть он будет из \(\left(0;\dfrac{\pi}2\right)\)), что \(\dfrac 45=\cos \phi\), а \(\dfrac35 =\sin \phi\).

 

Тогда уравнение примет вид: \[\sin x\cos \phi+\sin \phi\cos x=1 \Rightarrow \sin (x+\phi)=1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}2-\phi+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Сделаем обратную подстановку: т.к. \(\cos \phi=\dfrac 45 \Rightarrow \phi=\arccos \dfrac45 \Rightarrow\) \[x=\dfrac{\pi}2-\arccos \dfrac45+2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\]

Ответ:

\(\dfrac{\pi}2-\arccos \dfrac45+2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\)

Задание 10
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[-2\cos x=2\sin x-\sqrt6\]

б) Найдите все его корни, удовлетворяющие условию \(|x|<1\).

Добавить задание в избранное

а) Преобразуем уравнение к виду \[\sin x+\cos x=\dfrac{\sqrt6}2\]

Это уравнение имеет вид неоднородного линейного уравнения. Следовательно, разделим правую и левую части уравнения на \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\):

 

\(\dfrac1{\sqrt2}\cos x+\dfrac1{\sqrt2}\sin x=\dfrac{\sqrt6}{2\sqrt2} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\sqrt2}2\cos x+\dfrac{\sqrt2}2\sin x=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow\)

 

по формуле синуса суммы \(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha=\sin(\alpha+\beta)\)

 

\(\Rightarrow \quad \sin\dfrac{\pi}4\cos x+\cos\dfrac{\pi}4\sin x=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow \quad \sin\left(\dfrac{\pi}4+x\right)=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{\pi}4+x=\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &\dfrac{\pi}4+x=\dfrac{2\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}{12}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &x=\dfrac{5\pi}{12}+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\)

 

б) Отберем корни.
Заметим, что условие \(|x|<1\) равносильно условию \(x\in (-1;1)\).

 

1) \[-1<\dfrac{\pi}{12}+2\pi n<1 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac1{2\pi}-\dfrac1{24}<n<\dfrac1{2\pi}-\dfrac1{24}\]

Заметим, что т.к. \(3<\pi<4\), то \(\frac18<\frac1{2\pi}<\frac16\).
Следовательно, точно можно сказать, что \(-1<-\frac1{2\pi}-\frac1{24}<0\) и \(0<\frac1{2\pi}-\frac1{24}<1\).

 

Таким образом, целые \(n\), удовлетворяющие неравенству, это \(n=0\), при котором получается корень \(x=\dfrac{\pi}{12}\).

 

2) \[-1<\dfrac{5\pi}{12}+2\pi m<1 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac1{2\pi}-\dfrac5{24}<m<\dfrac1{2\pi}-\dfrac5{24}\]

Аналогично, \(-1<-\frac1{2\pi}-\frac5{24}<0\) и \(-1<\frac1{2\pi}-\frac5{24}<0\). Таким образом, в данном случае нет целых \(m\), удовлетворяющих неравенству.

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{12}+2\pi n; \ \dfrac{5\pi}{12}+2\pi m; n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}{12}\)

Задание 11
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos \dfrac{\pi}3\cos x-\cos x\left(\dfrac{\pi}2-x\right)\sin \dfrac{\pi}3=\dfrac12\]

б) Найдите все его корни из промежутка \((-1;\sqrt2)\).

Добавить задание в избранное

а) По формуле приведения \(\cos\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\sin x\). Тогда уравнение примет вид неоднородного линейного уравнения:

\[\cos \dfrac{\pi}3\cos x-\sin x\sin\dfrac{\pi}3=\dfrac12 \quad \Rightarrow \quad \cos\left(\dfrac{\pi}3+x\right)=\dfrac12 \quad \Rightarrow\]

(преобразование было сделано по формуле косинуса суммы \(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)\))

 

\[\Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{\pi}3+x=\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &\dfrac{\pi}3+x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered} \right.\]

б) Отберем корни.

 

1) \[-1<2\pi n<\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac1{2\pi}<n<\dfrac{\sqrt2}{2\pi}\]

Заметим, что т.к. \(3<\pi<4\), то \(-1<-\frac1{2\pi}<0\) и \(0<\dfrac{\sqrt2}{2\pi}<1\). Следовательно, единственное целое подходящее \(n=0\). Значит, корень \(x=0\).

 

2) \[-1<-\dfrac{2\pi}3+2\pi m<\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac1{2\pi}+\dfrac13<m<\dfrac{\sqrt2}{2\pi}+\dfrac13\]

Заметим, что \(\frac18<\frac1{2\pi}<\frac16\), следовательно, \(\frac16<-\frac1{2\pi}+\frac13<\frac5{24}\), то есть это некоторое положительное число меньше \(1\);

 

\(\dfrac{3\sqrt2+8}{24}<\dfrac{\sqrt2}{2\pi}+\dfrac13<\dfrac{\sqrt2+2}6\).

 

Как известно, \(1,4<\sqrt2<1,5\), следовательно, \(12,2<3\sqrt2+8<12,5\) и \(3,4<\sqrt2+2<3,5\). Значит, обе дроби \(\frac{3\sqrt2+8}{24}\) и \(\frac{\sqrt2+2}6\) — это также некоторые положительные меньшие \(1\) числа. Следовательно, можно для удобства записать, что \[0,...<m<0,...,\]

то есть данное неравенство не имеет решений среди целых чисел.

Ответ:

а) \(2\pi n; \ -\dfrac{2\pi}3+2\pi m; \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(0\)

Задание 12
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sqrt2\sin x+\sqrt2\cos x=2\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \([0;\pi]\)

Добавить задание в избранное

а) Разделим обе части уравнения на \(2\): \[\dfrac{\sqrt2}2\sin x+\dfrac{\sqrt2}2\cos x=1\]

Заметим, что \(\dfrac{\sqrt2}2=\sin \dfrac{\pi}4=\cos \dfrac{\pi}4\), следовательно: \[\cos\dfrac{\pi}4\sin x+\sin\dfrac{\pi}4\cos x=1 \quad\Leftrightarrow\quad \sin \left(x+\dfrac{\pi}4\right)=1\quad \Leftrightarrow\quad x+\dfrac{\pi}4=\dfrac{\pi}2+2\pi n \quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

 

б) Отберем корни.

\[0\leqslant \dfrac{\pi}4+2\pi n\leqslant \pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac18\leqslant n\leqslant \dfrac38 \quad\Rightarrow\quad n=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{\pi}4\)