а) Решите уравнение \[\sin x+\sin 3x+\cos x=0\]
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-\dfrac{3\pi}2;\pi\right)\).
а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.
Применим формулу суммы синусов: \(\sin\alpha+\sin \beta=2\sin \dfrac{\alpha+\beta}2\cos \dfrac{\alpha-\beta}2\) и получим:
\[2\sin 2x\cos x+\cos x=0 \Rightarrow \cos x\,(2\sin 2x+1)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\ &\sin 2x=-\dfrac12 \end{aligned} \end{gathered}\right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=-\dfrac{\pi}{12}+\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x_3=-\dfrac{5\pi}{12}+\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]
б) Отберем корни по окружности:
Отметим дугу, соответствующую промежутку \(\left(-\dfrac{3\pi}2;\pi\right)\): она отмечена голубым цветом (причем концы дуги выколоты). Таким образом, мы по одному разу проходимся по \(I, III, IV\) четвертям и два раза по \(II\) четверти.
Углы, попадающие на эту дугу:
\[\dfrac{7\pi}{12}-2\pi; \ \dfrac{11\pi}{12}-2\pi; \ -\dfrac{\pi}2; \ -\dfrac{5\pi}{12}; \ -\dfrac{\pi}{12}; \ \dfrac{\pi}2; \ \dfrac{7\pi}{12}; \ \dfrac{11\pi}{12}\]
Ответ:
а) \(\dfrac{\pi}2+\pi n, -\dfrac{\pi}{12}+\pi m, -\dfrac{5\pi}{12}+\pi k, \ n,m,k\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{17\pi}{12}; \ -\dfrac{13\pi}{12}; \ -\dfrac{\pi}2; \ -\dfrac{5\pi}{12}; \ -\dfrac{\pi}{12}; \ \dfrac{\pi}2; \ \dfrac{7\pi}{12}; \ \dfrac{11\pi}{12}\)