Решение тригонометрических неоднородных линейных уравнений (страница 2)

а) Заметим, что по формулам приведения:

\(\cos2\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\cos(\pi-2x)=-\cos 2x\);

\(\cos \dfrac{3\pi}5=\cos\left(\pi-\dfrac{2\pi}5\right)=-\cos\dfrac{2\pi}5\).

Следовательно, уравнение переписывается в виде

\[\sin 2x\sin\dfrac{2\pi}5+\cos2x\cos\dfrac{2\pi}5=1 \quad \Rightarrow \quad \cos\left(2x-\dfrac{2\pi}5\right)=1 \quad \Rightarrow\]

(преобразование было сделано по формуле косинуса разности \(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\))

\[\Rightarrow \quad 2x-\dfrac{2\pi}5=2\pi n, n\in\mathbb{Z} \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{\pi}5+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.

\[17\pi<\dfrac{\pi}5+\pi n<\dfrac{37\pi}2 \quad \Rightarrow \quad 16\frac45<n<18\frac3{10}\]

Таким образом, целыми решениями этого неравенства будут \(n=17;18\), при которых получаются корни \(x=\dfrac{86\pi}5; \ \dfrac{91\pi}5\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}5+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{86\pi}5; \ \dfrac{91\pi}5\)

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Разделим правую и левую части уравнения на \(\sqrt{4^2+3^2}=5\): \[\dfrac45\sin x+\dfrac 35\cos x=1\]

Т.к. \(\left(\dfrac45\right)^2+\left(\dfrac35\right)^2=1\), то по основному тригонометрическому тождеству следует, что существует такой угол \(\phi\) (пусть он будет из \(\left(0;\dfrac{\pi}2\right)\)), что \(\dfrac 45=\cos \phi\), а \(\dfrac35 =\sin \phi\).

Тогда уравнение примет вид: \[\sin x\cos \phi+\sin \phi\cos x=1 \Rightarrow \sin (x+\phi)=1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}2-\phi+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Сделаем обратную подстановку: т.к. \(\cos \phi=\dfrac 45 \Rightarrow \phi=\arccos \dfrac45 \Rightarrow\) \[x=\dfrac{\pi}2-\arccos \dfrac45+2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\]

Ответ:

\(\dfrac{\pi}2-\arccos \dfrac45+2\pi n, \ n\in\mathbb{Z}\)

а) Преобразуем уравнение к виду \[\sin x+\cos x=\dfrac{\sqrt6}2\]

Это уравнение имеет вид неоднородного линейного уравнения. Следовательно, разделим правую и левую части уравнения на \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\):

\(\dfrac1{\sqrt2}\cos x+\dfrac1{\sqrt2}\sin x=\dfrac{\sqrt6}{2\sqrt2} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\sqrt2}2\cos x+\dfrac{\sqrt2}2\sin x=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow\)

по формуле синуса суммы \(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha=\sin(\alpha+\beta)\)

\(\Rightarrow \quad \sin\dfrac{\pi}4\cos x+\cos\dfrac{\pi}4\sin x=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow \quad \sin\left(\dfrac{\pi}4+x\right)=\dfrac{\sqrt3}2 \quad \Rightarrow\)

\(\Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{\pi}4+x=\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &\dfrac{\pi}4+x=\dfrac{2\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}{12}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &x=\dfrac{5\pi}{12}+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\)

б) Отберем корни.
Заметим, что условие \(|x|<1\) равносильно условию \(x\in (-1;1)\).

1) \[-1<\dfrac{\pi}{12}+2\pi n<1 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac1{2\pi}-\dfrac1{24}<n<\dfrac1{2\pi}-\dfrac1{24}\]

Заметим, что т.к. \(3<\pi<4\), то \(\frac18<\frac1{2\pi}<\frac16\).
Следовательно, точно можно сказать, что \(-1<-\frac1{2\pi}-\frac1{24}<0\) и \(0<\frac1{2\pi}-\frac1{24}<1\).

