Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)+\sin 2x=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(0;\dfrac{5\pi}2\right].\)

Добавить задание в избранное

а) По формуле приведения \(\sin\left(\dfrac{\pi}2+x\right)=\cos x\), по формуле двойного угла для синуса \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), следовательно

 

\(\cos x+2\sin x\cos x=0 \quad\Leftrightarrow\quad \cos x(1+2\sin x)=0 \quad\Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=-\dfrac12\\[2ex] &\cos x=0 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=-\dfrac{\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\dfrac{5\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\dfrac{\pi}2+\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\)

 

б) Отберем корни.

 

\(0<-\dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant \dfrac{5\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1{12}<n\leqslant \dfrac43 \quad\Rightarrow\quad n=1.\) Следовательно, \(x=\dfrac{11\pi}6.\)

 

\(0<-\dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant \dfrac{5\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac5{12}<k\leqslant \dfrac53 \quad\Rightarrow\quad k=1.\) Следовательно, \(x=\dfrac{7\pi}6.\)

 

\(0<\dfrac{\pi}2+\pi m\leqslant \dfrac{5\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac12<m\leqslant 2\quad\Rightarrow\quad m=0; \ 1; \ 2.\) Следовательно, \(x=\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{3\pi}2; \ \dfrac{5\pi}2.\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}6+2\pi n; \quad -\dfrac{5\pi}6+2\pi k;\quad \dfrac{\pi}2+\pi m;\quad n,k,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(\dfrac{\pi}2; \ \dfrac{7\pi}6; \ \dfrac{3\pi}2; \ \dfrac{5\pi}2; \ \dfrac{11\pi}6\)

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\cos 2x\sin x-\sqrt3\sin x+2\cos 2x=\sqrt3\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{\pi}2; \dfrac{3\pi}2\right)\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общие множители за скобки:

 

\(2\cos2x(\sin x+1) -\sqrt3(\sin x+1)=0 \Rightarrow (\sin x+1)(2\cos 2x-\sqrt3)=0 \Rightarrow\)

 

\(\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=-1\\ &\cos 2x=\dfrac{\sqrt3}2 \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad \Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{\pi}{12}+\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x_3=-\dfrac{\pi}{12}+\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right. \)

 

б) Отберем корни:

 

1) \(-\dfrac{\pi}2\leqslant x_1<\dfrac{3\pi}2 \Rightarrow 0\leqslant n<1 \Rightarrow n=0 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}2\)

 

2) \(-\dfrac{\pi}2\leqslant x_2<\dfrac{3\pi}2 \Rightarrow -\dfrac7{12}\leqslant m<\dfrac{17}{12} \Rightarrow m=0;1 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{12}; \dfrac{13\pi}{12}\)

 

3) \(-\dfrac{\pi}2\leqslant x_3<\dfrac{3\pi}2 \Rightarrow -\dfrac5{12}\leqslant k<\dfrac{19}{12} \Rightarrow k=0;1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{12}; \dfrac{11\pi}{12}\)

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}2+2\pi n, \dfrac{\pi}{12}+\pi m, -\dfrac{\pi}{12}+\pi k, \ n,m,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}2; -\dfrac{\pi}{12};\dfrac{\pi}{12};\dfrac{11\pi}{12}\dfrac{13\pi}{12}\)

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[1+\sin 2x=(\sin 2x-\cos 2x)^2\]

б) Найдите наименьший положительный корень данного уравнения.

Добавить задание в избранное

а) Преобразуем уравнение: \[1+\sin2x=\sin^22x-2\sin2x\cos2x+\cos^22x \quad\Leftrightarrow\quad 1+\sin 2x=1-2\sin2x\cos2x \quad\Leftrightarrow\quad \sin2x(1+2\cos2x)=0\] Данное уравнение имеет решение в том случае, если либо \(\sin2x=0\), либо \(\cos2x=-\frac12\). В первом случае получаем серию корней \(2x=\pi n\), а во втором \(2x=\pm \frac{2\pi}3+2\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}\), откуда: \[x=\dfrac{\pi}2n \quad {\small{\text{или}}} \quad x=\pm \dfrac{\pi}3+\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни.

