Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 15
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \dfrac{\sin{(2x)} - 2\cos{x}}{\sin{x} - 1} = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((\pi; 2\pi]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\sin x \neq 1\). Решим на ОДЗ:

а) Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

\[\begin{aligned} &\dfrac{2\sin{x}\cdot \cos{x} - 2\cos{x}}{\sin{x} - 1} = 0.\\ &2\cos{x} \cdot \dfrac{\sin{x} - 1}{\sin{x} - 1} = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, следовательно, на ОДЗ: \(\cos{x} = 0\), то есть

\[\begin{cases} \cos x = 0\\ \sin x \neq 1. \end{cases}\]

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:


 

Таким образом, подходят только \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[\pi < -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \leq 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \pi + \dfrac{\pi}{2} < 2\pi k \leq 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{3}{4} < k \leq \dfrac{5}{4},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на полуинтервал \((\pi; 2\pi]\) попадает только корень при \(k = 1\): \(x = \dfrac{3\pi}{2}\).

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{3\pi}{2}\).

Задание 16
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \sin(2x) + \sin x = 2\cos x + 1. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\pi; \dfrac{3\pi}{2}\right]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формуле синуса двойного угла:
\[2\sin x\cdot\cos x + \sin x - 2\cos x - 1 = 0.\] Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

\[\begin{aligned} \sin x(2\cos x + 1) - (2\cos x + 1) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (\sin x - 1)(2\cos x + 1) = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл:
\(\sin x - 1 = 0\) или \(2\cos x + 1 = 0\).

 

Решениями уравнения \(\sin x = 1\) являются \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) имеют вид \(x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[-\pi \leq \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \leq \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{3}{4} \leq k \leq \dfrac{1}{2},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(k = 0\): \(x = \dfrac{\pi}{2}\).

\[-\pi \leq \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{5}{6} \leq n \leq \dfrac{5}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(n = 0\): \(x = \dfrac{2\pi}{3}\).

\[-\pi \leq -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{6} \leq n \leq \dfrac{13}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда подходят \(x\) при \(n = 0\) и \(n = 1\): \(x = -\dfrac{2\pi}{3}\), \(x = \dfrac{4\pi}{3}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(\pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(-\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{4\pi}{3}\).

Задание 17
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 3\sin x + \dfrac{\cos (2x)}{\sin x} = -2 \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \([-\pi; \pi]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\sin x\neq 0\). Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

\[\begin{aligned} \dfrac{3\sin^2 x + \cos (2x) + 2\sin x}{\sin x} = 0 \end{aligned}\]

Так как \(\cos (2x) = 1 - 2\sin^2 x\), то последнее уравнение можно переписать в виде

\[\begin{aligned} \dfrac{\sin^2 x + 2\sin x + 1}{\sin x} = 0 \label{Start} \end{aligned}\]

Используя формулу для квадрата суммы, получим, что уравнение  эквивалентно уравнению

\[\begin{aligned} \dfrac{(\sin x + 1)^2}{\sin x} = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, на ОДЗ: \(\sin x = -1\).

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:


 

Таким образом, решениями будут \[x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}.\]

б) \[-\pi\leq -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\leq\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{\pi}{2}\leq 2\pi k\leq \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{4}\leq k\leq \dfrac{3}{4},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на отрезок \([-\pi; \pi]\) попадает только решение при \(k = 0\), то есть \(x = -\dfrac{\pi}{2}\).

Ответ:

а) \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{\pi}{2}\).

Задание 18
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \(5\sin x+3\sin^2x=0\).

 

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((-7;0)\).

Добавить задание в избранное

а) Вынесем множитель \(\sin x\) за скобки:

\[\sin x\cdot (5+3\sin x)=0 \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sin x=0\\ &5+3\sin x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sin x=0\\[2ex] &\sin x=-\dfrac53 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Заметим, что т.к. область значений синуса – это отрезок \([-1;1]\), то второе уравнение решений не имеет. Следовательно, решением данной совокупности является решение первого уравнения:

\[\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни:

\[-7<\pi n<0 \quad \Rightarrow \quad -\dfrac7{\pi}<n<0\]

Т.к. \(2\pi<7<3\pi\), то \(-\dfrac{3\pi}{\pi}<-\dfrac7{\pi}<-\dfrac{2\pi}{\pi}\), что равносильно \(-3<-\dfrac7{\pi}<-2\).

 

Таким образом, целые \(n\), принадлежащие полученному промежутку, это \(n=-2;-1\). При этих значениях \(n\) получаем корни \(x=-2\pi; -\pi\).

Ответ:

а) \(\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

б) \(-2\pi; -\pi\)

Задание 19
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \dfrac{\cos x}{1 - \sin^2 x - \cos x} = \dfrac{\sin (2x)}{1 - \sin^2 x - \cos x} \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-2\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(1 - \sin^2 x - \cos x\neq 0\). Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

\[\begin{aligned} \dfrac{\cos x - \sin(2x)}{1 - \sin^2 x - \cos x} = 0 \end{aligned}\]

Воспользуемся формулой для синуса двойного угла:

\[\begin{aligned} \dfrac{\cos x(1 - 2\sin x)}{1 - \sin^2 x - \cos x} = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, на ОДЗ: или \(\cos{x} = 0\), или \(\sin x = 0,5\).