Таким образом, целые \(n\), удовлетворяющие неравенству, это \(n=0\), при котором получается корень \(x=\dfrac{\pi}{12}\).

2) \[-1<\dfrac{5\pi}{12}+2\pi m<1 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac1{2\pi}-\dfrac5{24}<m<\dfrac1{2\pi}-\dfrac5{24}\]

Аналогично, \(-1<-\frac1{2\pi}-\frac5{24}<0\) и \(-1<\frac1{2\pi}-\frac5{24}<0\). Таким образом, в данном случае нет целых \(m\), удовлетворяющих неравенству.

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{12}+2\pi n; \ \dfrac{5\pi}{12}+2\pi m; n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{\pi}{12}\)

а) По формуле приведения \(\cos\left(\dfrac{\pi}2-x\right)=\sin x\). Тогда уравнение примет вид неоднородного линейного уравнения:

\[\cos \dfrac{\pi}3\cos x-\sin x\sin\dfrac{\pi}3=\dfrac12 \quad \Rightarrow \quad \cos\left(\dfrac{\pi}3+x\right)=\dfrac12 \quad \Rightarrow\]

(преобразование было сделано по формуле косинуса суммы \(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)\))

\[\Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{\pi}3+x=\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &\dfrac{\pi}3+x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[1ex] &x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered} \right.\]

б) Отберем корни.

1) \[-1<2\pi n<\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac1{2\pi}<n<\dfrac{\sqrt2}{2\pi}\]

Заметим, что т.к. \(3<\pi<4\), то \(-1<-\frac1{2\pi}<0\) и \(0<\dfrac{\sqrt2}{2\pi}<1\). Следовательно, единственное целое подходящее \(n=0\). Значит, корень \(x=0\).

2) \[-1<-\dfrac{2\pi}3+2\pi m<\sqrt2 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac1{2\pi}+\dfrac13<m<\dfrac{\sqrt2}{2\pi}+\dfrac13\]

Заметим, что \(\frac18<\frac1{2\pi}<\frac16\), следовательно, \(\frac16<-\frac1{2\pi}+\frac13<\frac5{24}\), то есть это некоторое положительное число меньше \(1\);

\(\dfrac{3\sqrt2+8}{24}<\dfrac{\sqrt2}{2\pi}+\dfrac13<\dfrac{\sqrt2+2}6\).

Как известно, \(1,4<\sqrt2<1,5\), следовательно, \(12,2<3\sqrt2+8<12,5\) и \(3,4<\sqrt2+2<3,5\). Значит, обе дроби \(\frac{3\sqrt2+8}{24}\) и \(\frac{\sqrt2+2}6\) — это также некоторые положительные меньшие \(1\) числа. Следовательно, можно для удобства записать, что \[0,...<m<0,...,\]

то есть данное неравенство не имеет решений среди целых чисел.

Ответ:

а) \(2\pi n; \ -\dfrac{2\pi}3+2\pi m; \ n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(0\)

а) Разделим обе части уравнения на \(2\): \[\dfrac{\sqrt2}2\sin x+\dfrac{\sqrt2}2\cos x=1\]

Заметим, что \(\dfrac{\sqrt2}2=\sin \dfrac{\pi}4=\cos \dfrac{\pi}4\), следовательно: \[\cos\dfrac{\pi}4\sin x+\sin\dfrac{\pi}4\cos x=1 \quad\Leftrightarrow\quad \sin \left(x+\dfrac{\pi}4\right)=1\quad \Leftrightarrow\quad x+\dfrac{\pi}4=\dfrac{\pi}2+2\pi n \quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.

\[0\leqslant \dfrac{\pi}4+2\pi n\leqslant \pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac18\leqslant n\leqslant \dfrac38 \quad\Rightarrow\quad n=0 \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}4\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{\pi}4\)