 

\(\dfrac{\pi}2n >0\quad\Leftrightarrow\quad n>0\quad\Rightarrow\quad n_{min}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{min}=\dfrac{\pi}2\)

 

\(\dfrac{\pi}3+\pi m>0\quad\Leftrightarrow\quad m>-\dfrac13\quad\Rightarrow\quad m_{min}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{min}=\dfrac{\pi}3\)

 

\(-\dfrac{\pi}3+\pi m>0\quad\Leftrightarrow\quad m>\dfrac13\quad\Rightarrow\quad m_{min}=1\quad\Rightarrow\quad x_{min}=\dfrac{2\pi}3\)

 

Заметим, что среди найденных в каждой серии наименьших положительных корней самым меньшим является \(\dfrac{\pi}3\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2n; \ \pm \dfrac{\pi}3+\pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{\pi}3\)

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin x+\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin 2x}{\cos x}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right).\)

Добавить задание в избранное

а) Так как \(\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) и \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), то уравнение можно переписать в виде  

\(\sin x+\dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{2\sin x\cos x}{\cos x}=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\sin x\cos x+\sin x-2\sin x\cos x}{\cos x}=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}=0 \quad\Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\ &\cos x=1 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\ \cos x\ne 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\\[3ex] x\ne \dfrac{\pi}2+\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{cases}\)   Для того, чтобы получить окончательный ответ, отметим решение на окружности:


 

Видим, что серия \(x=2\pi m\) входит в серию \(x=\pi n\). Следовательно, окончательный ответ \[x=\pi n, n\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-\dfrac{\pi}2<\pi n<\dfrac{\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac12<n<\dfrac12 \quad\Rightarrow\quad n=0.\) Следовательно, \(x=0\).

Ответ:

а) \(x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(0\)

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\mathrm{tg}\,2x+\sin 2x=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-3\pi;-2\pi).\)

Добавить задание в избранное

а) Так как \(\mathrm{tg}\,2x=\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}\), то уравнение, сделав замену \(2x=t\), можно переписать в виде  

\(\dfrac{\sin t}{\cos t}+\sin t=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\sin t+\sin t\cos t}{\cos t}=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\sin t\cdot (1+\cos t)}{\cos t}=0 \quad\Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin t=0\\ &\cos t=-1 \end{aligned}\end{gathered}\right.\\ \cos t\ne 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &t=\pi+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\\[3ex] t\ne \dfrac{\pi}2+\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{cases}\)   Для того, чтобы получить окончательный ответ, отметим решение для \(t\) на окружности:


 

Видим, что серия \(t=\pi+2\pi m\) входит в серию \(t=\pi n\). Следовательно, окончательный ответ \[t=\pi n \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{\pi}2\cdot n, n\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-3\pi\leqslant \dfrac{\pi}2\cdot n<-2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -6\leqslant n<-4 \quad\Rightarrow\quad n=-6; \ -5.\) Следовательно, \(x=-3\pi; \ -\dfrac{5\pi}2.\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-3\pi; \ -\dfrac{5\pi}2\)

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac{2\cos^2x-1-\sin4x}{2\sin3x-\sqrt2}=0\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[\dfrac{19\pi}4;\dfrac{23\pi}4\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(\sin 3x\ne \dfrac{\sqrt2}2\). Решим на ОДЗ.

