Сведение показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений к квадратному или кубическому виду (страница 2)

а) Так как по формуле приведения \(\sin (x+\pi)=-\sin x\), то после замены \(9^{\,\sin x}=t, t>0\) уравнение примет вид \[t+\dfrac 1t=\dfrac{10}3\] Корнями этого уравнения будут \(t=3; \dfrac13\). Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &9^{\,\sin x}=3\\[2ex] &9^{\,\sin x}=\dfrac13\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=\dfrac12\\[2ex] &\sin x=-\dfrac12\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решениями данной совокупности будут \(x_1=\pm \dfrac{\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\) и \(x_2=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.   \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{11}6\leqslant k\leqslant -\dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad k\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing\)   \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi k\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac53\leqslant k\leqslant -\dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad k=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{13\pi}6\)   \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{13}6\leqslant n\leqslant -\dfrac{17}{12}\quad\Rightarrow\quad n=-2\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{19\pi}2\)   \(-\dfrac{7\pi}2\leqslant -\dfrac{5\pi}6+2\pi n\leqslant -2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac43\leqslant n\leqslant -\dfrac7{12}\quad\Rightarrow\quad n=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{17\pi}6\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}6+2\pi k, \pm \dfrac{5\pi}6+2\pi n; k,n\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{19\pi}6; -\dfrac{17\pi}6; -\dfrac{13\pi}6\)

а) По формулам приведения \(\cos (\pi-x)=-\cos x\). Следовательно, уравнение можно свести к виду \[16^{\cos x}+16^{-\cos x}=\dfrac{17}4\] Сделаем замену \(16^{\cos x}=t\), \(t>0\). Тогда \[t+\dfrac1t=\dfrac{17}4\]Можно умножить обе части уравнения на \(4t\) (так как \(t\ne 0\)): \[4t^2-17t+4=0\]По теореме Виета корнями уравнения будут \(t=4\) и \(t=\dfrac14\). Следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &16^{\cos x}=4\\[2ex] &16^{\cos x}=\dfrac14 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=\dfrac12\\[2ex] &\cos x=-\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pm \dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.   \(\pi \leqslant \dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant \dfrac{5\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac13\leqslant n\leqslant \dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad n=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}3\)   \(\pi \leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi n\leqslant \dfrac{5\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac23\leqslant n\leqslant \dfrac{17}{12}\quad\Rightarrow\quad n=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{5\pi}3\)   \(\pi \leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi m\leqslant \dfrac{5\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac16\leqslant m\leqslant \dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad m\in\varnothing \quad\Rightarrow\quad x\in\varnothing\)   \(\pi\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi m\leqslant \dfrac{5\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac56\leqslant m\leqslant \dfrac{19}{12}\quad\Rightarrow\quad m=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{4\pi}3\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}3+2\pi n, \pm \dfrac{2\pi}3+2\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{4\pi}3; \dfrac{5\pi}3; \dfrac{7\pi}3\)

а) ОДЗ уравнения: \(\cos x>0\).
С помощью замены \(\log_3(2\cos x)=t\) уравнения сведется к виду \[2t^2-5t+2=0\] По теореме Виета корнями будут \(t=2\) и \(t=\dfrac12\). Следовательно, \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_3(2\cos x)=2\\[2ex] &\log_3(2\cos x)=\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=\dfrac92\\[2ex] &\cos x=\dfrac{\sqrt3}2\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad x=\pm \dfrac{\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\] (заметим, что уравнение \(\cos x=\frac{\sqrt3}2\) удовлетворяет ОДЗ)  

б) Отберем корни.   \(\pi \leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant \dfrac{5\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac5{12}\leqslant n\leqslant \dfrac76\quad\Rightarrow\quad n=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{13\pi}6\)   \(\pi \leqslant -\dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant \dfrac{5\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac7{12}\leqslant n\leqslant \dfrac43\quad\Rightarrow\quad n=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{11\pi}6\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}6+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{11\pi}6; \dfrac{13\pi}6\)

а) Так как \(\cos 2x=1-2\sin^2x\), то уравнение можно записать в виде \[4\cdot 16^{\sin^2x}-6\cdot 4\cdot 16^{-\sin^2x}=29\] Сделаем замену \(16^{\sin^2x}=t\), \(t>0\): \[4t-\dfrac{24}t=29\]Умножим обе части равенства на \(t\), так как \(t\ne 0\): \[4t^2-29t-24=0\]Дискриминант \(D=35^2\), следовательно, корни \(t=8\) и \(t=-\frac34\). Так как \(t>0\), то второй корень не подходит. Значит, \[16^{\sin^2x}=8\quad\Leftrightarrow\quad 2^{4\sin^2x}=2^3\quad\Leftrightarrow\quad \sin^2x=\dfrac34\quad\Leftrightarrow\quad \sin x=\pm \dfrac{\sqrt3}2\] Решениями полученного уравнения будут \(x=\dfrac{\pi}3+2\pi n; \ \dfrac{2\pi}3+2\pi n; \ -\dfrac{\pi}3+2\pi n; \ -\dfrac{2\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Все данные серии корней можно объединить в одну серию \(x=\pm \dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.   \(\dfrac{3\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}3+\pi n\leqslant 3\pi\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac76\leqslant n\leqslant \dfrac83\quad\Rightarrow\quad n=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{7\pi}3\)   \(\dfrac{3\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}3+\pi n\leqslant 3\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{11}6\leqslant n\leqslant \dfrac{10}3\quad\Rightarrow\quad n=2;3\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{5\pi}3; \dfrac{8\pi}3\)

Ответ:

а) \(\pm \dfrac{\pi}3+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

б) \(\dfrac{5\pi}3; \dfrac{7\pi}3; \dfrac{8\pi}3\)