а) Решите уравнение \[\dfrac{(x+3)^2}5+\dfrac{20}{(x+3)^2}= 8\cdot \left(\dfrac{x+3}5-\dfrac2{x+3}\right)+1\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-6;-4]\).
(Задача от подписчиков)
а) Введем для удобства обозначения \(x+3=t\) и \(\frac{10}{x+3}=z\). Умножим уравнение на \(5\), тогда оно примет вид: \[t^2+z^2=8(t-z)+5\quad\Leftrightarrow\quad t^2-2tz+z^2=8(t-z)+5-2tz\quad\Leftrightarrow\quad (t-z)^2-8(t-z)-5+2tz=0\] Заметим, что \[2tz=2\cdot (x+3)\cdot \dfrac{10}{x+3}=20\] Следовательно, \[(t-z)^2-8(t-z)+15=0\] Данное уравнение является квадратным относительно \(t-z\). По теореме Виета его корнями будут \(3\) и \(5\). Следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t-z=3\\[2ex] &t-z=5\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что \(z=\dfrac{10}t\), следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t-\dfrac{10}t=3\\[2ex] &t-\dfrac{10}t=5\end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac{t^2-3t-10}t=0\\[2ex] &\dfrac{t^2-5t-10}t=0\end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t=\dfrac{5-\sqrt{65}}2\\[2ex] &t=\dfrac{5+\sqrt{65}}2\\[2ex] &t=5\\ &t=-2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]
Так как \(t=x+3\), то отсюда: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{-\sqrt{65}-1}2\\[2ex] &x_2=\dfrac{\sqrt{65}-1}2\\[2ex] &x_3=-5\\ &x_4=2 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]
б) Отберем корни. Заметим, что \(x_4\) не лежит в \([-6;-4]\), \(x_3\) – лежит.
Так как \(8<\sqrt{65}<9\), то \[-5<\dfrac{-\sqrt{65}-1}2<-\dfrac92\] и \[\dfrac72<\dfrac{\sqrt{65}-1}2<4\] Таким образом, мы видим, что \(x_1\) лежит в \([-6;-4]\), а \(x_2\) – нет.
Ответ:
а) \(\left\{-5; \dfrac{-\sqrt{65}-1}2; 2;\dfrac{\sqrt{65}-1}2\right\}\)
б) \(\left\{-5; \dfrac{-\sqrt{65}-1}2\right\}\)