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

\[2\cos^2x-1-\sin4x=0 \Rightarrow \cos2x-\sin4x=0 \ \text{(т.к. по формуле двойного угла } \cos2x=2\cos^2x-1)\]

\[\cos2x-2\sin2x\cos2x=0 \Rightarrow \cos2x(1-2\sin2x)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos2x=0\\ &\sin2x=\dfrac12 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2n , n\in\mathbb{Z}\\ &x=\dfrac{\pi}{12}+\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Решим ОДЗ: \(\sin 3x\ne \dfrac{\sqrt2}2 \Rightarrow x'\ne \dfrac{\pi}{12}+\dfrac23\pi p, p\in\mathbb{Z}, \ x''\ne \dfrac{\pi}4+\dfrac23\pi l, l\in\mathbb{Z}\)

 

Пересечем полученные корни с ОДЗ. Для этого отметим все эти точки на окружности: корни уравнения — зеленые, а корни ОДЗ – красными.


 

Таким образом, итоговый ответ: \[\begin{aligned} &x_1=\dfrac{5\pi}{12}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{13\pi}{12}+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{5\pi}4+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\\ &x_4=\dfrac{7\pi}4+2\pi l, l\in\mathbb{Z} \end{aligned}\]

б) Отберем корни:

 

1) \(\dfrac{19\pi}4\leqslant x_1\leqslant \dfrac{23\pi}4 \Rightarrow \dfrac{13}6\leqslant n \leqslant \dfrac83 \Rightarrow n\in\varnothing\)

 

2) \(\dfrac{19\pi}4\leqslant x_2\leqslant \dfrac{23\pi}4\Rightarrow \dfrac{11}6\leqslant m \leqslant \dfrac{7}3 \Rightarrow m=2 \Rightarrow x=\dfrac{61\pi}{12}\)

 

3) \(\dfrac{19\pi}4\leqslant x_3\leqslant \dfrac{23\pi}4 \Rightarrow \dfrac74\leqslant k\leqslant \dfrac94 \Rightarrow k=2 \Rightarrow x=\dfrac{21\pi}4\)

 

4) \(\dfrac{19\pi}4\leqslant x_4\leqslant \dfrac{23\pi}4 \Rightarrow \dfrac32\leqslant l\leqslant 2 \Rightarrow l=2 \Rightarrow x=\dfrac{23\pi}4\)

Ответ:

а) \(\dfrac{5\pi}{12}+2\pi n, \dfrac{13\pi}{12}+2\pi m, \dfrac{5\pi}4+2\pi k, \dfrac{7\pi}4+2\pi l, \ n,m,k,l\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{61\pi}{12};\dfrac{21\pi}4;\dfrac{23\pi}4\)

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение \[\begin{aligned} \sin{(2x)} + \cos{(2x)} + 1 = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((0; \pi)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Воспользуемся формулами для косинуса двойного угла и синуса двойного угла: \[\begin{aligned} &2\sin{x}\cdot \cos{x} + 2\cos^2{x} - 1 + 1 = 0.\\ &2\cos{x}\cdot (\sin{x} + \cos{x}) = 0. \end{aligned}\] Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, или \(\cos{x} = 0\), или \(\sin{x} + \cos{x} = 0\).

 

В случае \(\cos{x} = 0\):
решениями будут \(x = \dfrac{\pi}{2} +\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

В случае \(\sin{x} + \cos{x} = 0\):
равенство можно разделить на \(\cos{x}\) (так как если \(\cos{x} = 0\) является решением, то из этого равенства следует, что и \(\sin x=0\); но тогда мы получаем противоречие с основным тригонометрическим тождеством: \(0^2+0^2=1\)).

После деления имеем: \(\mathrm{tg}\, x = -1\), откуда получаем \(x = -\dfrac{\pi}{4} +\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\) – подходят по ОДЗ.

 

б) \[0 < \dfrac{\pi}{2} + \pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{\pi}{2} < \pi k < \dfrac{\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{2} < k < \dfrac{1}{2},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на интервал \((0; \pi)\) попадает только корень при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2}\).

\[0 < -\dfrac{\pi}{4} +\pi k < \pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{\pi}{4} < \pi k < \pi + \dfrac{\pi}{4}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{1}{4} < k < 1\dfrac{1}{4},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на интервал \((0; \pi)\) попадает только корень при \(k = 1\): \(x = \dfrac{3\pi}{4}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(-\dfrac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\)

1 2 3 4