a) Решите уравнение
\[\begin{aligned} \dfrac{\sin{(2x)} - 2\cos{x}}{\sin{x} - 1} = 0. \end{aligned}\]
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((\pi; 2\pi]\).
ОДЗ: \(\sin x \neq 1\). Решим на ОДЗ:
а) Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
\[\begin{aligned} &\dfrac{2\sin{x}\cdot \cos{x} - 2\cos{x}}{\sin{x} - 1} = 0.\\ &2\cos{x} \cdot \dfrac{\sin{x} - 1}{\sin{x} - 1} = 0. \end{aligned}\]
Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, следовательно, на ОДЗ: \(\cos{x} = 0\), то есть
\[\begin{cases} \cos x = 0\\ \sin x \neq 1. \end{cases}\]
Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:
Таким образом, подходят только \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).
б) \[\pi < -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \leq 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \pi + \dfrac{\pi}{2} < 2\pi k \leq 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{3}{4} < k \leq \dfrac{5}{4},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на полуинтервал \((\pi; 2\pi]\) попадает только корень при \(k = 1\): \(x = \dfrac{3\pi}{2}\).
Ответ:
а) \(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).
б) \(\dfrac{3\pi}{2}\).