 

Рассмотрим ОДЗ: \(1 - \sin^2 x - \cos x\neq 0\),
что в силу основного тригонометрического тождества равносильно \(\cos^2 x - \cos x\neq 0\), что равносильно \(\cos x(\cos x - 1)\neq 0\), что равносильно системе

\[\begin{cases} \cos x \neq 0\\ \cos x \neq 1. \end{cases}\]

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:


 

Таким образом, решениями будут \(\mathrm{arcsin}\, 0,5 + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\) и \(\pi - \mathrm{arcsin}\, 0,5 + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\), то есть \[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z},\qquad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}.\]

 

б) \[-2\pi < \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k < -\dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13\pi}{6} < 2\pi k < -\dfrac{10\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{13}{12} < k < -\dfrac{10}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на интервал \(\left(-2\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right)\) попадает только решение при \(k = -1\): \(x = -\dfrac{11\pi}{6}\).

\[-2\pi < \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k < -\dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{17\pi}{6} < 2\pi k < -\dfrac{14\pi}{6}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{17}{12} < k < -\dfrac{14}{12},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно, решения вида \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\) на интервал \(\left(-2\pi; -\dfrac{3\pi}{2}\right)\) не попадают.

Ответ:

а) \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\), \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{11\pi}{6}\).

Задание 20
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\dfrac{\sin 3x+\sin x}{\sin x-1}=0\]

б) Найдите наибольший отрицательный корень данного уравнения.

Добавить задание в избранное

а) По формуле синуса тройного угла \(\sin3x=3\sin x-4\sin^3x\), следовательно: \[\dfrac{4\sin x-4\sin^3x}{\sin x-1}=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{4\sin x(1-\sin^2x)}{\sin x-1}=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{\sin x(1-\sin x)(1+\sin x)}{\sin x-1}=0\] Данное уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} \sin x\ne 1\\ \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\ &\sin x=-1\end{aligned}\end{gathered}\right. \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi m, m\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\dfrac{\pi}2+2\pi n, n\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.

 

\(\pi m<0 \quad\Leftrightarrow\quad m<0\quad\Rightarrow\quad m_{max}=-1\quad\Rightarrow\quad x_{max}=-\pi\)

 

\(-\dfrac{\pi}2+2\pi n<0\quad\Leftrightarrow\quad n<\dfrac14\quad\Rightarrow\quad n_{max}=0\quad\Rightarrow\quad x_{max}=-\dfrac{\pi}2\)

 

Заметим, что среди найденных в каждой серии наибольших отрицательных корней самым большим является \(-\dfrac{\pi}2\).

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}2+2\pi n; \ \pi m, \quad n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{\pi}2\)

Задание 21
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

а) Решите уравнение \[3\sin x+3\sqrt3\cos x=\sqrt3+\mathrm{tg}\,x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{\pi}2;\pi\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(\cos x\ne 0\). Решим на ОДЗ. Т.к. на ОДЗ \(\sin x=\dfrac{\sin x\cos x}{\cos x}=\mathrm{tg}\, x\cos x\Rightarrow \)

\[3\cos x\mathrm{tg}\,x +3\sqrt3\cos x-\sqrt3-\mathrm{tg}\,x=0 \Rightarrow (\mathrm{tg}\,x+\sqrt3)(3\cos x-1)=0 \Rightarrow\]

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\mathrm{tg}\,x=-\sqrt3\\ &\cos x=\dfrac13 \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad \Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=-\dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=\pm \arccos \dfrac13+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

Т.к. по ОДЗ \(\cos x\ne 0 \Rightarrow x\ne \dfrac{\pi}2+\pi k, k\in\mathbb{Z}\), то полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

 

б) Отберем корни:

 

1) \(-\dfrac{\pi}2<-\dfrac{\pi}3+\pi n\leqslant \pi \Rightarrow -\dfrac16<n\leqslant \dfrac43 \Rightarrow n=0;1 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}3; \dfrac{2\pi}3\)

 

2) Обозначим \(\arccos \dfrac13=\alpha\).

 

\(-\dfrac{\pi}2<\alpha+2\pi m_1\leqslant \pi \Rightarrow -\dfrac14-\dfrac{\alpha}{2\pi}<m_1\leqslant \dfrac12-\dfrac{\alpha}{2\pi}\)

 

Т.к. в первой четверти косинус убывает и \(\dfrac13<\dfrac12\), то \(\dfrac{\pi}3<\alpha<\dfrac{\pi}2 \Longrightarrow -\dfrac14<-\dfrac{\alpha}{2\pi}<-\dfrac16 \Rightarrow \) можно условно сказать, что

 

\(-\dfrac14-\dfrac{\alpha}{2\pi}=-0,...\) и \(\dfrac12-\dfrac{\alpha}{2\pi}=0,...\). Значит, \(m_1=0 \Rightarrow x=\alpha=\arccos \dfrac13\)

 

3) \(-\dfrac{\pi}2<-\alpha+2\pi m_2\leqslant \pi \Rightarrow -\dfrac14+\dfrac{\alpha}{2\pi}<m_2\leqslant \dfrac12+\dfrac{\alpha}{2\pi}\)

 

Аналогично, \(-\dfrac14+\dfrac{\alpha}{2\pi}=-0,...\) и \(\dfrac12+\dfrac{\alpha}{2\pi}=0,...\), следовательно, \(m_2=0 \Rightarrow x=-\arccos \dfrac13\).

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}3+\pi n, \pm \arccos \dfrac13+2\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\arccos\dfrac13; -\dfrac{\pi}3; \arccos \dfrac13; \dfrac{2\pi}3\)

1 2 3 4